我放宽了皮亚诺公理系统的限制，取消了公理2和5的限制，将2和5的断言改为由定理来断言，而不是由公理来断言。下面就是这个系统：
1，1是一个自然数。
2，1不是任何其它自然数的后继数。
3，如果两个自然数a和b的后继数相等，则a和b也相等。
4，存在一个集盒N，N含有全部自然数。
5，自然数集N上的≥关系、＜关系都是全序关系。1＜2＜3＜4＜5…等等。
这里的自然数集N是有穷集还是无穷集，要由该系统的定理来确定。
就是312楼使用的基本条件。请问在此范围内，我在312楼证明的定理“L=W”是否正确？

如果承认皮亚诺公理的“公理2”不是假设的，而是真的，那么，是否存在无穷集盒的学术争论就不可能得到解决。无穷对象是否存在，自古希腊始便争论不休。
创立非标准分析的鲁宾逊于1964年在“逻辑学、方法论和科学哲学”国际会议上所作报告指出：“关于数学基础，我的立场（见解）是基于如下的两个原则：
（1）无穷集按任何词义来说都不存在（无论在实际上或理论上都不存在），更精确地说，关于无穷集的任何陈述或大意陈述都在字面上简直是无意义的。
（2）但是我们还是应该如通常那样去从事数学活动，就是说当我们做起来的时候，还是应该把无穷集当作似乎是真实存在的那样。”
自从古典集盒论出现悖论以后，豪斯道夫（Hausdorff）就曾不胜感慨和直截了当地提醒大家说：
“这一悖论的使人不安，倒不在于产生了矛盾，而是我们没有预料到会有矛盾：一切基数所组成的集盒，显得是如此先验地无可置疑。正如一切自然数所组成的集一样地自然可信，由此就产生了如下的不确定性，即会不会连别的无限集，亦即一切无限集，都是带有这种矛盾的似是而是的非集。”


由〔美〕保罗.贝纳塞拉夫和〔美〕希拉里.普特南编的《数学哲学》导言中谈及了如下关于无穷的言论：
“无穷结构、无穷集、无穷量等在经典数学中所起的作用，与数学哲学中不同“学派”之间的论战大有关系。同样，柯西和魏尔斯特拉斯成功地采取措施在微积分中消除“无穷量”，与从数学中完全去除无穷的思想也大有关系，这种思想为像希尔伯特和布劳威尔那样的具有互相对立看法的思想家所共有。
但是，人们为什么认为在数学中必须避免无穷呢？有时听到人们-----包括希尔伯特在内------说，提及无穷是“无意义的”。然而人们为什么会这样想呢？经典哲学家-----特别是休谟----曾在把可理解的东西和可形象化的东西等同起来的基础上，讨论过无穷这个概念（与无限可分有联系）；但是“脑中印象”的意义说似乎不再站得住脚，因此对无穷概念的攻击必须依赖较此更为合理的论据，如果这攻击是认真的。
事实上，对这个问题很难找到合理的、甚止是稍为详尽的论证。“实无穷”的反对者们倾向于认为，证明的责任应在另一方。他们似乎说，“请给我们证明这个概念是有意义的，”而有意义的标准似乎是在于可用他们的术语表达。…同情古典经验主义者对一切概念“从经验导出”才合法的要求的读者，或许会发现自已倾向于同情那些怀疑关于无穷结构的任何概念有清晰性的人，而具有较多的实在主义倾向或较多的实用主义倾向的读者，要看出“这一片混乱是怎么回事”可能是困难的。”

