一个数可以写成两种不同的连续自然数的乘积的形式，并且不能重叠，比如120=2*3*4*5=4*5*6就不行，因为4, 5重叠了，但是210=5*6*7=14*15就可以 像这样的数只有以下4个： 210=5*6*7=14*15 720=1*2*3*4*5*6=8*9*10 175560=55*56*57=19*20*21*22 17297280=8*9*10*11*12*13*14=63*64*65*66 有一段时间我也在研究这个问题，可是怎么也没法证明出来，感觉比椭圆曲线复杂多了

ns小考

求所有正整数n，使τ（n！）不整除n！. 其中τ（m）为m的正约数个数

求所有正整数组（x，y，n），使得 （2^x-1）（5^x-1）=y^n 成立

另外第二个发现也很有意思，从数学上咋怎么这个规矩尼。

n是正奇数，x是整数，假设2^x=x(mod n)在0<x<φ(n)*n之间有N个解，是否总有N≤n-2 ?

首先定义一种运算:给出任意一个初始自然数a，其位数为v，先求得a各位数之和h，再算得一个新的自然数h^v=a1，然后对a1重复以上运算得到a2，由此反复运算直到无穷。得到一个无穷递归数列{an}=a1，a3，a4，a5，a6……猜想此数列必收敛。收敛数列的极限为以下13个自然数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，81，512，2401其中之一。这13个自然数又称为反自幂数。 例:当a=11时，a1=（1+1）^2=4，a2=4^1=4=a3=……得到数列{a}11，4，4，……

a^3=b^3+c^3+d^2;当a为任意正整数,b,c,d是与a不同的正整数时3-24000（跑程序）仅有5,13,19,22,23不满足该式。若将a,b,c,d拓宽至整数域好像均满足 5^3=2^3+(-3)^3+12^2 不清楚是否有出处

如题，在证明一些不等式结论用得到

关于伽罗瓦域的一个整除问题。

最近我在网上看到了一道题，说的是a²+b³=c⁴(a, b, c均为正整数)，当c最小时，我们根据计算可以得到a=28, b=8, c=6 于是我有一个想法，拓展一步，如何找出这个不定方程的一组不完全通解，后来我发现这个不定方程不完全通解有很多种形式，在楼下我会进行分析

考虑Z到Z[lbk]i[rbk]的理想扩张，记素理想p的扩张为pe，证明：如果p=1（mod 4），那么pe可以表示成Z[lbk]i[rbk]中两个素理想的乘积，如果p=3（mod 4），那么pe是Z[lbk]i[rbk]中的素理想

设y为正整数，证明存在无穷多个4k+3型素数p满足p整除y·2^n+1。

反自幂数13太保 在自然数中有一种数称为“自幂数”，即若一个n位数的各位数的n次幂之和与原数相等，那它就是“自幂数”，例如153=1^3+5^3+3^3。与之相反，在自然数中另有13个非常特殊的数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，81，512，2401，它们的各位数和的n次幂（n是位数）等于自身，如（8+1）^2=81。这是一种与“自幂数”相反的数，称为“反自幂数”。称它们为自然数中的“13太保”也不为过吧？ 一个n位自然数，如果它的各位数之和大于9，那各位数和的n

在计算复杂性理论中，证明或反驳以下命题： “对于任何时间复杂度为O(n²)的确定型图灵机M，都存在一个时间复杂度为O(n³)的非确定型图灵机N，使得L(M) = L(N)的补集。”

不定方程x+2y+3z= n，（图1） 求非负整数解组（x，y，z）的个数.

证明：这个幂级数求和等于1082.

①求所有的非零整数a,b，使得(a²+b)(a+b²)=(a-b)² ②求所有的非零整数a,b，使得(a²+b)(a+b²)=(a-b)³

Carmichael数n，n-1是σ(x)，似乎大概率存在正整数解x，σ(x)是因数和函数，10^8以内只有5个反例，有点密，是怎么回事？这在概率上怎么讲？

a²-t=x²y b²-t=xy² 其中t为已知非零整数，但是，思考了半天怎么也得不出答案，我就是在那里硬凑，也只能找到有限组解，比如t=1时，满足条件的也只能找到(x, y)=(2, 2), (2, 12), (30, 44), (10, 228)这几组（不考虑x, y顺序），会不会跟某个椭圆曲线有关，但就是找不出来

欧拉函数的值域是啥？肯定不是全部偶数并上1，因为2p（p为大于3的素数）且2p+1合数，似乎就不行，那具体是啥呢？求助各位大佬

怎么估计欧拉函数求和的上下界？（图二中的结论是否有用？）

对于任意一个梅森数或费马数n，φ(n) ＞n/2。 对于任意一个梅森数或费马数n， σ(n) ＜2n。 以上都是猜测，估计不好证明。

证明：存在2023个不同的自然数，使得任取它们中的两个数a,b，均有|a-b|=gcd(a,b)成立.

