事实Ａ：因为N#是N的真子集，即N#不含有N的全部元素
事实Ａ是针对 N# 的限制，不是针对 {1,2,3,...i}∪P(i) 的限制。
在证明 N# = {1,2,3,...i}∪P(i) 之前，你不能假设 {1,2,3,...i}∪P(i) 也受到＜事实Ａ＞所限，不然的话你等於直接未经证明就直接宣布它们俩相等了。
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由N#的定义必可推导出N# = {1,2,3,...i}∪P(i) ，因此，事实Ａ是针对 N# 的限制，就必可推出也是针对 {1,2,3,...i}∪P(i) 的限制。这是逻辑推理规则所规定的，不是我个人的规定。在前面的回复中我已做出了这个推导证明，请你反驳那个证明。如果你反驳那个证明成功，你上述观点就是对的，否则就不对。
数学是演绎学科，你不能无视根据必然性的演绎推理所得到的结论。事实Ａ是针对 N# 的限制，就是针对 {1,2,3,...i}∪P(i) 的限制。

如果你未曾证实 N# 能够使得第２点成立的话，那麼 N# 可能根本不存在，前面对於 {1,2,3} ∈ N# 的证明当然就不充分喽。
我已经告诉过你如果不存在没有后继数的自然数，那麼你就无法保证第２点，因此你对於 N# 的定义＜１＞与＜２＞就自相矛盾而根本不存在。请问你的证明有没有排除这个可能？如果你的证明过程根本没有排除过这个可能，那麼你光靠 N# 的”半边”定义是如何证明 {1,2,3} ∈ N# 的？你连 N# 是否存在都尚未证明呢！
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设X为实数集R的任意一个不少于3个元素的子集，令集盒Y=X，y为取值范围为Y的变量，则必然存一个对应的真命题f：
对于X中的任何一个数x，y都能从Y中取到值q（q可以为x），q≥x。
令命题V为：将Y中的元素1和2同时都从Y中拿出来，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。
命题V无疑是真的。例如，对于集盒X=Y=｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，命题V无疑是真的。
由命题V是真的必可推出命题E：
至少能够从Y中同时取出2个元素，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。
因此：
V→E
必然是真的。
命题E的确切意义是什么呢？我们对其进行逻辑分析，很容易得出这个结论：
命题E断言，在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的Y中元素的总量至少存在两个。
从Y中同时拿出来1和2这两个元素，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立，这是个真命题。由这个事实必然使人发问：在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的Y中元素总共有多少？正确的回答是：
在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的Y中元素的总量至少存在两个。
这个断言是对一个集盒J存在的断言，即存在一个集盒J，J是这样一个集盒：在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的所有Y中元素所组成的集盒。J中的元素至少存在两个。
由集盒J的特性必可推出，将J中所有元素都拿出来，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。我们又可推出，｛Y留｝一定不是空集。根据这一结论又可推出，J是Y的真子集，即J中不含有Y的全部元素。
而J的特性与N#的特性完全相同。因此，集盒N#必存在，并且不是空集。

针对您的要求我再说一次：
经过你４０５楼、４０６楼的确认，N# 具有以下两种性质：
＜１＞ 将 N# 中所有的元素自 N 移除之后，f({N留})仍为真。
＜２＞ N-N# 的元素不为空，且 N-N# 的元素自 N 移除后，f({N留})必不为真。
只要”所有自然数都有后继数，且所有后继数都是自然数”，那麼第２点未必成立，所以 N# 的定义可能有矛盾，因此 N# 也可能根本不存在。然而王永明的证明过程中根本没有考虑过这个可能，所以他的证明过程并不完备。
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你认为如果“所有自然数都有后继数，且所有后继数都是自然数”，N#定义就有问题。从本质上说，N#是推导出来的集盒，而不是定义出来的集盒。所谓的那个“N#定义”，只不过是说一下N#的具体意义罢了。无论在主帖中，还是后来的回复中，都是这样的。
N#是推导出来的存在物，而不是定义出来的存在物。同样，N# = {1,2,3,...i}∪P(i)也是推导出来的存在物，而不是定义出来的存在物。


