解法二先确定下 是不是过圆内任意一点时 中心点在此点上的弦 有且仅有一个 . 圆心上是无穷多的 ，圆周上没有 . 其它位置我简单看了下 貌似是 有且仅有一个 . 不重要了 既然有了圆心上的无穷多 显然 就不合理了 .

我倒是没有看若是不计算圆心和圆周的点 ，是不是这个取弦方式就正确了 . 求数学大牛们帮忙补上呗 ~

如图 ，在原题中 取和三角形边 EF 平行的弦都是由在 HI 上做垂直而得到的 ，这样方便原题中的在 HI 取点对比和 EF 的长短关系 . 既然都是现在 HI 上取点 那先穷尽下 HI 吧 . 如上图右边的图 ，旋转了下角度 . 如此转趋近 180度 ，便可以穷尽 HI 了 . 现在看 HI 穷尽出的点吧 . 很明显 离圆心近的部分 穷尽出的点密集 . 很明显 做弦时取的点密集度不同 ，不均匀了 .

三个解法 无穷中随机取弦 都不行 . 数学菜 看到没有悖论了 就没有再思考下去 .！就到这

@isaiah22 @数学诡异 @王永明1 求鉴定楼上是否可以说明伯特兰悖论已经不是悖论了 ？？

能告诉我什么叫做“任意”吗？当给出确定的模型之后，还叫任意吗？

确定什么模型了 ...

每一个具体的圆，圆内的弦的数目是唯一的，有限的，2条的，3条的，10条的等等，怎么能说无法给出呢？

伯特兰悖论（Joseph.Bertrand’paradox）
涅尔在可《概率与演算》中说：“这是伯特兰在它的《概率演算》（1889）一书第4-5页表述的三个问题之一，其目的在于证明：谈论从无穷多个供选者中作随机选择是无意义的。彭加勒把这个特殊的命题命名为‘伯特兰悖论’”
从有穷多个供选者中作随机选择，可能是有意义的，因为它不产生伯特兰悖论。
无差别原则不适用于无穷情况。
无差别原则（Principle of indifference）：如果我们没有正面的理由去赞成两个相互排斥和竞争中的理论中的任意一个，我们必须是中立的或无偏向的，给它们指派相同的概率度，因为不存在指派不相等概率的正面根据。这一原则是由伯努力、拉普拉斯和J.凯恩斯提出来的。这一原则在选择理论中是有用的，但它与归纳理论一样面临着难题，它的应用导致“伯特兰悖论”。


问题：在一个圆内任意取一条弦。这条弦长度大于圆内接等边三角形边长的概率是多少？
离散中这个问题能解么 ？？不看伯特兰悖论 ，你就解下这道题就行 .!
PS：你和我解释物理中因为画笔速度不同 而画出来的不同的圆 ，和解这题有什么关系 ...

好吧 你一个 10cm半径的圆 ，到底由多少条弦 ？？

数学中也好、实际中也罢 ，无穷中随机问题太多了 用无意义解释有点说不过去吧 .! 再去好好想想 .!

问题：在一个圆内任意取一条弦。这条弦长度大于圆内接等边三角形边长的概率是多少？
离散中这个问题能解么 ？？不看伯特兰悖论 ，你就解下这道题就行 .!
PS：你和我解释物理中因为画笔速度不同 而画出来的不同的圆 ，和解这题有什么关系 ...
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1，如果圆周上的点的分布是均匀的，并且圆周上的点的数目n大于3000个点，这个概率P（A）非常近似于1/3。我用计算器计算了一下，下面是一组数据：
n=3时，P（A）＝1
n＝6，P（A）＝0.6
n＝12，P（A）≈0.4545
n＝24，P（A）≈0.3913
n＝48，P（A）≈0.361
n＝96，P（A）≈0.347368
n＝192，P（A）≈0.34031
n＝384，P（A）≈0.33681
n＝768，P（A）≈0.33507
n＝1536，P（A）≈0.334201
n＝3072，P（A）≈0.33376750≈1/3
也就是说，存在P（A）的数列f（f：a1，a2，a3，…)，数列f的极限为1/3。
我认为空间是离散的，按此理论解释，组成圆周的点的个数n不同，P（A）也不同，在圆周的点的个数n≥k（k=3000）的情况下，P（A）≈1/3。在空间离散的情况下，P（A）只有唯一的解，不存在多个解。
2，“因为画笔速度不同 而画出来的不同的圆 ”，我这是在说，在空间离散的情况下，半径相同的圆是不同的，组成圆周的点的个数n不同，P（A）也不同。
我准备写一个伯特兰悖论解决方案的帖子。


不同的10cm半径的圆，弦的总数可能不同。例如，当均匀分布的圆周上的点的数目n=3072时，这个圆的弦的总数目m=4717056条，大于或等于该圆内接正三角形边长的弦的总数目b=1574400条，b/m =1574400/4717056≈0.33376750≈1/3。当均匀分布的圆周上的点的数目n=1536时，这个圆的弦的总数目m=1178880条，大于或等于该圆内接正三角形边长的弦的总数目b=393984条，b/m =393984/1178880≈）≈0.334201。


最新思考：与非欧几何相关。因为不同的几何蕴含不同圆的定义，从而蕴含不同弦的逻辑表达式。
肤浅的解释：虽然这个圆及所取弦是在欧几里德几何范畴内，但概率测度的定义未必与想象的一致。分布函数具有逻辑形式，此题所谓弦中点分布函数可能是破题关键。
在双信封悖论中，我论述了，概率空间未定，事件集∩∪运算未必映射到概率+*运算，因此允许“乱用”几何平均。此题我秉承相似看法，最终实现参差不齐，错落有致的境界。