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回复:Rudin数学分析原理习题

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13.设A,B是R^k的子集,证明:(1)若A是紧子集,B是闭子集,则A+B是闭子集.(2)设a是无理数,C1是一切整数构成的集,C2是一切na构成的集,n属于C1,证明C1+C2不是R的闭子集.


68楼2013-12-07 16:38
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    14.设X,Y,Z是度量空间,Y紧,f把X映入Y内,g是Y到Z内的一一连续映射,且对于x属于X,h(x)=g(f(x)),证明:如果h一致连续,那么f一致连续.再证如果h连续,那么f连续.证明Y是紧的这个假定不能省略,即使X,Z都是紧的.


    69楼2013-12-07 16:55
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      第五章
      1.设f'(x),g'(x)都存在,g'(x)不等于0,f(x)=g(x)=0,证明:lim(t->x)f(t)/g(t)=f'(x)/g'(x).


      70楼2013-12-08 17:28
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        2.设f'在[a,b]上连续,证明对任意e>0,存在d>0,只要|t-x|<d,t,x属于[a,b],就有|[f(t)-f(x)]/(t-x)-f'(x)|<e.这也就是说,如果f'在闭区间上连续,那么f就在闭区间上一致可微.


        71楼2013-12-08 17:31
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          3.设f是(a,+inf)上的二次可微实函数,M0,M1,M2分别是|f(x)|,|f'(x)|,|f''(x)|的上确界,证明M1^2<=4M0M2.


          72楼2013-12-08 17:32
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            4.设f是[-1,1]上三次可微实函数,f(-1)=f(0)=0,f(1)=1,f'(0)=0.证明存在x属于(-1,1),f'''(x)>=3.


            73楼2013-12-08 17:34
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              5.设f在[-1,1]上定义,f'(0)存在,an,bn->0,定义差商Dn=[f(bn)-f(an)]/(bn-an).证明:
              (1)若an<0<bn,则lim(n->+inf)Dn=f'(0).
              (2)0<an<bn且bn/(bn-an)有界,则lim(n->+inf)Dn=f'(0).
              (3)若f'(x)连续,则lim(n->+inf)Dn=f'(0).
              (4)举出一个例子,lim(n->+inf)Dn存在但不等于f'(0).


              74楼2013-12-08 17:40
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                6.对于R的每个闭子集E,能否找出这样的函数f,它在R上任意次可微,并且f的零点集是E.


                75楼2013-12-08 17:42
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                  7.设f是R上实函数,f可微,如果存在0<A<1,|f'(x)|<=A,则f有不动点x,且设x1是任意实数,x(n+1)=f(xn),则x=lim(n->+inf)xn.


                  76楼2013-12-10 22:35
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                    8.设f在[a,b]上可微,f(a)=0,设有实数A,|f'(x)|<=A|f(x)|,证明f在[a,b]上恒为0.


                    77楼2013-12-10 22:36
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                      9.证明:f是定义在R=[a,b]×[c,d]的二元实函数,若有常数A,只要(x,y1),(x,y2)属于R,就有|f(x,y1)-f(x,y2)|<=A|y1-y2|,则初值问题y'=f(x,y),y(a)=c至多有一个解.


                      78楼2013-12-10 22:42
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                        10.对于形式为y'_i=fi(x,y1,...yk),y_i(a)=ci的微分方程组,写出一个与9类似的唯一性定理来,并加以证明.


                        79楼2013-12-10 22:46
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                          11.考虑方程组y'_i=y_(i+1),y'_k=f(x)-∑(1,k)g_i(x)y_i,这里f,gi都是[a,b]上连续实函数,从而对带有初始条件y(a)=c1,y'(a)=c2...y'(k-1)(a)=ck的微分方程y'(k)+g_k(x)y'(k-1)+...+g_1(x)y=f(x)导出唯一性定理来.y'(k)表示y的k阶导数.


                          81楼2013-12-11 16:14
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                            第六章.
                            1.设f是[a,b]上有界实函数,f^2在[a,b]上黎曼可积可否推出f黎曼可积?若加上f^3黎曼可积的条件呢?


                            82楼2013-12-15 15:10
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                              2.设P是2.44所做的cantor集,f是[0,1]上有界实函数,它在P以外的每个点连续,证明在[0,1]上f黎曼可积.


                              83楼2013-12-15 15:25
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