你认为N# 可能根本不存在。你所举的例子与N# 完全不同，不能靠举一个例子就证明N#可能不在在。命题f为真，N#就为真，N#是命题f为真而必然产生的东西。

你根本没有证明 N# = {1,2,3,...i}∪P(i) 啊。
经过你４０５楼、４０６楼的确认，N# 具有以下两种性质：
＜１＞ 将 N# 中所有的元素自 N 移除之后，f({N留})仍为真。
＜２＞ N-N# 的元素不为空，且 N-N# 的元素自 N 移除后，f({N留})必不为真。（这是你４０５、４０６楼澄清的部分，自己比较看看！）
前面你在证明 {1,2,3} ∈ N# 的时候，根本没有证明第２条啊。
你光是用”将 {1,2,3} 自 N 移除之后，f({N留})仍为真”这句话，就当作 {1,2,3} ∈ N# 的证据了，这仅仅是符合第１条啊。
如果你未曾证实 N# 能够使得第２点成立的话，那麼 N# 可能根本不存在，前面对於 {1,2,3} ∈ N# 的证明当然就不充分喽。
我已经告诉过你如果不存在没有后继数的自然数，那麼你就无法保证第２点，因此你对於 N# 的定义＜１＞与＜２＞就自相矛盾而根本不存在。请问你的证明有没有排除这个可能？如果你的证明过程根本没有排除过这个可能，那麼你光靠 N# 的”半边”定义是如何证明 {1,2,3} ∈ N# 的？你连 N# 是否存在都尚未证明呢！
我可是提出了 N# 不存在的情况喔（所有自然数都有后继数且所有后继数都是自然数），你可曾证明过这个情况不存在？

针对您的要求我再说一次：
经过你４０５楼、４０６楼的确认，N# 具有以下两种性质：
＜１＞ 将 N# 中所有的元素自 N 移除之后，f({N留})仍为真。
＜２＞ N-N# 的元素不为空，且 N-N# 的元素自 N 移除后，f({N留})必不为真。
只要”所有自然数都有后继数，且所有后继数都是自然数”，那麼第２点未必成立，所以 N# 的定义可能有矛盾，因此 N# 也可能根本不存在。然而王永明的证明过程中根本没有考虑过这个可能，所以他的证明过程并不完备。

如果你未曾证实 N# 能够使得第２点成立的话，那麼 N# 可能根本不存在，前面对於 {1,2,3} ∈ N# 的证明当然就不充分喽。
我已经告诉过你如果不存在没有后继数的自然数，那麼你就无法保证第２点，因此你对於 N# 的定义＜１＞与＜２＞就自相矛盾而根本不存在。请问你的证明有没有排除这个可能？如果你的证明过程根本没有排除过这个可能，那麼你光靠 N# 的”半边”定义是如何证明 {1,2,3} ∈ N# 的？你连 N# 是否存在都尚未证明呢！
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设X为实数集R的任意一个不少于3个元素的子集，令集盒Y=X，y为取值范围为Y的变量，则必然存一个对应的真命题f：
对于X中的任何一个数x，y都能从Y中取到值q（q可以为x），q≥x。
令命题V为：将Y中的元素1和2同时都从Y中拿出来，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。
命题V无疑是真的。例如，对于集盒X=Y=｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，命题V无疑是真的。
由命题V是真的必可推出命题E：
至少能够从Y中同时取出2个元素，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。
因此：
V→E
必然是真的。
命题E的确切意义是什么呢？我们对其进行逻辑分析，很容易得出这个结论：
命题E断言，在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的Y中元素的总量至少存在两个。
从Y中同时拿出来1和2这两个元素，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立，这是个真命题。由这个事实必然使人发问：在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的Y中元素总共有多少？正确的回答是：
在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的Y中元素的总量至少存在两个。
这个断言是对一个集盒J存在的断言，即存在一个集盒J，J是这样一个集盒：在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的所有Y中元素所组成的集盒。J中的元素至少存在两个。
由集盒J的特性必可推出，将J中所有元素都拿出来，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。我们又可推出，｛Y留｝一定不是空集。根据这一结论又可推出，J是Y的真子集，即J中不含有Y的全部元素。
而J的特性与N#的特性完全相同。因此，集盒N#必存在，并且不是空集。

