16.设X为有理数全体配以标准度量，X的空间完备化是什么?

第四章
1.设f是把度量空间X映入度量空间Y的连续映射,证明对一切X的子集E,f(E的闭包)包含在f(E)的闭包中.举例说明真包含可以成立.

2.设f是度量空间X上的连续实函数,令Z(f)是使f(p)=0的一切p属于X组成的集.证明Z(f)是闭集.

3.设f与g是把度量空间X映到Y的连续映射，E在X中稠密，证明f(E)在f(X)中稠密.如果对一切p属于E，f(p)=g(p),那么f恒等于g.

5.设f是R上有界集E上的一致连续实函数，证明f在E上有界.并说明去掉E有界条件后结论不成立.

6.设f是把度量空间X映到度量空间Y的一致连续映射.证明若{xn}是X中的柯西序列，则{f(xn)}是Y中的柯西序列.

7.设E是度量空间X的稠密子集，f是E上的一致连续实函数.证明f有一个从E到X的连续开拓.

8.证明R->R的每个连续开映射是单调的.

9.设f是定义在R上的实函数，且具有介值性，假设当r时有理数时，满足f(x)=r的一切x组成闭集.证明f是连续函数.

10.设E是度量空间X的非空子集,p(x)=infd(x,z),z属于E.证明:(1)p(x)=0当且仅当x属于E的闭包.
(2)对一切x,y属于X,|p(x)-p(y)|<=d(x,y),借此证明p(x)是X上一致连续函数.

11.设K与F是度量空间X中不相交的集,K是紧的,F是闭的.证明p属于K,q属于F时,必有d>0满足d(p,q)>d.再证,如果K是闭的但不是紧的,结论可能不成立.

12.设A与B是度量空间X中不相交的非空闭集,定义f(x)=pA(x)/[pA(x)+pB(x)],证明f是X上连续函数.令V=f^(-1)([0,1/2]),W=f^(-1)((1/2,1]),证明V与W都是开的,且不相交.再证A属于V,B属于W.

13.设A,B是R^k的子集,证明:(1)若A是紧子集,B是闭子集,则A+B是闭子集.(2)设a是无理数,C1是一切整数构成的集,C2是一切na构成的集,n属于C1,证明C1+C2不是R的闭子集.

14.设X,Y,Z是度量空间,Y紧,f把X映入Y内,g是Y到Z内的一一连续映射,且对于x属于X,h(x)=g(f(x)),证明：如果h一致连续,那么f一致连续.再证如果h连续,那么f连续.证明Y是紧的这个假定不能省略,即使X,Z都是紧的.