先暂停一下，明天再写。

在继续讨论Pi之前，我来说明一下我的错误，关于y=x^2求导的问题，我到底错在哪。
我的错误在于，我没有认识到，极限运算，它是一个不会改变自变量的函数。
最终一个函数的导数，是一个极限运算的结果
：x的变化量在逐渐接近于0的过程中，y的变化量的差值会逐渐接近于什么值。
而逐渐接近于那个值，既不需要x的变化量真的等于0，也不需要y的变化量真的等于那个值。
这就像平均数不必须是样本集合中的任何一个数一样。
那么有没有丢掉了无穷小而造成漏洞的可能呢？
由于微分结果再积分，这是查表找原函数的过程，所以没有丢掉无穷小而造成漏洞的可能，没有失去无穷小项目
而累积失去，或者增加无穷小项目而累积增加的可能。
那么，我大费周章的说了这么多，是不是就是一个误解了极限运算而造成的错误呢？

不是的。因为这个问题的提出，也就是无穷小是什么这个问题的提出，并不来自于求导，而是来自于复数
的有限性。
当x趋近于0，x最终还不是0的那个值是1/i，再小于这个值是1/(i+1/i)，这不是lim运算的定义，但是这是“x可以到达的极限”的定义。
按照导数的定义来讲，也就是使用lim运算求极限这种方式，应当得到的是一个“不能达到的值”。因为这是在x的变化量趋近于却不能，也不应该等于0的前提下导出的一种度量结果，应当用平均数不是任意样本值的方式来理解。也就是说，引入lim运算之后，整个式子的意义都变了。而且这种做法是无法还原的。也就是说，一旦引入lim运算，就进入了“你应当知道并记得，这一切都是对现实的抽象理解，而不是现实本身”。
这个说法还有一个依据：x的变化量不能等于0，而在运算过程中，一定有一个步骤让x变化量的lim运算结果等于0，
如果lim确实影响x的变化量，那就出现只有一个点的切线问题。只有一个点，做不了直线，更谈不上切线。就算是圆的切线，实际上也是三个点作用的结果。

“你应当知道并记得，这一切都是对现实的抽象理解，而不是现实本身”，在所有用到导数（本质是求极限）的地方
都得牢记。如果忘记呢？如果给你一个2x，却不告诉你它的由来是y=x^2的导数呢？
会出现什么问题？会出现的就是你会把那个“绝对不会存在”的情况当成真实的情况。y=x^2的导数，既然已经被定义为lim运算的结果，那就没有别的可说的了。可是若要照顾不知道，或者根本没法知道这个结果的含义是“绝对不会存在”的用户，那么就不应当定义这种运算方式。因为现实的情况，也就是不用lim运算符的情况下，尾巴上的无穷小不可舍弃。lim运算符虽然必然舍弃的做法在自己的圈子里面总是对的，但一旦拿到外面，就总是错的。
这就好像是在说，“我知道我是在说谎，我说的那个东西做不到”，但是你若不说明，别人会在默认的前提下认为你说的是真话，你说的那个是能做到的事情。
同样的问题，也出现在场论的数学表述上面：比如要用到的梯度，散度，旋度。梯度可以认为是导数在三维以及以上高维情况下的扩展。它也是一个极限。
但是被导数那种“在某点上”的概念引导，你会认为梯度也是一个“在某点”存在的概念。但是还是那句话，一个点无法确定一条直线（可以确定任意多条不同方向的直线），所以根本就做不到“在某点”，只能是“非常接近的两点”。
那么这个差别造成了什么影响呢？梯度是把标量场升级为向量场的一种运算。如果你认为真的可以“在某点”，那么你就可以认为一点就能画向量。在平面直角坐标系，要画向量的话，你得选择一个起点和一个终点，通常选择原点为起点，另一个坐标值为终点。这看上去就好像向量只有一个点就够了。但是在向量场中，由于各处方向不一样，
必须是在那个位置附近的两点才能构成向量。不能缺省让一个点是原点，因为实际上这种情况处处都是局部的原点。
而如果习惯用lim运算，习惯使用那个做不到的，却忘了它是做不到的，你就会认为一个点就可以做向量了，所以才经常说，“某点的方向”。

