理想的，存在吗？
确定说，存在。但这个存在，不是常规意义上的存在。
常规意义上的存在，就是“存在且不存在的体现”，也就是交替的画圈和画叉，这种变化能够被观察者观察到，
观察者把这种能观察到的东西叫存在。
但这个存在的基础在于，能画圈，能画叉。也就是这种存在得以存在的这种能力。
而这种能力来自于无限（不是数学上的无限）。
因为无限的规律就是没有规律，所以才叫做无限，也就是没有限制，无法限制的意思。
它是一个道理。道理是一种什么样的存在？
如果你能明白道理是一种什么样的存在，你就能理解理想的是一种什么样的存在。
如果一定要用狭义的存在来描述，它只能在狭义存在之外，可以叫做“它是狭义不存在的”。
完美的也是这样。要是观察者只有自己，所观之物也是自己，那就是完美的。
但是你说出完美的，并给人听到的时候，观察者就有两个或者两个以上，完美就没有了。
这些问题其实也不是很困难，至少语言 和思维也有极限，极限的存在就意味着网孔，或者坑。
掉到这些坑里，也很正常。但通常都是哲学家们会掉进去，因为一般没人往这个方向走。

说到这里，可能你认为，我正在尝试推翻极限理论，否定微积分，或者场论的有效性。
不是这样。我不想推翻任何东西。实际上任何东西，都有用，只要你会用，都能产生好效果，只要你懂怎么用。
我希望做的是，在这些理论上给出一些注释，说明哪里有坑，或者说，我是怎么载到里面的。那么那些可能也会
载到里面的其他人，就可以少受点苦，多一些时间做点别的，更有用的事情。
包括我始终提到的关于无限的理论，或者说，不算理论。使用它却不给出推导过程，是有点不厚道的做法。
但是我要说的是，只要推导一下，它就是自相矛盾的。
这一点不是没有提过，只是没有特别声明。
或者这么说，很多时候，为了解决低维（或者下位）的问题，把问题提升到高维（或者上位）的做法，并不能完全消除问题后面的矛盾。矛盾被上推了而已。
比如说，你认为数学是完美的，但出现了问题，它完美性失去了。而它的完美性的失去，也必须等价于另一个完美性的产生，而这个完美性被放在了哲学上。在哲学上的无限，给数学上的没法实现无限，找出了理由。
但是这个完美性恐怕也会失去，尤其是当你确实就把它自己的矛和自己的盾放在一起的时候。
那么这个时候，承认矛盾不可避免，则可以进一步的将完美性上推。
能推到什么地方呢？
还是借用x说话，那就是认知能力的
x+1/x之后，或者1/(x+1/x)之下。
也就是认知的极限，在认知极限，问题得扔掉，寻求答案的意图也一并消失，矛和盾也得一起扔掉。
才能进一步走向意识极限。
扔掉意识本身之后，才能走向它后面的层次。
而这一路上推的目标没有变，都是为了解决低维或者下位的问题。
随着上推的过程就会逐渐的建立在这个层次上可以称为“理论”的东西，但为了继续上推，还得把它扔掉。
理论扔掉了看似可惜，但实际上解决问题的深度越来越深，能力也越来越大，在lim极限的意义上，
将会“接近但永远不能达到”问题的解决 - 除非你放弃lim极限这种想法。
这条路其实就是救赎的路，也是佛陀指出的路。从这个角度反过来看任何层次上的理论，可有任何持久的意义？
没有。因为个个层次上的理论最终都会因为自相矛盾而失效，不然也不可能进入下一个层次。
所以当我要说“我是对的”，我说不出来。因为我知道我对不了。那么若真的从“误人子弟”的角度去理解的话，
说的越多，越是误人子弟。但是回想我被他人“误人子弟”的过程，若没有他人从前的工作，或者他人从未分享出来
个个都选择了活在自己的完美世界里面，那么，我也不会得到今天的这些理解。
所以把这些当做工具，当做阶梯，是比较好的选择：工具用完了扔掉，阶梯走过了忘记。
正如“道”，这个象形文字所表达的一样：一个脑袋，在走路。它走的就是思维和意识的路，是不断提升自己的路，也是在提升的能力基础上解决问题的路，若你愿意，也是使得世界变得更好，每个人都可以生活的更好的路。

