如果p>2且为素数, Mp=2^p-1是梅森数, 设Mp=p₁p₂…p[k], 其中p₁≤p₂≤…≤p[k]全都是素数
按照梅森数的性质, 最小素因子p₁>2p, 由Mp≥p₁^k可得k≤logMp/logp₁< p*log2/log(2p)
则∑1/p[i] (1≤i≤k) ≤ k/p₁ < k/2p < log2/2log(2p)
由于上式右边小于1/2, 所以φ(Mp)/Mp = ∏(1-1/p[i]) ≥ 1-∑1/p[i] > 1-log2/2log(2p) > 1/2
另外p=2时φ(Mp)/Mp=2/3>1/2, 所以n为梅森数时φ(n)>n/2都是成立的
可以证明σ(n)≤n²/φ(n)对任意正整数n都成立, 所以σ(n)<2n也成立
类似这样也可以证明结论对费马数Fn=2^2^n+1成立

可以这样推广: 若{a_n}(n≥1)是一个递增的无穷正整数列, 存在常数C>0使得对每个正整数n, a_n的最小素因子p_n > C*log a_n都成立
这时可以推出 lim φ(a_n)/a_n = lim σ(a_n)/a_n = 1 (n→∞)