求证明或证否Carmichael数n，n-1是否都是practical数？

把一个正实数n分解成若干个正实数相乘，若要求乘积最大，分成的个数等于与n/e最接近的整数， 每个数相等， 这个定理怎么证

只会证前两个，后四个不会证了，作者推荐的是用韦达定理和无穷递降法，但没给解答

有一个这样的不定方程，z²=px⁴+qx³y+rx²y²+sxy³+ty⁴, 其中p, q, r, s, t均为整数，要寻找这个方程的整数解(x, y, z)（或者是有理数解），我们可以转化为寻找λ²=pξ⁴+qξ³+rξ²+sξ+t的有理数解(ξ, λ), 如果多项式px⁴+qx³+rx²+sx+t在有理数数域上可以分解为一个一次多项式和一个三次多项式乘积，我们可以转化为λ²=η(p'η³+q'η²+r'η+s')，进而转化为椭圆曲线y²=s'x³+r'x²+q'x+p'来做，如果多项式px⁴+qx³+rx²+sx+t不能分解为一个一次多项式和一个三次多项式乘积，

设f（x）=x^3+ax+b为一个首一整系数多项式，且 4a^3+27b^2不等于0。证明：存在无穷多个正整数n，使得f（n）无平方因子

P>3为素数，记A为（1+x+x^2）^P中x^P的系数。求证：A≡1（modP^2）.

例2025x+209y+112z=2025209112 求满足条件时整边△xyz的个数 （每月一题手工代数式计算） 解：令u，v，w代替x，y，z 理论与题设略，仅写相关的数据 au+bv+cw=d，gcd（a，b，c）=1 abcduvw皆正整数，d=Labc+r 则g（d）=（d-r）*（d+r-a-b-c）/（2abc）+g（r） 注意g（0）=1 g（r）=（（r-a-b-c）r+R）/（2abc） 去年己给出R的余项公式（略） 本题a=321，b=2137，c=2234 恰好（a，b，c）=1此题r1=492736494和r2=e 求出R①=-212363071152，R②=19627348596 求出N=2676372192个整边△

p1,p2,p3,…,pn是一组从2开始的连续n个素数,当|sn|的值落在值域(1，p²n)内,|sn|便是素数

一组从2开始的连续n个素数p1,p2,p3,…,pn.αi,βl,γj是自然数,当|sn|的值落在值域[lbk]pn，p²n[rbk]内,|sn|便是素数,求大佬看看,找下错误

什么是Brun常数？这个常数与孪生素数有关。

若素数p<q<r的乘积n=pqr满足p-1 | n-1, q-1 | n-1, r-1 | n-1, 则n是一个3-Carmichael数. (1)求证: q<2p², r<p³ 由此可以推出对任意给定的奇素数m, 只存在有限多个3-Carmichael数被m整除 (2)是否存在无穷多个奇素数p, 使得不存在被p整除的3-Carmichael数 ??

公元日期是2024.12.10

设m, l是整数, l≠0, 求出所有整数对(m, l), 分别使得 (1)存在无穷多个正整数n满足n+m | n!+l (2)存在无穷多个正整数n满足2n+m | n!+l

(1)这样的正整数n是否有无穷多个 ?? 已找到的这样的数在oeis A067781, 但好像没有什么通用的构造方式 (2)1~10⁶范围内的这样的正整数中, 好像只有n=3⁴*7³能表示成一个素数与一个完全平方数之积, 猜测它是唯一一个同时有这些性质的正整数

是否每个大于23的整数可以表示为不超过8个素数的平方和？ 不能表示的正整数刚好就是A078135：1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 19, 23

这几个等式要怎么证明

用二次剩余的知识证明

很多不定方程的解决都有许多不同的版本，一般是越来越完整和简化。比如这个例子： 不定方程 x^3+117y^3=5 是否有整数解？ 1969年，D J Lewis在一本讲p

本文译自澳大利亚数学家 Terence Tao 的近作 “What is Good Mathematics?”。 Tao 是调和分析、 微分方程、 组合数学、 解析数论等领域的大师级的年轻高手。 2006 年， 31 岁的 Tao 获得了数学界的最高奖 Fields 奖， 成为该奖项七十年来最年轻的获奖者之一。 美国数学学会 (AMS) 对 Tao 的评价是： “他将精纯的技巧、 超凡入圣的独创及令人惊讶的自然观点融为一体”。 著名数学家 Charles Fefferman (1978 年的 Fields 奖得主) 的评价则是： “如果你有解决不了的问题，

作者Michael Atiyah，本文原载《数学译林》2002/2，白承铭译，周性伟、冯惠涛校 额，前几天在人人看到的这篇文章，转到这里是因为我想这个吧的大部分吧友，不论学生还是所谓民科，其实大都立志于研究数学。而这篇文章总结了20世纪的数学并提出了21世纪数学研究的大致方向，值得一读..