你所说的N#的性质P和Q，在我的帖子中都是推导出来的N#的定理，而不是定义出来的。在420楼，421楼和422楼，我都给出了证明和较详细的说明。N#的性质P和Q存在逻辑上的必然联系，由N#的性质P，必可推出N#具有性质Q，即：P→Q。例如，420楼我所言的J=N#。下面就是关于N#的两个特性“P和Q”的：
令命题V为：将Y中的元素1和2同时都从Y中拿出来，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。
命题V无疑是真的。例如，对于集盒X=Y=｛1，2，3，4，5，6，7，8｝，命题V无疑是真的。
由命题V是真的必可推出命题E：
至少能够从Y中同时取出2个元素，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。
因此：
V→E
必然是真的。
命题E的确切意义是什么呢？我们对其进行逻辑分析，很容易得出这个结论：
命题E断言，在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的Y中元素的总量至少存在两个。
从Y中同时拿出来1和2这两个元素，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立，这是个真命题。由这个事实必然使人发问：在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的Y中元素总共有多少？正确的回答是：
在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的Y中元素的总量至少存在两个。
这个断言是对一个集盒J存在的断言，即存在一个集盒J，J是这样一个集盒：在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，能够与1和2这两个元素同时从Y中拿出来的所有Y中元素所组成的集盒。J中的元素至少存在两个。
上面证明了J具有性质P。由J具有性质P，必可推出J具有性质，即P→Q。下面是这个证明：
集盒J具有的特性P为，将J中所有元素都拿出来，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。而｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的条件是：｛Y留｝一定不是空集，N—J=｛Y留｝不是空集，即｛Y留｝中必有元素。根据这一结论又可推出：J是Y的真子集，即J中不含有Y的全部元素。
这就是说，由集盒J具有的特性P，可推出“J是Y的真子集，即J中不含有Y的全部元素”，即：P→J是Y的真子集。
若从｛Y留｝中再拿出元素x，｛Y留－x｝使命题f｛Y留－x｝成立，那么，将J∪x同时拿出来，｛Y留－x｝使命题f｛Y留－x｝一定成立。这与集盒J具有的特性P相矛盾，故从｛Y留｝中再拿出元素x，｛Y留－x｝使命题f｛Y留－x｝一定“不”成立。
因此，由J具有性质P，必可推出J具有性质，即P→Q。
如果P是真的，就一定能推出Q是真的。这是有效逻辑推理的规范。你不能不允许P→Q这种范式的推理。如果不允许这种推理，也就不存在逻辑了。
而J的特性与N#的特性完全相同。

由J具有性质P，必可推出J具有性质Q，即P→Q。

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集盒J具有的特性P为，将J中所有元素都拿出来，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。
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错了，你应该说”将J中所有元素，一个一个拿出来与１和２形成子集 K，将 K 自 Y 中移除后，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立”。
”J 中的每一个元素与１和２组成子集 K ”是你当初对於 J 集所下的定义，而 J 是每一个特称命题的联集。
但关键问题是”特称命题的联集”并不等於”全称命题”！这是你反覆犯的错误。
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这是你自己的误解而不是我“反覆犯的错误”。
我没有给集盒J下定义，那是推导出来的集盒的性质。你把以前我回复中的集盒L的含义当作集盒J的含义了，而L和J的含义是不同的，L的元素指将三个元素1、2和x同时拿出来f成立，J却不是。在以前我证明L是N#的子集中，都显示了这一点。

由真命题f可推导出-----集盒N中存在具有性质P的元素，P是推导出来的。我把这个性质P的含义讲出来，这不属于我的假设，也不属于我下了“定义”。类比一下，如果某一个人发现有一只百灵鸟的头是黑的，他就说：“有的百灵鸟是黑头的，至少有一只百灵鸟是黑头的。”。这个人只是描述了一个存在的事实，而不是定义了一个事实。
数学推理中证明出来的定理，都不是定义。不要把定理与定义混为一谈。当然，也不能把“描述一个存在的事实”当作定义。

我431楼已针对“定义”回复了你，但你没理解。

前面我已回复你了，集盒N#和J的含义都是：将集盒中的所有元素都拿出来，f成立，而不是指仅拿出一部分；N#和J的含义与集盒L含义不同。N#和J与你所说的“联集”无关。你所说的“联集”只与集盒L有关。
我对你的理解是怀疑的。不知你是故意的还是无意的？

希望你看一看431楼的内容。这类观点我已重复多了。

前面我已证明了，若集盒N#（N#=J）具有性质P，就必可由P推导出N#具有性质Q，即P→Q必为真。
强调集盒N#（N#=J）具有性质P是必须的，有了这个根基，一切都解决了，N#具有性质Q就是必然的，不争的事实。