由於传统的自然数定义，明白地规定每一个自然数都有后继数，且该后继数也是自然数，因此我们可以认为您３１２楼证明 L=W 的过程有瑕疵，尤其是３１２楼第四段利用 x+1 留下来保证 x 可以加入 L 的部分．
在您３１９楼的新自然数定义之下，我们并不知道”是否每一个自然数都有后继数”，也不知道”该后继数是否为自然数”，请注意对於这两个命题我们是”不知道真伪”而不代表它们”恒伪”．因此小弟认为您３１２楼证明 L=W 的过程没有考虑到所有的可能－－这个证明过程可能是错的，也可能是对的．
您想要让自己３１２楼的证明为真（尤其是第四段由 x+1 留下推得 x 可以删去的过程），您必须要保证至少有一个自然数的后继数Ｍ，使得Ｍ大於任何具有后继数的自然数．．．然而这个命题的真假，依据您３１９楼的新自然数公设根本推导不出来．
不错，您３２０、３２１等楼确实博引旁徵了许多反对”无穷”概念的声音，但是如果您不能够把这些意见写入３１９楼的新自然数公设系统中的话，那麼对於”是否每一个自然数都有后继数？”以及”该后继数是否为自然数？”这两个命题您始终没有确切的答案－－您只是将原先传统定义对於这两个命题所抱持的肯定态度（皮亚诺公设第二条与第五条），转变成为未知的态度而已．
我们都知道公设系统必须是自洽的．虽然您３２０楼、３２１楼引用了许多人的意见，但如果您不能够把这些人的意见，”明文化”写入３１９楼的自然数新定义之中，那麼当我们在讨论”新自然数定义”时，就不能够参考您３２０、３２１楼的意见，因为那些意见是在公设系统之外，一个公设系统不应当靠外部的说明来完备自己，那不自洽．
所以仅依据您３１９楼的新公设系统，那麼您３１２楼证明 W=L 的过程并不是错的，但也不是对的．

我认为，我在312楼证明的定理“L=W”是正确的。我的主帖已明确指出，a,b,c,d这四个命题（其中b和d都是真的，a和c都是假的）适用于任何一个不少于两个元素的集盒X，X是实数集的子集。
证明“L=W”与证明“L= N#”是不同的。L的定义与 N#的定义是不同的。你误认为这二者没区别。请看上面引用的你的317楼原文。
集盒L定义：对于N中的任一元素x，若将x从N中拿出来，｛N留｝使命题f｛N留｝一定成立，并且将x与1和2同时都从N中拿出来，对应的｛N留｝使命题f｛N留｝一定成立，则x∈L。
L的定义包含两条：第1条为，对于N中的任一元素x，若将x从N中拿出来，｛N留｝使命题f｛N留｝一定成立。例如，将3从N中拿出来，N中剩余的元素｛N留｝是集盒｛3｝的绝对补集，即｛N留｝=～｛3｝，～｛3｝使命题f～｛3｝一定成立。第2条为，将x与1和2同时都从N中拿出来，对应的｛N留｝使命题f｛N留｝一定成立。例如，将3与1和2同时从N中拿出来，N中剩余的元素｛N留｝是｛1,2，3｝的绝对补集，即｛N留｝=～｛1，2，3｝，～｛1，2，3｝使命题f～｛1，2，3｝一定成立。满足这两条的N中元素x∈L。
我认为，由这个L定义所证明的定理“L=W”是对的。对于每一个自然数x都有后继x+1的皮亚诺公理而言，这个证明也是无懈可击的，即所有自然数都是L的元素。
如果“L= N#”成立，对皮亚诺公理而言，就是空集｛N留｝使命题f｛N留｝一定成立。这是荒谬的。因此，通过反证法可证明，皮亚诺公理具有不相容性，不能满足公理系统无矛盾原则的要求。


请看323楼。

看起来，你不否定我在312楼证明的定理“L=W”，对吧？
我在312楼证明的定理“N#不是空集，N#中至少存在两个元素：1和2。”是否正确？这个证明过程就是312楼中的如下陈述：
“在主帖中，“允许从N中删除掉”这一属性无疑是这样的定义：N中存在这样一类元素，将它们全部从N中拿出来，｛N留｝使命题f｛N留｝一定成立，我们称这一类元素的这一属性为允许从N中删除掉。也就是说，对于N中的这一类元素，将它们同时都从N中拿出来，｛N留｝使命题f｛N留｝一定成立
具有“允许从N中删除掉”这一属性的元素是N中的一类元素，由所有这类元素组成的集盒我们用N#表示。
令命题V为：将N中的元素1和2同时都从N中拿出来，｛N留｝使命题f｛N留｝一定成立。
命题V无疑是真的。在后面我们将证明：对于N中任意一元素x（x≠1，x≠2），若将x从N中取出来，｛N留｝使命题f｛N留｝一定成立，那么，将x与1和2同时都从N中拿出来，对应的｛N留｝使命题f｛N留｝一定成立。
由于上述原因，具有“允许从N中删除掉”这一属性的N中元素所组成的集盒N#，一定包含了1和2这两个元素。也就是说，N#中至少存在两个元素：1和2。我们可以严格证明这一点：
（1）若N#中只存在这两个元素，不存在其它的任何元素，那么，N#只包含这两个元素，N#不是空集。这一点是无懈可击的。（2）若N#中除了存在这两个元素之外，还存在其它的元素，那么，N#至少包含三个元素，N#不是空集。这一点也是无懈可击的。（1）和（2）已完全排除了N#是空集的可能性，即N#不可能是空集，1和2必是N#中的元素。”

