一、奇妙的组合 

 ——关于排列的迷题 

　 

组合分析，即组合学，是研究事件如何排列的。用专业的说法，组合分析是将诸元素按不同的规则和特性组合为集合的研究方法。

　

例如，第一个问题是关于不同颜色的球的分组方法。这个问题要求读者按某一特性找到彩球的最小集合。第二个问题是关于参赛者按图表以淘汰制分组的方法——这也是计算机中重要的计算部分数据分类的问题。

　

组合分析通常要找到根据某种规则进行分组的全部组合，如所谓“穷举问题”在苏珊上学路径中的应用，在这个问题上，组合的元素是沿模型边缘的曲线路径，由于几何图形被引入，我们称其为组合几何。

　

每个数学分支都有其组合问题，你将在本书各节中找到它们。有组合数学，组合拓扑，组合逻辑，组合集合理论——甚至组合语言，这将在语词游戏一章看到。组合学在概率理论方面尤为重要，在找到概率公式以前列举所有可能的组合是非常必要的。有一个著名的概率问题集叫作“机会与机遇”，题目中“机会”这个词指的就是组合因素。

　

我们第一个问题涉及概率是因为彩球按某一特定要求排列，文中提出了如何解决类似的简单的概率问题。列举苏珊上学路径问题提供了帕斯卡三角在概率问题中的应用。解决已知组合问题的排列可能没有，可能只有一种，也可能有几种或无数种。没有一种两个奇数的组合能使这两个奇数的和仍是奇数。只有一种两个质数的组合，使得这两个质数的积是21，满足两个正整数的和是7的组合有三种，有无限多种两个偶数的组合使得它们的和仍是偶数。在组合理论中更多的是很难找到“不可能事件的证明”，即没有满足要求的组合。例如，直到最近才证明地图的绘制需要五种颜色，这在组合拓扑中曾是一个著名的无解问题，这个不可能证明需要庞杂的计算机程序。

　

另一方面，许多最初很难证明其不可能性的组合问题，在具有了巧妙的想法后却很容易证明。在“恼人的花砖”问题中，我们看到简单的奇偶检验马上导致了用其它方式很难证明的组合的不可能性。

　

关于小球的第二个问题把组合思想和不同数学体系的应用结合了起来。我们知道，可以依赖组合的规则，用数学做各个位置的记号，实际上，所有的推理，无论是数学的还是逻辑的，都能用一串组合符号来进行，不管这是不是合适的说法。

　

所以17世纪组合学的创始人莱布尼茨称这种推论技巧为排列组合。I

http://www.blogme.cn/node/5659?size=_original

口香糖问题 

 


 a．琼斯太太竭力想快点走过那个口香糖售货机，以免她的双胞胎看到。
第一个孩子：妈，我想要口香糖。
第二个孩子：妈，我也要，我要和比利一样的。 
　


 b．口香糖售货机差不多空了，没法知道下一个糖球是什么颜色，琼斯太太要想得到两个同样的糖球，她必须准备花多少钱? 
　

　
 c．琼斯太太可以花6便士买2个红球——其中4便士买所有的白球，另2便士买一对红球；或者花8便士买2个白球。所以她必须准备8便士，对吗? 
　

　
 d．错了。如果头两个球颜色不一样，那么第三个球必与其一相配，所以3便士就足够了。 
　


 e．现在假设机器中有6个红球，4个白球，5个蓝球，你能算出琼斯太太需花多少钱能买一对同样的球吗? 
　

　
 f．如果史密斯太太带着她的三胞胎从同一个口香糖售货机旁过，你仔细想想，你认为4便士够吗? 
　 


 g．这次售货机中有6个红球，4个白球和一个蓝球，史密斯太太要花多少钱能买三个一样的球? 

 

需要多少钱?

　

第二个口香糖问题是第一个口香糖问题的简单变化。可以用同样的思路来解决。在这个问题中，取头三个球可能是不同颜色——红色、白色和蓝色。这是没有达到预想结果的最长排列，第四个球一定与前三个球中的一个相同。所以只要买4个球必能得到相同的一对球，琼斯太太要准备4便士。 

　 

总之，对于n组球，每组一种颜色，就应准备买n+1个球。第三个问题比较难，史密斯太太是三胞胎而不是双胞胎，口香糖售货机中有6个红球，4个白球和1个蓝球，她得花多少钱才能买到3个同样的球? 