虽然明明知道，梯度将标量场抽象到向量场，并且得到了nabla算子，而且所有的计算都是对的，
但是，在后来，应用向量场的时候，应用散度和旋度的时候，假想的，却被认为是现实的，一个点上具有方向
（注：一个点上没有方向，两个点才能定义方向，一个点定义方向叫极限，但那就已经意味着它像平均数一样，
不再具有还原到真实状况的能力了）的这种认识，就会让人把下面作为基础的标量场整个都视而不见。
以电磁学而论：电场有散无旋，磁场有旋无散。而一个运动的电子，它同时具有电场和磁场，怎么理解？
给你公式放在那，没人能看出任何东西来。因为问题不在这，问题在于矢量场到底是怎么来的。
最后只能去挖掘它们公共的东西，也就是nabla算子，才有可能找到二者为什么不能共存，又为什么必须共存的原因：而这个原因就在于，两种矢量场，都是同一种标量场，在不同角度上的理解。
意识到这一点，才能抽象出“静电磁场”这种标量场来。
这样不是很好吗？当然好了。可是你知道吗，由于把两点当成一点的做法不被察觉，你就很难发现后面公共的东西，因为你不会这么想。但如果你回到极限，回归到导数，发现导数说的是“必然没法实现的”，而不是“必然能够实现的”，那么这些问题才能被理解。可是，谁又会想到回归导数去找这个问题的根源？
我也不会！并不是说我写了这些，就意味着我是这么做的。现实的情况是，我没法实现对梯度散度和旋度的理解，好几年都理解不了，拿着公式算谁都会，但不知道自己算的是什么东西，谁能帮忙解决？
麦克斯韦引入旋度，用方程组重写了电磁学规律，用旋度的旋度这种算法导出了电磁波的微分方程。
那么，旋度的旋度是什么意思？一次旋度我都不懂，旋度再旋度，我怎么能懂？
再这个基础上你再回来看最初的问题：如果给你一个词，它叫“极限”或者“极限运算”，你会把它定义成，“能实现的”还是“不能实现的”？稍微有一点良心，你都不会故意把它定义为“不能实现”的（x的变化量最终等于0是不能实现的，0不能做变化率的分母，变化率都没有了，它还有可以什么进一步计算的理由？）。
但是，在不能认识到观察者自身有限性的那个年代，在复数和微积分不通的背景之下，你要做这件事，就只能定义“不能实现的”。所以这个局限性导致的必然性没法避免。可是这一点又没有被明确标出。当然，没人意识到的东西也没人会去标出。
这不就是“如果世界上没有别人的话，最美的就是自己”的一个现实写照么：没有参照物，能实现的和不能实现的，没法分辨。

但是数学最终还是要应用于物理。
这就有参照物了。所以为什么这么多年都没有实质的进展，就是因为你很难想到那些根本就没有经验的东西。
所以数学无限的有限性，是在物理上发现的。
这样才能反过来让数学更符合现实：而不是更符合理想。
现实的数学能正确的描述和解决实际的问题，理想的数学却不能。
所以从工匠的角度来说，宁可知道自己的工具是破的，也不假设自己的工具是完美的。
破的还可以修，完美的则不知道会做出什么怪物来。

理想的，存在吗？
确定说，存在。但这个存在，不是常规意义上的存在。
常规意义上的存在，就是“存在且不存在的体现”，也就是交替的画圈和画叉，这种变化能够被观察者观察到，
观察者把这种能观察到的东西叫存在。
但这个存在的基础在于，能画圈，能画叉。也就是这种存在得以存在的这种能力。
而这种能力来自于无限（不是数学上的无限）。
因为无限的规律就是没有规律，所以才叫做无限，也就是没有限制，无法限制的意思。
它是一个道理。道理是一种什么样的存在？
如果你能明白道理是一种什么样的存在，你就能理解理想的是一种什么样的存在。
如果一定要用狭义的存在来描述，它只能在狭义存在之外，可以叫做“它是狭义不存在的”。
完美的也是这样。要是观察者只有自己，所观之物也是自己，那就是完美的。
但是你说出完美的，并给人听到的时候，观察者就有两个或者两个以上，完美就没有了。
这些问题其实也不是很困难，至少语言 和思维也有极限，极限的存在就意味着网孔，或者坑。
掉到这些坑里，也很正常。但通常都是哲学家们会掉进去，因为一般没人往这个方向走。