关于无穷小舍弃的问题，用更直观的方式来描述也许更容理解。
在初等数学中，把3和5加起来得到8的意思是，“3和5加起来能够得到8”。
这不是废话么？
确实是废话。
但是，当你把3和y=x^2的导数也就是2x加起来的时候，是什么意思呢？还一样简单么？
因为2x，作为y=x^2的导数出现的时候，回归其定义，它是一个“极限”结果。
而这个极限是在x的变化量无限趋近于0的时候计算得到的，由于已经先定了数学中的无限是没有上下限的，
为了让这个值最终有确定结果，它只能被抽象出来，而具体的方式，就是舍弃尾部的无穷小（从lim运算上
看没有舍弃任何东西，没错，但是这件事的实质就是舍弃了尾部的无穷小，才能得到这个结果）。
那么这个结果，就是一个“不能够达到的结果”，也就是它或者比实际的结果小，或者比实际的结果大，但是
就不是实际的结果。
初等运算先定了计算结果为“能够达到的结果”，导数（也可能包括其它极限运算）运算先定了“不能够达到的结果”，
把这两个东西加在一起，到底是能达到还是不能达到的结果？
根据木桶原理，只能选择后者，就是不能达到的结果。这似乎是记住就足够了。
然而，不能达到的程度是一样的吗？如果我们再把y=x^3的导数加进来，y=1/x的导数也加进来，
或者再复杂一点，做他们之间的乘除运算，那么会得到的结果，有多大的程度不能达到？
当年高数老师说过一句话：微积分很好，但是大多数微积分问题都是困难的，相当多的问题根本没法解决，
只能求助于数值解法。
这个时候问题就更大了。数值解法必须先定所有的运算都是“能达到”的运算，而给出2x的时候，肯定是达不到
那个数值的，这样结果算出来及就一定会小;另外一些时候则可能一定会大。结果大多少小多少，基本上就没法
测量了。为了数值计算，确实可以做特别的处理，但是多少人会意识到这一点？或者真正处理的时候，
被舍弃的无穷小，你要把它添上，应该添多少？
初等运算，加减乘除，结果可能在精度上有所舍弃，但是反推运算过程则能还原，因为实质的信息没有丢失。
但是极限运算丢失信息，为了简便计算也好其它原因也好，信息一旦丢失，没法还原。
而把初等运算和极限运算放在一起，信息也是丢失的，结果也无法还原。
一方面会造成描述现实世界失败，另一方面会让人忽视真实存在的东西。也就是说在计算上会出问题，
在理解和理论的扩展上也会出问题。
在理解和理论的扩展上出问题的最好例子，就是“一个点上的函数变化率”：一个点以及它上面的函数值和自己
是没有差别的,变化率则不能计算，因为分母不能为0。而“一个点上的方向”则导致向量场
和标量场本来不能分开的现实被忽视，两种场的关系被割裂，结果就是无法发现深层次的东西，它摆在眼前，
你也看不到它。
一尺只杆，日折一半，万世不竭。这说的是二分法的无限性。这是在空间上理解，但是从物理学可以知道，
小于普朗克长度的长度是没有意义的。也就是说，现实存在长度的最小极限。
另外，飞矢不动的悖论则是说明了时间对于观察者而言也必须具有最小极限，否则任何过程都无法进行。
那么现实要求人承认自己作为观察者存在极限。但数学处理这个问题的方式则无视这一点，或者更精确的说，
看到了这一点，却用“掩盖”的方式来表述：确实用“极限”这个前缀表述了“不可达到”的意思，但是，谁能用对呢？
还是那个例子：客观，是个哲学概念。但是现实中大家都用它的时候，基本上就没有对的。也对不了。因为它
超越观察者这个要求没人能实现。结果就造成了没人能对，也就是谁都是对的。这正好就和它的本意相反了。
不知不觉，就走反了，反了又反，自己都不知道经历了多少次。

