14.设{pn}，{qn}是X中柯西序列,证明{d(pn,qn)}收敛.

15.设X是度量空间.
(1)称柯西序列{pn}与{qn}等价，若d(pn,qn)->0.这是一个等价关系.
(b)柯西序列{pn}的等价类为P,{qn}的等价类为Q,定义d(P,Q)=lim(n->+inf)d(pn,qn),证明d(P,Q)是良定义的，设所有柯西序列等价类的集合为X'，那么X'成为度量空间.
(c)证明X'是完备度量空间.
(d)设柯西序列{p,p....}，{q,q...}所在的等价类为P,Q,证明d(P,Q)=d(p,q).
(e)设φ为把p映到p所在等价类P的映射，证明φ(X)在X‘中稠密，并且当X完备时φ(X)=X'.

16.设X为有理数全体配以标准度量，X的空间完备化是什么?

第四章
1.设f是把度量空间X映入度量空间Y的连续映射,证明对一切X的子集E,f(E的闭包)包含在f(E)的闭包中.举例说明真包含可以成立.

2.设f是度量空间X上的连续实函数,令Z(f)是使f(p)=0的一切p属于X组成的集.证明Z(f)是闭集.

3.设f与g是把度量空间X映到Y的连续映射，E在X中稠密，证明f(E)在f(X)中稠密.如果对一切p属于E，f(p)=g(p),那么f恒等于g.

4.设实值函数f定义在实数集的子集E上，f的图像指点(x,f(x))所成的集，它是平面的子集.设E是紧的，证明：f连续当且仅当f的图像是紧的.

5.设f是R上有界集E上的一致连续实函数，证明f在E上有界.并说明去掉E有界条件后结论不成立.

6.设f是把度量空间X映到度量空间Y的一致连续映射.证明若{xn}是X中的柯西序列，则{f(xn)}是Y中的柯西序列.

7.设E是度量空间X的稠密子集，f是E上的一致连续实函数.证明f有一个从E到X的连续开拓.

8.证明R->R的每个连续开映射是单调的.

9.设f是定义在R上的实函数，且具有介值性，假设当r时有理数时，满足f(x)=r的一切x组成闭集.证明f是连续函数.

10.设E是度量空间X的非空子集,p(x)=infd(x,z),z属于E.证明:(1)p(x)=0当且仅当x属于E的闭包.
(2)对一切x,y属于X,|p(x)-p(y)|<=d(x,y),借此证明p(x)是X上一致连续函数.

11.设K与F是度量空间X中不相交的集,K是紧的,F是闭的.证明p属于K,q属于F时,必有d>0满足d(p,q)>d.再证,如果K是闭的但不是紧的,结论可能不成立.

12.设A与B是度量空间X中不相交的非空闭集,定义f(x)=pA(x)/[pA(x)+pB(x)],证明f是X上连续函数.令V=f^(-1)([0,1/2]),W=f^(-1)((1/2,1]),证明V与W都是开的,且不相交.再证A属于V,B属于W.