说到这里，可能你认为，我正在尝试推翻极限理论，否定微积分，或者场论的有效性。
不是这样。我不想推翻任何东西。实际上任何东西，都有用，只要你会用，都能产生好效果，只要你懂怎么用。
我希望做的是，在这些理论上给出一些注释，说明哪里有坑，或者说，我是怎么载到里面的。那么那些可能也会
载到里面的其他人，就可以少受点苦，多一些时间做点别的，更有用的事情。
包括我始终提到的关于无限的理论，或者说，不算理论。使用它却不给出推导过程，是有点不厚道的做法。
但是我要说的是，只要推导一下，它就是自相矛盾的。
这一点不是没有提过，只是没有特别声明。
或者这么说，很多时候，为了解决低维（或者下位）的问题，把问题提升到高维（或者上位）的做法，并不能完全消除问题后面的矛盾。矛盾被上推了而已。
比如说，你认为数学是完美的，但出现了问题，它完美性失去了。而它的完美性的失去，也必须等价于另一个完美性的产生，而这个完美性被放在了哲学上。在哲学上的无限，给数学上的没法实现无限，找出了理由。
但是这个完美性恐怕也会失去，尤其是当你确实就把它自己的矛和自己的盾放在一起的时候。
那么这个时候，承认矛盾不可避免，则可以进一步的将完美性上推。
能推到什么地方呢？
还是借用x说话，那就是认知能力的
x+1/x之后，或者1/(x+1/x)之下。
也就是认知的极限，在认知极限，问题得扔掉，寻求答案的意图也一并消失，矛和盾也得一起扔掉。
才能进一步走向意识极限。
扔掉意识本身之后，才能走向它后面的层次。
而这一路上推的目标没有变，都是为了解决低维或者下位的问题。
随着上推的过程就会逐渐的建立在这个层次上可以称为“理论”的东西，但为了继续上推，还得把它扔掉。
理论扔掉了看似可惜，但实际上解决问题的深度越来越深，能力也越来越大，在lim极限的意义上，
将会“接近但永远不能达到”问题的解决 - 除非你放弃lim极限这种想法。
这条路其实就是救赎的路，也是佛陀指出的路。从这个角度反过来看任何层次上的理论，可有任何持久的意义？
没有。因为个个层次上的理论最终都会因为自相矛盾而失效，不然也不可能进入下一个层次。
所以当我要说“我是对的”，我说不出来。因为我知道我对不了。那么若真的从“误人子弟”的角度去理解的话，
说的越多，越是误人子弟。但是回想我被他人“误人子弟”的过程，若没有他人从前的工作，或者他人从未分享出来
个个都选择了活在自己的完美世界里面，那么，我也不会得到今天的这些理解。
所以把这些当做工具，当做阶梯，是比较好的选择：工具用完了扔掉，阶梯走过了忘记。
正如“道”，这个象形文字所表达的一样：一个脑袋，在走路。它走的就是思维和意识的路，是不断提升自己的路，也是在提升的能力基础上解决问题的路，若你愿意，也是使得世界变得更好，每个人都可以生活的更好的路。