所以，我建议少用，或者避免使用“lim极限”这个运算方法。
要做导数（也就是求函数变化率），就把后面的无穷小老老实实的加上。计算困难的话，用程序处理。由于数学运算，尤其是初等运算，
本质是符号代换，程序处理这个需求没有什么本质问题。如果有，至多是哪种方法更优而已。
“lim极限”的本质，是一种“补”表示，或者“反”表示。它和初等运算的“正”表示是完全相反的。混用两种运算，导致表意含糊不清。舍去部分信息，使得信息失真。对于数学这种要求严格的基础工具而言，也许大多数时候你都可以用，但是关键的时候，尽量避免用它。
再有就是，它复杂。看似查导数表或者积分表求对应函数很简单，但是走到查表那一步之前的处理相当复杂。用很多年可能导出一个公式，用三个小时也许能够大体上读懂。但是，不能用这种方式处理的问题占绝大多数。如果一种方法大部分问题都处理不了，用它和不用它，你会如何选择？
那么，换成什么呢？换成复数，引入i和1/i（这个时候不要用1/i=-i)，把i当成变量，不使用平方等于-1的定义。
由此，原来高等数学的超越性将会消失，从天上掉下来，可能难以避免，但是，一个不会让人越来越糊涂的工具将会诞生，数学会比从前更好学，更好用，也更精确的符合现实。

如果你能看懂上述内容（我尽量说人话），那么，能就能明白，有很多人学不懂数学是什么原因。
不明白，也问不出问题。
问不出问题是一定的，因为真要问出问题，需要用其它知识或者实践来交叉参考。
而不明白呢？则是，教育并没有把它教明白。
“lim极限”用的是”反“表示，这是一个多么诡异的做法？这就是从帽子里面变出兔子的做法。如果这只是用于变戏法来娱乐观众，或者作为数学技巧的展示来显示个人能力，这个没有问题。但是作为基础教育或者高等教育的根基而言，它是”术“，不是”道“。
”术“能做根基么？从小到大多少个数学问题，是抽象出来之后讲的？是脱离历史讲的？
也幸好是这样，不然学生的书包更重。
只能更重，不会更轻，对不对？素质教育之后，学生的书包轻了吗？我女儿小学六年级的书包比我高中时候的书包还重。
为什么，都是为了高考。
高考是公认的最公平的考试，一点不假。
但是，回想以下，高考数学最后一道题，你做对了吗？
一定有做对的，我知道，但是大多数人，如果可以做统计的话，基本上会告诉你：没时间看，或者没读懂题。
没时间看的话，我不知道，没读懂题的，我是一个。

