这学期开始学数学分析，现在卡在极限上了

22.证明R中开集是至多可数个不交开区间的并.

第三章
1.设s1=2^(1/2),s(n+1)=(2+sn^(1/2))^(1/2),证明sn收敛，且sn<2.

2.设实数列{an},{bn},证明limsup(n->+inf)(an+bn)<=limsup(n->+inf)an+limsup(n->+inf)bn,假定右端和不是+inf-(+inf)型.

3.研究以下∑an的性质:(1)an=(n^(1/n)-1)^n.(2)an=1/(1+z^n),z取复数.

4.证明正项级数∑an收敛蕴含着∑(an)^(1/2)/n收敛.

5.假定幂级数∑anz^n的系数都是整数,其中有无限多个不是0，证明收敛半径最大是1.

6.正项级数∑an发散，sn是an的部分和.
(1)证明∑an/(1+an)发散.
(2)a(N+1)/s(N+1)+...+a(N+k)/s(N+k)>=1-sN/s(N+k),继而证明∑an/sn发散.
(3)证明an/sn^2<=1/s(n-1)-1/sn,再证明∑an/sn^2收敛.
(4)∑an/(1+nan),∑an/(1+n^2an)收敛性如何?

7.设正项级数∑an收敛，令rn=∑(n,+inf)am.
(1)证明m<n时am/rm+...+an/rn>1-rn/rm,再证明∑an/rn发散.
(2)证明an/(rn)^(1/2)<2[(rn)^(1/2)-(r(n+1))^(1/2)],再证明∑an/(rn)^(1/2)收敛.

8.证明两个绝对收敛的级数的柯西乘积也绝对收敛.

9.定义复数数列{sn}的算术平均数列σn=(s0+...+sn)/(n+1).
(1)设an=sn-s(n-1).证明sn-σn=1/(n+1)∑(1,n)kak,由此，假定lim(nan)=0,{σn}收敛于a,证明{sn}收敛于a.
(2)在更弱的条件:nan有界，{σn}收敛于a的条件下证明{sn}收敛于a.

10.形如x=∑an/3^n的实数构成cantor三分集，其中an或为0或为2.

11.设{pn}是度量空间X中的柯西序列,且有某个子序列{pnk}收敛于p,证明{pn}收敛于p.

12.如果序列{En}里的En都是完备度量空间X中的非空有界闭集，E(n+1)包含于En，且lim(n->+inf)diamEn=0,证明∩(1,+inf)En恰有一点.

13.证明Baire定理:设X是完备度量空间，序列{Gn}中的Gn都是X的稠密开子集,证明∩(1,+inf)Gn不空(事实上在X中稠密).