关于无穷小舍弃的问题，用更直观的方式来描述也许更容理解。
在初等数学中，把3和5加起来得到8的意思是，“3和5加起来能够得到8”。
这不是废话么？
确实是废话。
但是，当你把3和y=x^2的导数也就是2x加起来的时候，是什么意思呢？还一样简单么？
因为2x，作为y=x^2的导数出现的时候，回归其定义，它是一个“极限”结果。
而这个极限是在x的变化量无限趋近于0的时候计算得到的，由于已经先定了数学中的无限是没有上下限的，
为了让这个值最终有确定结果，它只能被抽象出来，而具体的方式，就是舍弃尾部的无穷小（从lim运算上
看没有舍弃任何东西，没错，但是这件事的实质就是舍弃了尾部的无穷小，才能得到这个结果）。
那么这个结果，就是一个“不能够达到的结果”，也就是它或者比实际的结果小，或者比实际的结果大，但是
就不是实际的结果。
初等运算先定了计算结果为“能够达到的结果”，导数（也可能包括其它极限运算）运算先定了“不能够达到的结果”，
把这两个东西加在一起，到底是能达到还是不能达到的结果？
根据木桶原理，只能选择后者，就是不能达到的结果。这似乎是记住就足够了。
然而，不能达到的程度是一样的吗？如果我们再把y=x^3的导数加进来，y=1/x的导数也加进来，
或者再复杂一点，做他们之间的乘除运算，那么会得到的结果，有多大的程度不能达到？
当年高数老师说过一句话：微积分很好，但是大多数微积分问题都是困难的，相当多的问题根本没法解决，
只能求助于数值解法。
这个时候问题就更大了。数值解法必须先定所有的运算都是“能达到”的运算，而给出2x的时候，肯定是达不到
那个数值的，这样结果算出来及就一定会小;另外一些时候则可能一定会大。结果大多少小多少，基本上就没法
测量了。为了数值计算，确实可以做特别的处理，但是多少人会意识到这一点？或者真正处理的时候，
被舍弃的无穷小，你要把它添上，应该添多少？
初等运算，加减乘除，结果可能在精度上有所舍弃，但是反推运算过程则能还原，因为实质的信息没有丢失。
但是极限运算丢失信息，为了简便计算也好其它原因也好，信息一旦丢失，没法还原。
而把初等运算和极限运算放在一起，信息也是丢失的，结果也无法还原。
一方面会造成描述现实世界失败，另一方面会让人忽视真实存在的东西。也就是说在计算上会出问题，
在理解和理论的扩展上也会出问题。
在理解和理论的扩展上出问题的最好例子，就是“一个点上的函数变化率”：一个点以及它上面的函数值和自己
是没有差别的,变化率则不能计算，因为分母不能为0。而“一个点上的方向”则导致向量场
和标量场本来不能分开的现实被忽视，两种场的关系被割裂，结果就是无法发现深层次的东西，它摆在眼前，
你也看不到它。
一尺只杆，日折一半，万世不竭。这说的是二分法的无限性。这是在空间上理解，但是从物理学可以知道，
小于普朗克长度的长度是没有意义的。也就是说，现实存在长度的最小极限。
另外，飞矢不动的悖论则是说明了时间对于观察者而言也必须具有最小极限，否则任何过程都无法进行。
那么现实要求人承认自己作为观察者存在极限。但数学处理这个问题的方式则无视这一点，或者更精确的说，
看到了这一点，却用“掩盖”的方式来表述：确实用“极限”这个前缀表述了“不可达到”的意思，但是，谁能用对呢？
还是那个例子：客观，是个哲学概念。但是现实中大家都用它的时候，基本上就没有对的。也对不了。因为它
超越观察者这个要求没人能实现。结果就造成了没人能对，也就是谁都是对的。这正好就和它的本意相反了。
不知不觉，就走反了，反了又反，自己都不知道经历了多少次。

所以，我建议少用，或者避免使用“lim极限”这个运算方法。
要做导数（也就是求函数变化率），就把后面的无穷小老老实实的加上。计算困难的话，用程序处理。由于数学运算，尤其是初等运算，
本质是符号代换，程序处理这个需求没有什么本质问题。如果有，至多是哪种方法更优而已。
“lim极限”的本质，是一种“补”表示，或者“反”表示。它和初等运算的“正”表示是完全相反的。混用两种运算，导致表意含糊不清。舍去部分信息，使得信息失真。对于数学这种要求严格的基础工具而言，也许大多数时候你都可以用，但是关键的时候，尽量避免用它。
再有就是，它复杂。看似查导数表或者积分表求对应函数很简单，但是走到查表那一步之前的处理相当复杂。用很多年可能导出一个公式，用三个小时也许能够大体上读懂。但是，不能用这种方式处理的问题占绝大多数。如果一种方法大部分问题都处理不了，用它和不用它，你会如何选择？
那么，换成什么呢？换成复数，引入i和1/i（这个时候不要用1/i=-i)，把i当成变量，不使用平方等于-1的定义。
由此，原来高等数学的超越性将会消失，从天上掉下来，可能难以避免，但是，一个不会让人越来越糊涂的工具将会诞生，数学会比从前更好学，更好用，也更精确的符合现实。

