还是回来讨论数学问题。
要研究物理学（这是我的目的），就逃不开要研究数学。
甚至可以这么说：物理学只是具有更多常数的数学。
（但是老实说，今天的数学，我也看不懂，完全看不懂，尤其是在它彻底脱离物理学，而物理学开始围绕
数学转之后）。
因为一些基本的问题，是物理学问题，更是数学问题。
比如说，若要问，狭义相对论要求物体之间运动的相对速度不能超过光速。
而这个问题最终就会归结为一个直角三角形的三条边的关系。这就是一个数学问题。
而关于直角三角形，我们最熟悉的就是勾股定理。
a^2+b^2=c^2
你不觉得很奇怪吗？它为什么意味着一个三角形？或者说，三角形到底是什么东西？
因为狭义相对论中的三角形，三条边混合了速度和时间在一起，却仍然符合
(sinA)^2+(cosA)^2=1
的关系，而‘这个关系就是’
a^2+b^2=c^2
直觉上来说，不相同的东西是没法再一起运算的，而速度和时间被放在一起构成了一个直角三角形的方程，
这意味着，速度或者说长度和时间有着更内在的联系。
而如果不知道三角形是什么东西，那么这种联系将无法得知。
遇到了这个问题，实际上就已经开始和费马定理沾边了。
这些显然都不是巧合，而是内在必然联系的体现。

回忆起来，学生时代是我最幸福也是最痛苦的时代。
幸福在于，每个周末的一天或者两天，我可以把自己埋在书店里面学习我想要学的东西（也许图书馆更好吧，但我只去过一次，我所知道的是，图书馆基本上没有新书）。痛苦在于，在这套教育体制之下，必须把大量的时间都放在成绩上，这按说也不是问题，更大的问题在于，我发现我越来越学不明白。
按说应该是越学越明白才对？为什么会出现越来越不明白？再后来，我发现，实际上同学之中没人明白。只有更不明白的，没有更明白的。而分数基本上代表你接近机器的程度。而作为一个小程序员（现在是老程序员）而言，这不是对人的能力的赞扬，这是对人的能力的侮辱。
再后来，我发现不仅仅同学不明，实质上老师也不明白。我曾经问物理老师关于E=mc^2是怎么来的。专门在网上下载了一个初等解释，自己翻译，交给老师。老师给了我一个好评！然后，就没有然后了。
其实今天看来不是老师不明白，而是那时候高中生没有微积分基础，她认为给我讲了我也不会明白（我其实已经自学了微积分，但那个证明是初等证明）。或者是她认为那个证明不对。而这就意味着，相对论质能方程，至少在她看来，是没有初等证明的。
真的就没有初等证明吗？没有初等的，高等的怎么建立起来的？
有趣的是，高等的就是这么建立起来的：高等数学引入极限，导数，微分积分等等，如果你认真研究，你会发现，
它就是“跳起来的”。高等数学和初等数学，中间是有“代沟”的。
这个代沟使得很多东西，不只是学生不懂，老师也不懂。这些话可能说起来不那么清楚，因为你可能没法看到
我现在看到的这些情况。换句话说，大多数人不知道缺少了什么，也正因为不知道缺少了什么，也基本上不会
去找它，这种缺失，可能持续很长时间都没人看得见。

黎曼能够想到绕着数轴做积分，如果是你的话，你会不会这么做？
谁都知道，数轴意味着指向无穷远，你怎么从无穷远绕回来？
而他这么做却产生了正确的结果。这意味着什么？
不具体的去说是什么，至少可以说，他知道你所不知道的东西。
而这个不知道的东西，很可能就是最根本的，或者说，被跳过的东西。
历史的发展，真的没法跳过。跳过了，恐怕真的得补回来。
不然会会怎么样？不然会发生的就是，始终有一个东西放在那，阻碍你前进，你又看不到它，
结果是你走不了，又不知道为什么。

所以想要自由能源，想要反引力，或者说，想要科技走到下一个时代，需要什么？
首先需要的是历史，没有断代，并且你已经尽可能的连接到了事物的本质。
而不是像今天这样：在浮沙上铸高台。
站在前人，或者说，巨人的肩膀上，你绝对可以站得高旺得远，但这不等价于，你能成长成一个一样的，甚至更高的巨人。所以这两者实际上都需要：需要你站在巨人的肩膀上看的更远的同时，实现你自己的成长。
而具体而言，就是钻进去，钻到根上去。在这个一路的溯源过程中，补上那些缺失的东西。最终建立一个统一的平台。在这个平台上发展起来，才是坚实的，和可持续的。
这就是基础研究的重要性。换句话说，一辈子的价值所在。
那么我不得不再说一次：那些嘲笑同类的人，无法担此大任。