如果让你出高考题，你打算怎么出？
大家都会的题目，你出它，还能”选拔人才“么？显然你得让题目有些”梯度“。
那么怎么才能有”梯度“？两种方式，一种是超越常人的技巧，一种是超越常人的知识。
有了这两点的，可以被认为是”人才“，有资格进入大学。
插一句：我就想问的是，为啥不能多建一些大学？为啥不能允许更大规模的民办大学？为啥要挤独木桥？
最根本的那一点，是文化传统，是出人头地的特权思想，也是那个被扭曲的学而优则士。
应该从这一点上去改变，改变错误的社会风气，而不是在这个基础上，在教育上改变，
因为再怎么在教育上改变，大家要需求的东西决定了你要提供的东西，你最后还得回来，继续
这样的教育。
所谓”选拔人才“一点意义都没有。这不是什么给皇帝选妃子的问题。你能选拔个别人才，认为这是一种能力，
有没有考虑过，人人都是人才（天生我才必有用）才是本质，用良好的教育环境，支持每一个人，也就是
每一个人才的充分发展，你会得到多少人才？还需要选拔么？
所以从这个角度讲，需要梯度么？
回来继续说，实现梯度的两种方式。
第一种，其实就是”术高于道“的思想：你有花招，比你有深刻的认识，更能够得到高分。
因为从来深刻的认识都不可能被考试考出来。它只能在解决现实问题的过程中，体现出来。
考试面对的是大众，解决现实问题则是个体对个体，你不可能为每个人都设计一个现实问题。
而每个人都一定会在后来的生活中遇到并尝试解决现实问题。所以剩下的只能是”术“了。
但是没有”道“这种根本能力，有“术”有什么用呢？花招有多少个？实际上已有的就那么多，
多做题，把花招都见识了，你出什么花招我都能接。
但是现实世界，解决现实问题的时候，不是你背下来别人的花招，而是需要你根据你的内在能力，
创造你解决具体问题的那个花招。而那种花招和具体问题密切相关，这又是上面所说的，不可能
给大众出这种题目的情况。
所以最后一定是那些，见过最多已有花招的人，拿到高分。并升入所谓理想的大学。
但是你要我说的话，相当多的情况，这事情Mathmatica要做得好的多。因为作为术而言，
尤其是有限的已知的那些方法和技巧，正式软件设计和开发人员必须要实现的功能，或者说服务。
这些事情早晚有一天，都不需要你来做。
那么这些人，要道某一天能够解决现实问题，能够面对现实问题而创造新的花招或者理论，那只能发生在
大学四年以及之后的时间里面来培养了。然而大学到底能培养什么，你是知道的。加上本来就没有用”道“来
指导”术“的习惯，道考研究生的时候，众所周知，和考本科基本上没什么区别。那么能力的培养，只能在
研究生或者博士生以后了。可是到了那个时候，则面临未来就业等等的问题，更没有去考虑”道“的时间，
结果只能一路到底，就是”术“，没别的东西了。
可是到了工作之后，应用呢？非常有限的知识，是不够解决纷繁复杂的现实问题的。所以真正成长起来的
机会，只能在工作之后提供。
那么我请问的是，从18岁毕业，比如到22岁，24岁，28岁，这些年里面，如果指望这种教育，能有什么发展？
如果不指望这种教育，上不上这些学，有什么区别？
而18岁以前那些为了高考所煎熬的日子，所背下来的也好，算下来的也罢的那些题目，除了为了高考之外，
还有什么用？
一个人最好的那几年青春，说句实话，就是都谈了恋爱，也比这么过有意义。
最大的价值，莫过于人的价值，最大的浪费，莫过于人的浪费，具体的说，就是人的时间的浪费。
一年一年下来，几千万几千万的孩子的时间，浪费给了不知道什么东西。
当他们走向工作岗位，发现没有增长什么解决问题的能力，而为了随时可能出现的失业而焦虑的时候，社会，教育制度，他们的父母，老师，以及所有这一切，是否对于他们的境况具有不可推荐的责任？
就因为一个迷信？出人头地的“理想”？你们在毁掉自己的孩子。

再来说知识。
如果不考技巧，那怎么实现梯度？另一个选项就是考知识。
现在的高中似乎已经开始把微积分融入到课本里面了。但就是现在的高中，实际的教学情况，仍然是两年，甚至一年的教学，加上一年甚至两年的备考。我知道是因为我有亲戚的孩子在上高中，他经常过来问一些数学和物理的问题。
你要在一年或者两年里面把三年的知识都压缩起来。所以很多老师（我的物理老师当初就是这样）教学的时候，不看书本，只看讲义。多少人，三年物理学下来，没看过物理书。为什么不看物理书？为了素质教育，很多东西都简化了，很多东西都更人性化了，这体现在课本的编辑上。这非常好。课本也很好理解。
但是，大家都理解的题，出题人会出么？绝对不会的。所以这本书就白写了。因为最后是高考考什么决定你学什么。而当老师用讲义讲课的时候，他是假定你可以超越课本的（不然你凭什么能上大学呢？），也就是假定你不需要什么感性认识，就能达到理性认识的程度。
谁能？神仙也不能！所以我这亲戚的孩子，就是没有看过课本的一员，也因为没有什么出人头地的思想，也因为没有什么主动性，也因为家长和学校强加了太多的东西，住校，基本上没有假期，等等所有原因加在一起，你也不会
去主动看一本老师都不拿出来的术。结果就是，我看着很基本的东西，比如力的平行四边形法则，他就是不理解。