如果你能看懂上述内容（我尽量说人话），那么，能就能明白，有很多人学不懂数学是什么原因。
不明白，也问不出问题。
问不出问题是一定的，因为真要问出问题，需要用其它知识或者实践来交叉参考。
而不明白呢？则是，教育并没有把它教明白。
“lim极限”用的是”反“表示，这是一个多么诡异的做法？这就是从帽子里面变出兔子的做法。如果这只是用于变戏法来娱乐观众，或者作为数学技巧的展示来显示个人能力，这个没有问题。但是作为基础教育或者高等教育的根基而言，它是”术“，不是”道“。
”术“能做根基么？从小到大多少个数学问题，是抽象出来之后讲的？是脱离历史讲的？
也幸好是这样，不然学生的书包更重。
只能更重，不会更轻，对不对？素质教育之后，学生的书包轻了吗？我女儿小学六年级的书包比我高中时候的书包还重。
为什么，都是为了高考。
高考是公认的最公平的考试，一点不假。
但是，回想以下，高考数学最后一道题，你做对了吗？
一定有做对的，我知道，但是大多数人，如果可以做统计的话，基本上会告诉你：没时间看，或者没读懂题。
没时间看的话，我不知道，没读懂题的，我是一个。

长，看不懂

如果让你出高考题，你打算怎么出？
大家都会的题目，你出它，还能”选拔人才“么？显然你得让题目有些”梯度“。
那么怎么才能有”梯度“？两种方式，一种是超越常人的技巧，一种是超越常人的知识。
有了这两点的，可以被认为是”人才“，有资格进入大学。
插一句：我就想问的是，为啥不能多建一些大学？为啥不能允许更大规模的民办大学？为啥要挤独木桥？
最根本的那一点，是文化传统，是出人头地的特权思想，也是那个被扭曲的学而优则士。
应该从这一点上去改变，改变错误的社会风气，而不是在这个基础上，在教育上改变，
因为再怎么在教育上改变，大家要需求的东西决定了你要提供的东西，你最后还得回来，继续
这样的教育。
所谓”选拔人才“一点意义都没有。这不是什么给皇帝选妃子的问题。你能选拔个别人才，认为这是一种能力，
有没有考虑过，人人都是人才（天生我才必有用）才是本质，用良好的教育环境，支持每一个人，也就是
每一个人才的充分发展，你会得到多少人才？还需要选拔么？
所以从这个角度讲，需要梯度么？
回来继续说，实现梯度的两种方式。
第一种，其实就是”术高于道“的思想：你有花招，比你有深刻的认识，更能够得到高分。
因为从来深刻的认识都不可能被考试考出来。它只能在解决现实问题的过程中，体现出来。
考试面对的是大众，解决现实问题则是个体对个体，你不可能为每个人都设计一个现实问题。
而每个人都一定会在后来的生活中遇到并尝试解决现实问题。所以剩下的只能是”术“了。
但是没有”道“这种根本能力，有“术”有什么用呢？花招有多少个？实际上已有的就那么多，
多做题，把花招都见识了，你出什么花招我都能接。
但是现实世界，解决现实问题的时候，不是你背下来别人的花招，而是需要你根据你的内在能力，
创造你解决具体问题的那个花招。而那种花招和具体问题密切相关，这又是上面所说的，不可能
给大众出这种题目的情况。
所以最后一定是那些，见过最多已有花招的人，拿到高分。并升入所谓理想的大学。
但是你要我说的话，相当多的情况，这事情Mathmatica要做得好的多。因为作为术而言，
尤其是有限的已知的那些方法和技巧，正式软件设计和开发人员必须要实现的功能，或者说服务。
这些事情早晚有一天，都不需要你来做。
那么这些人，要道某一天能够解决现实问题，能够面对现实问题而创造新的花招或者理论，那只能发生在
大学四年以及之后的时间里面来培养了。然而大学到底能培养什么，你是知道的。加上本来就没有用”道“来
指导”术“的习惯，道考研究生的时候，众所周知，和考本科基本上没什么区别。那么能力的培养，只能在
研究生或者博士生以后了。可是到了那个时候，则面临未来就业等等的问题，更没有去考虑”道“的时间，
结果只能一路到底，就是”术“，没别的东西了。
可是到了工作之后，应用呢？非常有限的知识，是不够解决纷繁复杂的现实问题的。所以真正成长起来的
机会，只能在工作之后提供。
那么我请问的是，从18岁毕业，比如到22岁，24岁，28岁，这些年里面，如果指望这种教育，能有什么发展？
如果不指望这种教育，上不上这些学，有什么区别？
而18岁以前那些为了高考所煎熬的日子，所背下来的也好，算下来的也罢的那些题目，除了为了高考之外，
还有什么用？
一个人最好的那几年青春，说句实话，就是都谈了恋爱，也比这么过有意义。
最大的价值，莫过于人的价值，最大的浪费，莫过于人的浪费，具体的说，就是人的时间的浪费。
一年一年下来，几千万几千万的孩子的时间，浪费给了不知道什么东西。
当他们走向工作岗位，发现没有增长什么解决问题的能力，而为了随时可能出现的失业而焦虑的时候，社会，教育制度，他们的父母，老师，以及所有这一切，是否对于他们的境况具有不可推荐的责任？
就因为一个迷信？出人头地的“理想”？你们在毁掉自己的孩子。