当我給她讲y=x^2的导数的时候，你知道，这必然涉及无穷小的问题。
我自以为推导过程没有问题，但是她却非常迷惑。
我不明白她为什么看不懂。
反复了好几次之后，我发现，她看不懂在这个地方：
当无穷小放在除法运算中，它不能被舍弃，而放在加法运算中，它被舍弃了。
简单说，为什么乘除的时候，它不能为0，加减的时候又必须为0？
那么它到底是0还是不是0？
且不说一个东西是否正确，只说这个东西是否他人能懂。这就分明有一个例子，当这套理论讲给12岁的孩子的时候呀，她不懂。或者说，她没法接受。
那么我是怎么接受的？实际上我根本就没有所谓接受不接受。我只是照着老师的写法，再教给我的孩子而已。
我根本就没想过这个问题。

这个问题仔细考虑，实际上意味着，我们应当怎么理解0：0是什么东西？
也意味着，怎么理解无穷小，无穷小是什么东西？它和0是不是一种东西？
这就是我所说的“跳跃”。从初等数学中并未直接导出无穷小或者无穷大。
极限这个东西是“从天上飞下来的”。
这样你能明白我说的意思了吗？小学生没法理解无穷小为什么一时一样，
那么高中生就理解了？或者大学生就理解了？
根本就没人理解。我最后只能给她这么一个解释：无穷小（在加减运算中）被舍掉了，能够成立，
在于使用微积分建立起来的现代物理学中的工程力学而制造的桥梁建筑等等，没有“立即”塌掉。
但我也得加上一句：也很可能是同样的原因，这些东西持续不了100年。
这是证明吗？这是解释吗？这什么都不是。

那么什么才叫证明？或者说明，或者有意义的解释？或者能让人懂？
你如何给一个，没有触觉，没有视觉，只有听觉并具有正常思维能力的人，去解释什么是圆周率？
如果你的解释他能懂，这就是我所说的让人懂。
他都没有视觉，没有触觉，只有听觉，他怎么感知圆？没法建立圆的观念，如何理解圆周率？
一定有办法。
为什么？因为圆周率不只是一个视觉或者触觉上的几何观念，它是物理学和数学的根基之一。
也就说，基本上没有它不出现的地方。
比如说，如果他能听到声音，它就一定能理解声波。那么这里就有圆周率。剩下的是你如何把他听到的声音，
最终解释为圆周率如何体现的问题。
你的解释成功与否，由他的理解程度来决定。
而现在我遇到的问题，完全不是感知问题，而是逻辑冲突，我如何自圆其说？
而另一方面，使用微积分所建立的桥梁就是没有倒塌，没有因为无穷小被舍弃而出现任何问题（不意味着永远）。
那么这只能说明，我（不知道其他人）没有明白这东西到底是怎么回事。
然后我再用这个东西，算东算西，不管我写出的方程多漂亮，都是在浮沙上铸高台。
很不幸，恐怕做这件事的，不止我一个。

一万个所以，都指向同一个方向，就是本源。
物理的本源，数学的本源，计算机是个新学科，根基不太深，但是作为教学，也需要基于它的本源。
这是牢固的根基，在这个根基上发展，才是牢固的发展：必然发展，必然成就。也就是说，科学发现也好，发明也好，才不再具有这么多的偶然性。
而基于本源的表达，解释，说明，才是更多人能够读懂的道理。
作为这个原则的实例，不妨说说，在上述n元方程有解，缺元方程无解成立的条件下，后面是什么样的。

如果假设的n元方程成立，缺元方程不成立，那么2次的2元以上的方程，都是缺元方程。
所以缺元方程不成立，x^n+y^n=z^n（n>2）就一定无（正整数）解。
那么这个n元方程要表达的是什么意思呢？
这里确实可以说得更深，但是，为了尽量在你所知的范围讨论问题，我尽量用看得见摸得着的东西来解释。
当我们写出
x^2+y^2=z^2
的时候，从几何上来讲我们画了一个直角三角形。如果严格要求x，y，z是正整数，那么这个直角三角形就不是任意的。
直角三角形是什么意思呢？仍然说你所知道的：它是互相垂直且相连的两条直角边和与它们相连的一条斜边构成的封闭图形。不同于其它三角形，它有一个直角。
直角是什么东西？仍然按照你所知道的，我们实际上有东西专门描述直角，这就是虚数单位i。至少在复平面上，
a和bi是互相垂直的。实际上不在复平面上，他们也是“互相垂直的”。换句话说，与其说复平面定义了实数和
虚数互相垂直，还不如说，实数和叙述的虚实差异，定义了垂直。
那么，当我们写出
x^2+y^2=z^2
的时候，我们心里应该明白，x和y，作为两条直角边，它们若能无条件垂直，则需要他们必须一个为实数，一个为
纯虚数。结果的z，可能是实数，可能是虚数，或者无所谓虚实。