我跟你说，世界上那个没有这么祸害人的教育！
我儿子小学一年级。已经开始了做题，做卷子的旅程。这一下子就是十二年。我比他幸运，我是从初中三年级才开始的。
对于我女儿来说，做题，做卷子就是写作业。也就是说，今天考试就是作业。每一个作业没有别的内容，就是训练你能够考高分。
问题是，你拿什么考高分？第二个可能就是超过所学的知识。
今天儿子问我一个问题，问我小学一年级的时候，知道负数吗？我当然是不知道的。我问他怎么知道的，他也不说。但我女儿怎么知道的，我是知道的：我告诉她的，在她幼儿园毕业的时候。
我给她讲负数的时候，就用了钟表11点，就是-1点的例子。
不要担心我误人子弟，首先那不是别人的子弟，其次，这个理解没有问题，在整数域的有限前提下，就是这个理解。而无限前提又不成立，所以只有这个理解。熟悉计算机的吧友可以参考有符号整数的补码表示关于-1=ff（单个字节）的理解。这个做法不止是一种编码，或者这么说，用这种方式编码，而不用其它方式编码，不只是为了简便计算而已。

因为在数论问题上有所研究，所以这些课程我可以讲。因为每天处理物理，数学，计算机等等这些问题，也就创造了这样一个环境，生活在这个环境中的孩子，一定受到这种影响。所以我从不担心我的孩子，无论是知识还是能力，我相信他们将会超过我。
但是他们往往也和我提起那些“笨孩子”，他们不理解那些孩子为什么数学也好，英语也好，语文也好，学不会，分数那么少。但是我能理解。我上小学一年级之后转学到另一个小学，从六年制小学转到了五年制小学，一年级毕业的时候我是班里第一名，两科双百（那时没有小学英语课程）。到了新学校，第一次考试我就得零蛋。
无论我怎么好好听课，都不可能不得零蛋，因为他们一年级学的东西，我在六年制学校可能三年级才学。
我根本听不懂老师讲的是什么。

数学是这样，音乐也是这样。我在先前学校，简谱都没有学，在新学校，他们五线谱都学完了。
幸好音乐不考试，不然我一样得零蛋。但就算不考试，也注定了我一辈子都不懂两种谱子。
所以当我弹钢琴或者电子琴的时候，我是一次一次的尝试才弹出曲子的。
到今天想要查一首歌，写不出谱子也不知道怎么查：确实，听音识曲的软件可以用，我得先装上麦克。
那么考虑一下这些生长在农村的孩子们。姥姥或者奶奶带大（父母都去城市务工了）的孩子们，奶奶或者姥姥
能识字就是那个时代比较不错的了，你怎么指望他们给孩子讲数论？
就算世界上最公平的考试，放在这个前提下，能公平么？

