7.定义f为R上连续实函数,0<=f(t)<=1,f(t)=0(0<=t<=1/3),f(t)=1(2/3<=t<=1),f(t+2)=f(t).
令Φ(t)=(x(t),y(t)),其中x(t)=∑(1,+inf)2^(-n)f(3^(2n-1)t),y(t)=∑(1,+inf)2^(-n)f(3^(2n)t).
证明Φ(t)连续,而且Φ把[0,1]映满单位正方形I^2.再证Φ把cantor集映满I^2.

8.设f是R上连续实函数,fn(t)=f(nt),{fn}在[0,1]上等度连续,那么关于f能得出什么结论?

9.设{fn}是紧集K上的等度连续函数序列,{fn}在K上逐点收敛,证明{fn}在K上一致收敛.

10.设{fn}是一致有界函数列,fn在[a,b]上黎曼可积,令Fn(x)=∫(a,x)fn(t)dt,证明存在着子序列{Fn_k},它在[a,b]上一致收敛.

11.设K是紧度量空间,S是K上连续有界复值函数全体的子集,证明S是紧的当且仅当S一致闭,逐点有界,并且等度连续.

12.f在[0,1]上连续,∫(0,1)f(x)x^ndx=0,证明f在[0,1]上恒为0.

13.设K是复平面上的单位圆,设A为所有形式为f(e^(ia))=∑(0,N)cne^(ina)的函数组成的代数,那么A能分离K的点,不在K中的点消失,但仍然有K上的连续函数不属于A的一致闭包.

14.设P0=0,定义P(n+1)(x)=Pn(x)+[x^2-(Pn(x))^2]/2,证明在[-1,1]上Pn(x)一致收敛于|x|.

15.设X是度量空间,固定a属于X,给每个p属于X指定一个函数fp,fp(x)=d(x,p)-d(x,a).对任意p,q属于X,证明||fp-fq||=d(p,q),设φ(p)=fp,则φ是从X到φ(X)的等距同构.证明φ(X)是L(X)的子空间(L(X)是所有X上复值连续有界函数的全体).设Y是φ(X)在L(X)中的闭包,证明Y是完备的.

16.设φ是长条形区域0<=x<=1,y属于R内的连续有界实函数.证明初值问题y'=φ(x,y),y(0)=c的解存在.

第八章
1.n是自然数,证明|sinnx|<=n|sinx|.

2.证明∑(1/p)发散,p取遍一切素数.

3.设f在[0,+inf)上内闭黎曼可积,lim(x->+inf)f(x)=1.证明lim(t->0)t∫(0,+inf)e^(-tx)f(x)dx=1(t>0).

4.Fejer定理:设f连续,以2π为周期,设sn是f傅里叶级数的前n项和,σN=(s0+s1+..+sN)/(N+1).那么在[-π,π]上σn一致的趋于f(x).如果f有不连续点,但每个点的左右极限都存在,则对于每个x,lim(n->+inf)σn(x)=[f(x+)+f(x-)]/2.

更这么多了吖，哎，有点纠结寒假到底是吧Rudin前面的再过一遍然后吧后面三章看看还是看Stein的傅里叶...感觉寒假太短了