“有的百灵鸟是黑头的，至少有一只百灵鸟是黑头的”，这是一个特称肯定命题。这个命题为真，就是P类不是空类为真，就证明了P类中只存在“黑头的百灵鸟”，不存在非“黑头的百灵鸟”。
“在｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的前提条件下，有的Y中元素允许同从Y中拿出去”，这是一个特称肯定命题。这个命题为真，就是P类不是空类为真，就证明了P类中只存在“允许同从Y中拿出去的元素”，不存在非“允许同从Y中拿出去”。这个P类就是N#。由N#具有性质P，就必可由P推导出N#具有性质Q，即P→Q必为真。
有了P就足够了，由它就可推出N中存在最大数M。P→“N中存在最大数M”为真。

你完全没有证明 P->Q ，如果你讲的是４２４楼的证明，那玩意儿错误得厉害，我都不忍心批评你了。
你４２４楼中 P 性质对於 J 集仅仅是”必要条件”：
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集盒J具有的特性P为，将J中所有元素都拿出来，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。而｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的条件是：｛Y留｝一定不是空 集，N—J=｛Y留｝不是空集，即｛Y留｝中必有元素。根据这一结论又可推出：J是Y的真子集，即J中不含有Y的全部元素。
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看到没有？”凡 J 则 P”，但反之未必，你上面从未主张”凡 P 则 J”。
如果你胆敢主张”凡 P 则 J”，那麼你就要证明”凡｛Y留｝则非 P”－－而这个逆否命题这也正是我逼问了你半天、而你始终不敢回答的 Q 性质。
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只要J具有性质P为真，就必可推出J具有性质Q，即 P->Q 。你认为这种推理不允许，即不允许用J具有的性质P进行推理，这可是强盗逻辑，呵呵。不允许用真命题去推理，这在逻辑上是非常可笑的。如果“允许用真命题去推理，”，我的那个证明是无懈可击的。下面就是关于“P->Q”的证明：
1，集盒J具有的特性P为，将J中所有元素都拿出来，｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立。而｛Y留｝使命题f｛Y留｝一定成立的条件是：｛Y留｝一定不是空 集，N—J=｛Y留｝不是空集，即｛Y留｝中必有元素。
这证明了：｛Y留｝中必有元素
根据这一结论又可推出：J是Y的真子集，即J中不含有Y的全部元素。
2，若从｛Y留｝中再拿出元素x，｛Y留－x｝使命题f｛Y留－x｝成立，那么，将J∪x同时拿出来，｛Y留－x｝使命题f｛Y留－x｝一定成立。这与集盒J具有的特性P相矛盾，因为已将所有的具有性质P的元素都从N中拿出来，而不是没有都拿出来，所以上面的假设与集盒J具有的特性P相矛盾。因此，从｛Y留｝中再拿出元素x，｛Y留－x｝使命题f｛Y留－x｝一定“不”成立。
上面的1和2，证明了J具有性质Q。如果J具有性质P为真，就必可推出J具有性质Q，即 P->Q 。
你不允许用J具有的性质P进行推理，这可是强盗逻辑，呵呵。不允许用真命题去推理，这在逻辑上是非常可笑的。
你不懂逻辑，呵呵。


在ZF公理出现以前，人们可以自由地构造集盒{x|P(x)}，其中P(x)}是对
该集盒中的元素性质的一种描述，正是这样的限制不够严格地随意制
集盒才导致了罗素悖论。
对此，ZF公理的办法是：必须先有一个集盒A，在A中选择满足性质P(x)
的元素来构造另一个集盒（A的子集），包含一切集的集盒不存在。这
也叫公理集盒论。
子集公理图式，或称分离公理图式，概括公理图式。其作用在于，它允许用任何一个特征描述从一个给定的集盒中划分出一个新的子集。在此之前人们认为，运用任何一种特征描述来界定一个集盒是没问题的，但这种做法导致了Russell悖论和其它一些悖论的出现。有鉴于此，集论公理系统摒弃了这种随意造集的做法，而建立了更严格的公理----子集公理图式，或称分离公理图式，概括公理图式，运用某种特征一定能够从一个合法的集盒中划分出一个“合法的子集”，即一定存在这样子集，这个子集是唯一的。
存在自然数集N，N非空，，N中存在具有性质P的元素，具有性质P的元素不是空类，因此必然存在N的一个子集J，J包含了所有具有性质P的元素，J之外不存在“具有性质P的元素”。
这比ZF的子集公理图式（Subset axiom schema）更严格，要求集不是空集，性质P不是空类。
ZF的子集公理图式（Subset axiom schema）是没有你的那一套东西的，而是：存在集盒X和X中的某一个或某一些元素所具有的性质P，就一定存在满足这一性质P的一个子集盒Y，这是Y存在的充分条件。