儿子跑过来对我说，这个东西你还没讲过是什么呢。
它拿着我床头的双峰干涉管，从目静往里面看。
我记得我给他看过，也许我记错了。那就再看一次。然后就开始找激光笔（10mW），没找到，最后只能用头灯在入射光口照进去，他可以在目镜一端看到彩色的条纹。
你有这个东西吗？不是说你有没有钱，能不能买得起。这东西几十块钱很便宜，自己好好调节以下效果很好。
问题是，你会想着买么？你会把它放在床头边上，等有一天你儿子来找你问这个问题吗？
我说这些话的时候，没有什么优越感，因为各行各业都有它的从业者，爱好者等等，那么他们的家庭也会有相应的东西。这也会直接影响孩子所知道或者感兴趣的东西是什么。
但是相比较于奶奶和姥姥们，我的孩子会更容易接近物理和数学，而那些孩子可能比我的孩子更早认识耕作。我在农村已经呆了5年，至今五谷不分。也许我的孩子在这一点上也不会比我好多少。
如果这个时候你要平等的考试，作为教育者，那么恐怕你需要一个博士毕业或者至少具有副高职称的小学老师，但这个事情目前来说，恐怕是做不到的。

我儿子还小，女儿快要小学毕业了。
她的成绩从来都是数一数二的。这给了她自信，也给了她骄傲。
我基本上就不评价这件事。但是有一次，她说她语文考的分数少了，本来可以考更多。
我没有憋住，说了她一顿。
因为她考的分数少了？不是。因为她“不懂事”。
不懂的是什么呢？
不懂的是价值。她的现实是我最担心的：有一天成为一个“优秀的应试者”。
然而这种人生，基本上就毁了。
我告诉她，我不在意她考多少分。
如果她有能力，分数高是对的，分数不高不是她的错。
如果她没有能力，分数高是错的，分数不高是正常的。
她的数学老师给过她一个评价：她有足够的能力，小学的知识不学也没事。
所以我也不担心她的分数，也不担心她是否能上大学：
按照这个分数，我是说，有能力前提下的分数，
她有一天读个博士也不是问题。
但是我担心的是她如何理解这些。

要成长，成长成为一个更完美的人。
教育，帮助这种成长实现其目标，没有任何东西比这个更重还要。
世俗看懂看不懂这一点的重要性，犹如，奴隶担心被解放之后，就失去了饭碗而饿死。
这是不可能的。有自由的人，有完整的创造力，有创造力的人自己解决自己的饭碗不成问题，还能解决别人的饭碗的问题，甚至解决整个社会饭碗的问题。这是修齐治平能够成立的根本原因。
有一万个奴隶，也比不上一个自由人能够创造的价值。
所以哪怕你没有半点人性，良心，只有经济头脑，你也绝对不能做奴役人的事情。
能做这种事情的人，良心也没有，经济头脑也没有，这绝对不是修齐治平之人所为。
这种行为给社会造成的创伤，对社会发展的延迟的作用，巨大无比。
谁这么做，谁就是最大的罪人！

若你不能培养大师，没事，允许孩子有自己的时间成为自己的大师，以至于有一天成为世界的大师。
你不能剥夺孩子的时间。你不能把他们变成考试的工具。
我教给女儿计算机，我有这个能力，但我和她有一个约定：前提是她愿意学，如果不愿意，任何时候都可以停止。
原因只有一个：她不选择的东西，我强迫她选择，没用，或者起反作用。那个从她自身生长起来的能力才是她的，
那些填鸭子进去的东西，最后都会还给老师。我不需要她还给我任何东西，我要看到的是她有她自己的东西。
（教育制度的设计和实现者们）你们今天的所作所为，我也可以理解，这是社会整体意识水平太低的结果。
但是，在未来某一天，你回头看看这些事情，这些大规模的发生的悲剧，你还能睡好觉的话，也是一个奇迹了。
而一旦教育走到正常的轨道上，走出这个怪圈，那么它所释放出来的巨大的智能力量，将是你几辈子都想象不到的，而这种力量对社会的改变会有多大，产生的影响会有多深远，你不能体会，但未来的人会。
至于在他们的眼里，如何理解今天的你们，或者明天的你们，其实真的决定于你们自己。
当然社会风气的改变也不是教育一家的事情。所以那些“有关部门”们，自己去体会自己的位置吧。