一个错误，大家都接受了，那最后也就“对了”。
这个出人头地的理想，终于会实现，但一定只能是少数人。
说修齐治平的士大夫精神，是儒家的一种核心价值。
但那是什么？那是在有能力的前提下的担当。有能力是前提，担当是个人的意愿和志向。
这两者加起来，得到的是精英，真的精英，能当顶梁柱的精英。这样的人也不需要多。
而且很少的这样的人，也能给很大量的大众带来好处。
但是这种教育制度所选择的人，天生就在能力上有缺陷，而在花招上有余量。
那么这种人能否承担士大夫精神？或者说，有没有服务社会，担当重任的意愿和志向？
古时候考察人的方式，可不是技巧，是品德。都叫做考试，但内容完全不同。
古时候的考试是配合修齐治平而设计的品德考试。
西方科学基础上的考试，不负责品德内容，若要考，只能考技巧和知识。
而无论是技巧还是知识，都不是能力。
这样一种中西结合，是一种纯粹的驴唇不对马嘴的做法。
西方有没有考能力的考试？也有，那是导师和学生面对面的考试。
而中国古时候的考试，最终的考官也是皇帝，那也是一种面对面的考试。
今天的考试能否做到这一点？

再来说知识。
如果不考技巧，那怎么实现梯度？另一个选项就是考知识。
现在的高中似乎已经开始把微积分融入到课本里面了。但就是现在的高中，实际的教学情况，仍然是两年，甚至一年的教学，加上一年甚至两年的备考。我知道是因为我有亲戚的孩子在上高中，他经常过来问一些数学和物理的问题。
你要在一年或者两年里面把三年的知识都压缩起来。所以很多老师（我的物理老师当初就是这样）教学的时候，不看书本，只看讲义。多少人，三年物理学下来，没看过物理书。为什么不看物理书？为了素质教育，很多东西都简化了，很多东西都更人性化了，这体现在课本的编辑上。这非常好。课本也很好理解。
但是，大家都理解的题，出题人会出么？绝对不会的。所以这本书就白写了。因为最后是高考考什么决定你学什么。而当老师用讲义讲课的时候，他是假定你可以超越课本的（不然你凭什么能上大学呢？），也就是假定你不需要什么感性认识，就能达到理性认识的程度。
谁能？神仙也不能！所以我这亲戚的孩子，就是没有看过课本的一员，也因为没有什么出人头地的思想，也因为没有什么主动性，也因为家长和学校强加了太多的东西，住校，基本上没有假期，等等所有原因加在一起，你也不会
去主动看一本老师都不拿出来的术。结果就是，我看着很基本的东西，比如力的平行四边形法则，他就是不理解。