针对您的要求我再说一次：
经过你４０５楼、４０６楼的确认，N# 具有以下两种性质：
＜１＞ 将 N# 中所有的元素自 N 移除之后，f({N留})仍为真。
＜２＞ N-N# 的元素不为空，且 N-N# 的元素自 N 移除后，f({N留})必不为真。
只要”所有自然数都有后继数，且所有后继数都是自然数”，那麼第２点未必成立，所以 N# 的定义可能有矛盾，因此 N# 也可能根本不存在。然而王永明的证明过程中根本没有考虑过这个可能，所以他的证明过程并不完备。
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你认为如果“所有自然数都有后继数，且所有后继数都是自然数”，N#定义就有问题。从本质上说，N#是推导出来的集盒，而不是定义出来的集盒。所谓的那个“N#定义”，只不过是说一下N#的具体意义罢了。无论在主帖中，还是后来的回复中，都是这样的。
N#是推导出来的存在物，而不是定义出来的存在物。同样，N# = {1,2,3,...i}∪P(i)也是推导出来的存在物，而不是定义出来的存在物。


依据您４０５、４０６楼的澄清，N# 中的元素不是”只有” P 一个性质而已，它们还有一个 Q 性质。
P: 将 N# 中任意数量的元素自 N 中移除之后，满足 f({N留}) 为真。
Q：将 N# 中的所有元素自 N 中移除之后，{N留} 中必存有非空元素 a ，且{N留}中的任意非空元素 a 均能满足 f({N留}-a) 为伪。
其中 Q 性质是您在４０５、４０６楼（尤其是４０６楼）所大力澄清的重要观念。然而这个 Q 性质在您前面推导 N# = {1,2,3,...i}∪P(i) 的过程中，一个字儿都没有提到，您就彷佛彻底忘了它的存在。
既然您没有办法证明您推导 N# 的过程符合 Q 性质，而您在４０６楼又大力澄清 Q 性质对於 N# 的重要性（Q 根本就是 N# 的定义的一部分！），那麼我只好认为您的推导过程有疏漏。

你所说的N#的性质P和Q，在我的帖子中都是推导出来的N#的定理，而不是定义出来的。在420楼，421楼和422楼，我都给出了证明和较详细的说明。N#的性质P和Q存在逻辑上的必然联系，由N#的性质P，必可推出N#具有性质Q，即：P→Q。例如，420楼我所言的J=N#。下面就是关于N#的两个特性“P和Q”的：
令命题V为：将Y中的元素1和2同时都从Y中拿出来，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。
命题V无疑是真的。例如，对于集盒X=Y=｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，命题V无疑是真的。
由命题V是真的必可推出命题E：
至少能够从Y中同时取出2个元素，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。
因此：
V→E
必然是真的。
命题E的确切意义是什么呢？我们对其进行逻辑分析，很容易得出这个结论：
命题E断言，在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的Y中元素的总量至少存在两个。
从Y中同时拿出来1和2这两个元素，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立，这是个真命题。由这个事实必然使人发问：在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的Y中元素总共有多少？正确的回答是：
在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的Y中元素的总量至少存在两个。
这个断言是对一个集盒J存在的断言，即存在一个集盒J，J是这样一个集盒：在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的所有Y中元素所组成的集盒。J中的元素至少存在两个。
上面证明了J具有性质P。由J具有性质P，必可推出J具有性质，即P→Q。下面是这个证明：
集盒J具有的特性P为，将J中所有元素都拿出来，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。而｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的条件是：｛Y留｝一定不是空集，N—J=｛Y留｝不是空集，即｛Y留｝中必有元素。根据这一结论又可推出：J是Y的真子集，即J中不含有Y的全部元素。
这就是说，由集盒J具有的特性P，可推出“J是Y的真子集，即J中不含有Y的全部元素”，即：P→J是Y的真子集。
若从｛Y留｝中再拿出元素x，｛Y留－x｝使命题f｛Y留－x｝成立，那么，将J∪x同时拿出来，｛Y留－x｝使命题f｛Y留－x｝一定成立。这与集盒J具有的特性P相矛盾，故从｛Y留｝中再拿出元素x，｛Y留－x｝使命题f｛Y留－x｝一定“不”成立。
因此，由J具有性质P，必可推出J具有性质，即P→Q。
如果P是真的，就一定能推出Q是真的。这是有效逻辑推理的规范。你不能不允许P→Q这种范式的推理。如果不允许这种推理，也就不存在逻辑了。
而J的特性与N#的特性完全相同。

由J具有性质P，必可推出J具有性质Q，即P→Q。

回复４２０楼，下面的话小弟有意见
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这个断言是对一个集盒J存在的断言，即存在一个集盒J，J是这样一个集盒：在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的所有Y中元素所组成的集盒。
J中的元素至少存在两个。
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上面的上下两段中间，少了一句话，那就是”假设 J **存在”这句话。