你如果承认我在312楼证明的定理“L=W”，又承认我在312楼证明的定理“N#不是空集，N#中至少存在两个元素：1和2。”，那么，“N# = L”成立就没什么可争的了。

N# 当然不是空集，小弟从来都没有反对这一点．关键是在於 N# 不能够包含一切自然数，否则自然数将没有留下任何元素以保证 f 命题为真．
当初我认为 L 不能够包含一切自然数，所以我前面才质疑 L != W ；现在您强调 L 与 N# 的定义不同，您当然有权利这麼说（毕竟所有这些集河名词与命题都是您定义的，您有最终解释权），但就算是如您所言两者定义不同，那也只不过是将问题延迟到 N# 再解决，所以我现在质疑 N# != W ，也就是 N# != L ．
您３１２楼证明 L 是 N# 子集的时候，您说：”因为 x+1 将会留在自然数集中保证 f 命题成立，故 L 中的 x 元素可以属於 N#”．
问题是谁能保证 x+1 将会留在自然数集中？
若采用传统的自然数定义的话，所有后继数都有后继数，所以任意 x+1 都属於 L ．如果此时 L 又是 N# 的子集的话，那麼所有后继数 x+1 都属於 N# ，故任意自然数 x 都没有理由属於 N# ，否则自然数集所留下来的元素不能保证不是空的，那麼命题 f 也就不成立了．
若采用您的新自然数定义的话，那麼我们不知道是否有自然数没有后继数，所以我们不知道若 L=N# 时，自然数集所留下来的元素是否为空，故我们也不知道命题 f 成立与否．
总结以上，若采用传统自然数定义的话，您３１２楼证明”L 是 N# 的子集”的过程是错误的；若采用您宣布的自然数定义的话，您３１２楼证明”L 是 N# 的子集”的过程是没有定义的，可真可伪．
我相信本楼的问题与我３２５楼的问题是完全相同的，我并不明白您３２６楼为什麼会回答一个我完全没有问过的问题．如果我３２５楼有任何表述不当的地方请您原谅，我希望你能够正面回答我３２５楼（或本楼），针对您３１２楼”证明 L 是 N# 的子集”所提出质问．

我不能理解３２７楼的逻辑关系．
如果您说：”N# 不是空集，它可以包含很多个自然数”－－这句话我当然不反对．
甚至你说：”N# 可以包含任意数量个自然数”－－这句话我也不反对．
可是当你说：”N# 可以包含某一个自然数以外的所有自然数”－－这话就麻烦了．
依据公认的自然数定义，您上面这个命题在有限步骤之内都不能定义清楚，定义都没有更遑论真伪问题．
若依据您３１９楼所宣布的自然数新定义，您也无法解释上面这个命题的真伪，因为这个命题超出了您所宣布的自然数新公设系统．

L 与 N# 之间的关系就是特称与全称之间的关系：
用白话文讲：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
L 的定义是 L 中的任一元素都可以从自然数集中移除，移除之后自然数集剩下的部分仍保持命题 f 为真．
N# 的定义是 N# 中的所有元素都可以同时从自然数集中移除，移除之后自然数集剩下的部分仍保持命题 f 为真．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
您说 L=N# 就让我感到很疑惑：”特称的交集”并不一定等於”全称”啊，就算是在有限的集盒内也是如此，比方说：
定义Ａ集＝｛１，２，３｝
定义Ｂ集＝能够从Ａ集之中移除，且保证Ａ集不空的单一元素所构成的集盒．
因此Ｂ集＝｛１，２，３｝
问：若将Ｂ中的所有元素，同时从Ａ集之中移除，难道Ａ集还不空吗？当然是空的嘛！
所以说”特称命题的交集”并不一定等於”全称命题”，因此我无法理解您３２７背后的逻辑．

