第五章
1.设f'(x),g'(x)都存在,g'(x)不等于0,f(x)=g(x)=0,证明:lim(t->x)f(t)/g(t)=f'(x)/g'(x).

2.设f'在[a,b]上连续,证明对任意e>0,存在d>0,只要|t-x|<d,t,x属于[a,b],就有|[f(t)-f(x)]/(t-x)-f'(x)|<e.这也就是说,如果f'在闭区间上连续,那么f就在闭区间上一致可微.

3.设f是(a,+inf)上的二次可微实函数,M0,M1,M2分别是|f(x)|,|f'(x)|,|f''(x)|的上确界,证明M1^2<=4M0M2.

5.设f在[-1,1]上定义,f'(0)存在,an,bn->0,定义差商Dn=[f(bn)-f(an)]/(bn-an).证明:
(1)若an<0<bn,则lim(n->+inf)Dn=f'(0).
(2)0<an<bn且bn/(bn-an)有界,则lim(n->+inf)Dn=f'(0).
(3)若f'(x)连续,则lim(n->+inf)Dn=f'(0).
(4)举出一个例子,lim(n->+inf)Dn存在但不等于f'(0).

6.对于R的每个闭子集E,能否找出这样的函数f,它在R上任意次可微,并且f的零点集是E.

7.设f是R上实函数,f可微,如果存在0<A<1,|f'(x)|<=A,则f有不动点x,且设x1是任意实数,x(n+1)=f(xn),则x=lim(n->+inf)xn.

8.设f在[a,b]上可微,f(a)=0,设有实数A,|f'(x)|<=A|f(x)|,证明f在[a,b]上恒为0.

9.证明:f是定义在R=[a,b]×[c,d]的二元实函数,若有常数A,只要(x,y1),(x,y2)属于R,就有|f(x,y1)-f(x,y2)|<=A|y1-y2|,则初值问题y'=f(x,y),y(a)=c至多有一个解.

10.对于形式为y'_i=fi(x,y1,...yk),y_i(a)=ci的微分方程组,写出一个与9类似的唯一性定理来,并加以证明.

11.考虑方程组y'_i=y_(i+1),y'_k=f(x)-∑(1,k)g_i(x)y_i,这里f,gi都是[a,b]上连续实函数,从而对带有初始条件y(a)=c1,y'(a)=c2...y'(k-1)(a)=ck的微分方程y'(k)+g_k(x)y'(k-1)+...+g_1(x)y=f(x)导出唯一性定理来.y'(k)表示y的k阶导数.

第六章.
1.设f是[a,b]上有界实函数,f^2在[a,b]上黎曼可积可否推出f黎曼可积?若加上f^3黎曼可积的条件呢?

2.设P是2.44所做的cantor集,f是[0,1]上有界实函数,它在P以外的每个点连续,证明在[0,1]上f黎曼可积.

3.写出反常积分的分部积分法则,列出适当的假设,编成定理再加以证明.

4.设正实数p,q满足1/p+1/q=1,证明:
(1)u,v>=0,则uv<=u^p/p+v^q/q.
(2)假设f,g在[a,b]上属于R(α),f,g>=0,且∫(a,b)f^pdα=1,∫(a,b)g^qdα=1,则∫(a,b)fgdα<=1.
(3)|∫(a,b)fgdα|<=[∫(a,b)|f|^pdα]^(1/p)[∫(a,b)|g|^qdα]^(1/q)
(4)3中的Holder不等式对反常积分也成立.