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回复：Rudin数学分析原理习题

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第三章
1.设s1=2^(1/2),s(n+1)=(2+sn^(1/2))^(1/2),证明sn收敛，且sn<2.
36楼2013-11-12 22:54
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    2.设实数列{an},{bn},证明limsup(n->+inf)(an+bn)<=limsup(n->+inf)an+limsup(n->+inf)bn,假定右端和不是+inf-(+inf)型.
    37楼2013-11-12 23:08
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      3.研究以下∑an的性质:(1)an=(n^(1/n)-1)^n.(2)an=1/(1+z^n),z取复数.
      38楼2013-11-12 23:22
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        4.证明正项级数∑an收敛蕴含着∑(an)^(1/2)/n收敛.
        39楼2013-11-12 23:56
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          5.假定幂级数∑anz^n的系数都是整数,其中有无限多个不是0，证明收敛半径最大是1.
          40楼2013-11-13 10:52
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            6.正项级数∑an发散，sn是an的部分和.
            (1)证明∑an/(1+an)发散.
            (2)a(N+1)/s(N+1)+...+a(N+k)/s(N+k)>=1-sN/s(N+k),继而证明∑an/sn发散.
            (3)证明an/sn^2<=1/s(n-1)-1/sn,再证明∑an/sn^2收敛.
            (4)∑an/(1+nan),∑an/(1+n^2an)收敛性如何?
            41楼2013-11-14 18:12
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              7.设正项级数∑an收敛，令rn=∑(n,+inf)am.
              (1)证明m<n时am/rm+...+an/rn>1-rn/rm,再证明∑an/rn发散.
              (2)证明an/(rn)^(1/2)<2[(rn)^(1/2)-(r(n+1))^(1/2)],再证明∑an/(rn)^(1/2)收敛.
              42楼2013-11-14 18:58
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                8.证明两个绝对收敛的级数的柯西乘积也绝对收敛.
                43楼2013-11-14 18:59
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                  9.定义复数数列{sn}的算术平均数列σn=(s0+...+sn)/(n+1).
                  (1)设an=sn-s(n-1).证明sn-σn=1/(n+1)∑(1,n)kak,由此，假定lim(nan)=0,{σn}收敛于a,证明{sn}收敛于a.
                  (2)在更弱的条件:nan有界，{σn}收敛于a的条件下证明{sn}收敛于a.
                  46楼2013-11-16 00:30
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                    10.形如x=∑an/3^n的实数构成cantor三分集，其中an或为0或为2.
                    47楼2013-11-16 11:16
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                      11.设{pn}是度量空间X中的柯西序列,且有某个子序列{pnk}收敛于p,证明{pn}收敛于p.
                      48楼2013-11-16 11:20
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                        12.如果序列{En}里的En都是完备度量空间X中的非空有界闭集，E(n+1)包含于En，且lim(n->+inf)diamEn=0,证明∩(1,+inf)En恰有一点.
                        50楼2013-11-16 11:36
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                          13.证明Baire定理:设X是完备度量空间，序列{Gn}中的Gn都是X的稠密开子集,证明∩(1,+inf)Gn不空(事实上在X中稠密).
                          51楼2013-11-16 11:45
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                            14.设{pn}，{qn}是X中柯西序列,证明{d(pn,qn)}收敛.
                            52楼2013-11-16 13:35
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                              15.设X是度量空间.
                              (1)称柯西序列{pn}与{qn}等价，若d(pn,qn)->0.这是一个等价关系.
                              (b)柯西序列{pn}的等价类为P,{qn}的等价类为Q,定义d(P,Q)=lim(n->+inf)d(pn,qn),证明d(P,Q)是良定义的，设所有柯西序列等价类的集合为X'，那么X'成为度量空间.
                              (c)证明X'是完备度量空间.
                              (d)设柯西序列{p,p....}，{q,q...}所在的等价类为P,Q,证明d(P,Q)=d(p,q).
                              (e)设φ为把p映到p所在等价类P的映射，证明φ(X)在X‘中稠密，并且当X完备时φ(X)=X'.
                              53楼2013-11-17 10:02
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