对于证明【2】而言，只要能够证明将集盒｛1，2，3，…，n，…，x｝中的所有元素都从N中拿出来，｛N留｝使命题f｛N留｝一定成立，那么，就可断定命题A为真：N# 中至少存在x个元素：1，2，3，…，n，…，x。
N#不可能是空集。若N#是空集，从N中拿出一个元素x就必导致｛N留｝使命题f｛N留｝一定不成立。
若N#不是空集，N# 中至少存在x个元素：｛1，2，3，…，n，…，x｝对于证明【2】而言，只要能够证明将集盒｛1，2，3，…，n，…，x｝中的所有元素都从N中拿出来，｛N留｝使命题f｛N留｝一定成立，那么，就可断定命题A为真：N# 中至少存在x个元素：1，2，3，…，n，…，x。
N#不可能是空集。若N#是空集，从N中拿出一个元素x就必导致｛N留｝使命题f｛N留｝一定不成立。
若N#不是空集，N# 中至少存在x个元素：｛1，2，3，…，n，…，x｝。我们可以这样思考，将集盒｛1，2，3，…，n，…，x｝中元素都从N中移出之后，剩余的N中元素组成的集盒为｛N留｝；我们设P为｛N留｝的子集，集盒P的定义为：｛N留｝中存在这样一类元素，将它们全部从｛N留｝中拿出来，对应的｛N留｝*使命题f｛N留｝*一定成立，我们将这类元素组成的集盒设定为P。
因此，如果P是空集，N# 中的所有元素为：｛1，2，3，…，n，…，x｝。如果P不是空集，N# 中的所有元素为：｛1，2，3，…，n，…，x｝与P的并集。这是无懈可击的。
N# =｛1，2，3，…，n，…，x｝∪P


我不同意您３３１楼的说法．
＜仅仅针对 L 中的某个特定的数字 x 作证明是不充分的＞
想要证明 L=N# ，你不可以只针对 L 中的某个特定的 x 作证明，这种做法与 L 的定义根本不合、与 N# 的定义也不合．
＜对於 L 中的全体元素作证明才是充分的＞
你需要证明的是”对於 L 中的任意元素 ，这些元素都属於 N#”，这样你就不能假设那些元素的后继数（或更后面的数字）必定会留在｛Ｈ留｝中，因为那些后继数也可能是前述所提到的”任意元素”．它们应当是有待证明的主体，不可以任意假设它们是否在｛Ｈ留｝中．

回覆您３３２楼所提到的　N# =｛1，2，3，…，n，…，x｝∪ P　：
您３３２楼最后一句话总结说：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　N# =｛1，2，3，…，n，…，x｝∪P
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
其中｛1，2，3，…，n，…，x｝是经过证明的部分，最后面的 P 则有待下次证明．
同理，我们还可以进一步改写为：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　N# =｛1，2，3，…，n，…，x｝∪ A1 ∪ P'
　N# =｛1，2，3，…，n，…，x｝∪ A1 ∪ A2 ∪ P''
　N# =｛1，2，3，…，n，…，x｝∪ A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ P'''
　．．．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
利用您３１２楼以来的”有限范围的不完备证明法”，我们始终会留下最后一项 P 有待下次证明．．．现在可否请您与大家说说，您的这套”不完备证明法”总共需要操作多少次才能够证明 N# 的成员究竟为何（不再留下 P 以待下次证明）？
如果所需操作次数不是有限的，那麼说您证明失败也不为过，是不是？－－况且无限次的操作次数所排除的数字自然是无限多的，那麼您实际上反倒辗转证明了自然数是无穷集．

回覆您３３２楼所提到的　N# =｛1，2，3，…，n，…，x｝∪ P　：
您３３２楼最后一句话总结说：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
N# =｛1，2，3，…，n，…，x｝∪P
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
其中｛1，2，3，…，n，…，x｝是经过证明的部分，最后面的 P 则有待下次证明．
同理，我们还可以进一步改写为：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
N# =｛1，2，3，…，n，…，x｝∪ A1 ∪ P'
N# =｛1，2，3，…，n，…，x｝∪ A1 ∪ A2 ∪ P''
N# =｛1，2，3，…，n，…，x｝∪ A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ P'''
．．．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
利用您３１２楼以来的”有限范围的不完备证明法”，我们始终会留下最后一项 P 有待下次证明．．．现在可否请您与大家说说，您的这套”不完备证明法”总共需要操作多少次才能够证明 N# 的成员究竟为何（不再留下 P 以待下次证明）？
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对于证明x∈N#而言，只要证明｛1，2，3，…，n，…，x｝是N#的子集就足够了。因为x∈N#，并且x是L中的任意一个元素，所以，命题y是假的，由y是假的必推导出命题t是真的，
所以，L是N#的子集。
有了N# =｛1，2，3，…，n，…，x｝∪P就足够证明L是N#的子集。因此，没必要再分下去了。P已包括了｛1，2，3，…，n，…，x｝之外的所有属于N#的元素。