对正整数a和n≥3, 可以归纳证明F[n](a)就等于 F[n-1]*a+F[n-2], 其中F[n-1]和F[n-2]是Fibonacci数列1,1,2,3,5,8,…的第n-1项和第n-2项
所以相当于证明存在无穷多个正整数m, 使得没有正整数a与n>3满足m= F[n-1]*a+F[n-2]
可以先证明以下引理:
设{a_n}(n≥1)是递增的无穷正整数列, {b_n}(n≥1)是无穷正整数列, 用集合S表示所有使得存在正整数m,r满足n=a[m]*r+b[m]的正整数n
若1/a₁+1/a₂+1/a₃…收敛于一个小于1的正数c, 则对任意正数ε>0, 都存在正整数M使得对任意正整数N≥M, 不超过N且属于S的正整数n的数目f(N)<(c+ε)N

由于Fibonacci数列的倒数和收敛, 所以对足够大的k, 可以用这个引理来说明有无穷多个正整数m, 使得不存在正整数n>k和正整数a满足m= F[n-1]*a+F[n-2]
改进这种做法就可以证明原题
当4≤n≤7时, F[n-1]*a+F[n-2]依次是以下关于正整数a的一次式: 2a+1, 3a+2, 5a+3, 8a+5
模30可知所有形如30b+4, 30b+10, 30b+12, 30b+18, 30b+22, 30b+24, 30b+28, 30b+30(b为非负整数) 的正整数都不能表示成以上四个一次式之一
如果它们中除了有限多个数以外, 其它数都能表示成F[n-1]*a+F[n-2], n≥8,a≥1的形式, 由引理可以证明, 以下不等式必须成立
8/30≤1/F[7]+1/F[8]+1/F[9]+… (并没有要求严格小于)
否则假设这些数中一共有l个不能表示, 再令c=1/F[7]+1/F[8]+…, 并令8/30-c为正数ε, 由引理存在足够大的正整数M使得N≥M时f(N)<(c+ε/2)N=(8/30-ε/2)N
而f(N)+l≥8*[N/30]> 8(N/30-1), 推出εN/2< l+8, 这对足够大的正整数N都矛盾
最后就只要证明 1/F[7]+1/F[8]+1/F[9]+… < 8/30, 就可以推出假设的矛盾, 证明原题要求中的正整数存在无穷多个

大佬，请帮我看看我证明引理时出现的问题：固定N，考虑某个正整数n（其中1≤n≤N）若n∈S，则存在数组（m，r）使得n=a[m]*r+b[m]，记使得n=a[m]*r+b[m]的数组（m，r）的个数为t[n]，g(N)=t[1]+t[2]+…+t[N]，那么g(N)≥f(N)
(因为若n∈S，则n在f（N）中计数1次，在g（N）中计数至少一次)接着，考虑g(N)，N≥a[m]*r+b[m]，固定m，则
（N-b[m]）/a[m]≥r，对这个m，r的个数≤（N-b[m]）/a[m]≤N/a[m],最终得到g(N)≤N/a[1]+N/a[2]+N/a[3]+……，根据1/a₁+1/a₂+1/a₃…收敛于一个小于1的正数c，有f(N)≤g(N)≤N/a[1]+N/a[2]+N/a[3]+……≤N*c（这里由于a[n]为正整数数列，其倒数和递增）。这样证明似乎可以直接证明f(N)<c*N，比引理更强，不知道是不是哪里错了，