当我们有两个未知数x和y，我们很自然的联想到二维空间，也就是平面。
若又加一个未知数，则可以想到三维空间。
又加一元，就又加一维。
那么左边有几元，就应该有几维，而这些未知数，则是在这些维数上的度量结果，也就是分量。
我们总是习惯于用向量，或者计算机中，用数组来表示这些x,y,z等等。
但是较真来说，他们应当如此表示：
x,yi,zi^2...
第一个x，单位为1，第二个y，单位为i，第三个z，单位为i的平方（不要写成-1）。
我们知道，这些具有i的单位的数量，一旦平方，就会都变成实数，不管原来是i的几次方，最后都得到实数结果。
而平方之后这些结果作为实数，就可以加出来一个实数结果，而不像远来实数和纯虚数混合的情况。
换句话说，通过平方，我们把这些分量统一在同一个平面上，然后他们就可以互相累加了。
而在方程右边，比如是z^2，它也可能是一个实数的平方，或者一个纯虚数的平方（负数也无所谓，但是我们可以
避免它出现，或者说，对于正整数，有办法让它不会出现）。
而这平方结果，是左边若干（被统一之后的）同类数量之和：换句话说，我们正在用一个数量，比如z，来代表语言来两个或者更多分量的合成效果。
有一定物理基础的话，你可以考虑力或者速度的合成和分解，就是这么回事。只是数学不这么说，而是叫做，
欧氏（几何）距离。
相信到目前为止，你都能懂，那么我继续。

我们知道3D空间也有欧氏距离，算法也是平方求和再开平方。
但是三维空间的这个距离，要是细查的话，实际上是两个垂直的二维欧式距离合并的结果。
而这个做法，在4D以及4D以上的空间是不可复制的。当然我们现在说的都是实数坐标空间，
不是整数坐标空间。整数有自己的特点，但作为实数的特例，也符合这个原则。
既然它在高次不可复制，我们也应当考虑，包括3D空间，这个做法也不是我们应当追求的方向。
因为我们的目标是对于任意次都有意义的东西。
如果我们真的想要计算三维空间中，各个分量的合成效果。那么，我们很自然的就应当把三个分量同步到一个平台上。同时同步到同一个平台上，而不是像3D欧式距离那个分两次同步，并合并两次的结果。
那么，对于
x+yi+zi^2
我们就应当对每一个分量做3次方运算再相加。然后再开3次方。这时候取得的结果，才是它们的等价效果。
为什么对于最高次为i^2的每一项要求3次方？因为结果必须是某个量的3次方。结果决定了平台有多高。
刚才用程序计算的结果，说明
x^3+y^3+z^3=w^3
在正整数范围里面，可以说有不少的解，在实数范围内就不用说了。
那么，4维，求分量的合成效果（不要再考虑欧式算法了），应该怎么写？

x^4+y^4+z^4+w^4=t^4
也就是说，对于方程左面，有几个维数或者元数（变量个数），就应该乘以几次方。
这样在右边，才能得到一个这个次方的变量，作为合效果。
若是说实数，那么，怎么都能凑出这个数来。
但是说正整数，就不一定了。
如果有人可以帮我确认，对于正整数而言，这个算法总是有解，那么就可以说，这是个可行的算法。
虽然不是对每个数都有解，只有特定的组合，虽然原因还不清楚，但是这件事可行。

对于4维而言，1维的四次方，就升到了4维，也就是同维，而4维的4次方，升到16维，你却仍然可以认为它是另一个数的4维结果。所以经过四次方的升维之后，无论如何大家都是具有同样单位的数量。那么他们就一定可加，但加出来的结果不一定是一个数量的四位结果。可是，若你要求某个维数一定不会出现这个结果，却非常难。
这相当于在无限之中确定某种情况不存在，这个概率非常小。虽然这不是证明，但这说明了某些问题。
如果确定以这种算法，每一个维数，一定有解，那么我们就可以继续考虑，算法的变形情况。
我们主要考虑的就是缺元：比如3维情况只有2元，那就是
x^3+y^3=z^3