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集盒J具有的特性P为，将J中所有元素都拿出来，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。
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错了，你应该说”将J中所有元素，一个一个拿出来与１和２形成子集 K，将 K 自 Y 中移除后，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立”。
”J 中的每一个元素与１和２组成子集 K ”是你当初对於 J 集所下的定义，而 J 是每一个特称命题的联集。
但关键问题是”特称命题的联集”并不等於”全称命题”！这是你反覆犯的错误。
举个例子：
将人类全身上下的任何一个细胞Ａ，与手指尖的细胞１号、脚趾尖的细胞２号，这三颗细胞同时割去的话，这个人都不会因此而亡；所有符合上述性质的细胞Ａ，构成了集核 JJ
现在你说将集核 JJ 中的所有细胞通通一起割掉，那麼这人还能活吗？
你的谬误在於你一直不断地误信”特称命题的联集”恒等於”全称命题”，我在４０７楼的最末一段也已经都举过反例了。

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集盒J具有的特性P为，将J中所有元素都拿出来，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。
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错了，你应该说”将J中所有元素，一个一个拿出来与１和２形成子集 K，将 K 自 Y 中移除后，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立”。
”J 中的每一个元素与１和２组成子集 K ”是你当初对於 J 集所下的定义，而 J 是每一个特称命题的联集。
但关键问题是”特称命题的联集”并不等於”全称命题”！这是你反覆犯的错误。
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这是你自己的误解而不是我“反覆犯的错误”。
我没有给集盒J下定义，那是推导出来的集盒的性质。你把以前我回复中的集盒L的含义当作集盒J的含义了，而L和J的含义是不同的，L的元素指将三个元素1、2和x同时拿出来f成立，J却不是。在以前我证明L是N#的子集中，都显示了这一点。

－－－　王永明的４２０楼倒数第三段　－－－
J是这样一个集盒：
在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的所有Y中元素所组成的集盒。
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－－－　王永明的４２９楼倒数第一段　－－－
我没有给集盒J下定义，那是推导出来的集盒的性质。
你把以前我回复中的集盒L的含义当作集盒J的含义了，而L和J的含义是不同的，L的元素指将三个元素1、2和x同时拿出来f成立，J却不是。在以前我证明L是N#的子集中，都显示了这一点。
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有谁可以解释一下，在这区区９层楼之间王永明的理论发生了甚麼变化吗？
王永明先生可以解释一下４２０楼倒数第三段的部分，为何不是集盒J的定义？

由真命题f可推导出-----集盒N中存在具有性质P的元素，P是推导出来的。我把这个性质P的含义讲出来，这不属于我的假设，也不属于我下了“定义”。类比一下，如果某一个人发现有一只百灵鸟的头是黑的，他就说：“有的百灵鸟是黑头的，至少有一只百灵鸟是黑头的。”。这个人只是描述了一个存在的事实，而不是定义了一个事实。
数学推理中证明出来的定理，都不是定义。不要把定理与定义混为一谈。当然，也不能把“描述一个存在的事实”当作定义。

没有人反对 P 性质，只不过经过你４０５、４０６楼的最新解释，N# 除了 P 性质以外还必须有 Q 性质，这是你刻意忽略的地方。
同样的，你也没有回答我４３０楼的问题，所以我只好再重提一遍：
－－－　王永明的４２０楼倒数第三段　－－－
J是这样一个集盒：
在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的所有Y中元素所组成的集盒。
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－－－　王永明的４２９楼倒数第一段　－－－
我没有给集盒J下定义，那是推导出来的集盒的性质。
你把以前我回复中的集盒L的含义当作集盒J的含义了，而L和J的含义是不同的，L的元素指将三个元素1、2和x同时拿出来f成立，J却不是。在以前我证明L是N#的子集中，都显示了这一点。
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请问”王永明的４２０楼倒数第三段”，究竟是不是一个定义？
如果是，那麼”王永明的４２９楼倒数第一段”为何要否认这个事实？

你的谬误在於你一直不断地误信”特称命题的联集”恒等於”全称命题”，我在４０７楼的最末一段也已经都举过反例了。
我从来都没有质疑 P 性质是错的，个别的特称命题 P 当然是对的，所以希望你不必一而再、再而三地澄清我并未质疑你的部分；反而却对我真正质疑你的部分避而不答。