　

同上，我们首先要考虑最坏的情况，史密斯太太买到2个红球，2个白球和唯一的蓝球，总共5个红球，第6个球肯定是红球或白球。所以要使三胞胎都得到同样颜色的球，答案是6便士。假如蓝球不只一个，她每种颜色先抽2个，那么第7个球就能满足三胞胎的要求。

　

噢!关键在于最“坏”情形的长。有人可能想通过给这11个球标上字母来解决这个问题，然后检查所有可能排列，看看在出现三个同样球的排列中哪个是最长的。但是这种解决办法需列出ll!=3931680O种排列，即使同样颜色的球不用字母区分，也要列出2310种排列。

　

总之，要抽取k个同色球的方法如下：有n组球（每组一个颜色，每组至少k个)，那么要得到k个同色球必须抽取n（k--1）+1个球。你肯定还想研究一组球或多组球的球数少于k的情形。

　

这种问题的模式也能用于其它方面。例如，你要从52张牌中抽取7张同花色的牌，你要抽几次?这里n=4，k=7，公式给出的答案是：4(7--1)+1=25。尽管这是些简单的组合问题，但引出了有趣而复杂的概率问题。比如．你从n张牌中抽取7张牌(n从7到24)，每次抽取后不再放回(显然，假如抽的张数小于7概率为0，如抽取25张以上概率为1)，同花色的概率是多少?如果抽取的牌再放回经冼脾后再抽概率又是多少?一个更难的问题是：无论牌是否放回，获得同花色牌的期望值(概率的平均值)是多大呢?I

http://www.yzpc.edu.cn/zdjc/sxwl/suxue/sxs/scsxwj.htm

http://news.163.com/06/0316/18/2CBSM4VC00011242.html 1996年3月19日 数学家陈景润逝世

奎伯的杯子问题 

 


 a．巴尼在饮店工作，他给他的两位顾客表演10个杯子游戏。 
　


 b．巴尼：这有一排10个杯子，前5个杯子装着可乐，后5个杯子空着，你能挪4个杯子，使满杯和空杯间隔排列吗? 
　

　
 c．巴尼：好，只需第2个杯子和第7个杯子交换位置，第4个杯子和第9个杯子交换位置。 
　

　
 d．奎伯教授总想一些奇特的方法，碰巧听到了这个问题。
奎伯教授：为什么要挪4个杯子，我们能否只动2个杯子? 
　


 e．奎伯教授：很简单，把第2个杯中的可乐倒进第7个杯中，把第4个杯中的可乐倒进第9个杯中。 

 

不寻常的奎伯

　

尽管奎伯教授通过巧辩解决了这个问题，但普遍问题并不像这个问题这么平常。例如，同样的问题，如果是100个满杯和100个空杯需要对调多少次才能使满杯和空杯间隔排列?

　

用200个杯子做实验不很实际，我们首先分析较小的n值的解决方法，这里n是满杯或空杯数。你可以用两种颜色的记号来解题(或者牌的正反面、硬币的正反面、不同面值的硬币等等)当n=1时无解。n=2时显然只对调一次。n=3时也对调一次。进一步努力，你可以发现简单的公式，n是偶数时，对调数为n/2。n是奇数时，为(n—1)/2。所以，如果是100个满杯和100个空杯，需要对调50次。

　

这需要移动100个杯子，奎伯的幽默作法把移动杯数减少了一半。

　

又有一个类似的分隔同题，但比较难解。在同一排中有n个一类物体，相邻的是n个另一类物体(如上面用玻璃杯、记号、牌等来表示)你还是要把这一排列变为互相间隔状态，但我们移动原则不同了。我们必须移动一对记号放到队列中任何空白处，移动中不能改变这两个记号的顺序。例如，这是n=3时的做法：

XXXOOO
 XOOOXX
 X00 XOX
 OXOXOX

　

一般的解法是什么呢?n=1时无解。你很快也发现，n=2时也无解。对所有大于2的n，最小的移动次数是n。

　

当n=4时，解决这个同题就很不易，或许你已经解决了，或许当n大于等于3时你能用公式来表示这个问题的解。

　

这些问题变化一下，可以产生一些其它的难题：

(1)规则同前，只是当你移动一对记号时，如果是不同颜色的，在移动前交换它们的位置。也就是黑红对在移动前变为红黑对，8个记号移动5次可以完成，10个记号移动5次也可以完成。我们还不知道一般的解决方法，或许你能找到。

　

(2)规则和原题一样，只是一种颜色的记号有n个，另一种颜色的记号有n+1个，并且只有颜色不同的一对才能移动。可以证明：无论n为何值，都需移动n2次，且这是最小的移动次数。

　

(3)三种不同颜色的记号，移动每对相邻的记号使三种颜色相互间隔，如果n=3(即总共9个记号)需移5次。在以上的变化中，我们都设变化为最后排列时排列中没有空隙，如果允许空隙存住，移动4次就能得到结果。

　

一些变化的假设迄今还没有提出来，更不必说解决了。比如，在以上的变化中，一次移动3个或更多相邻记号。

　

还有，如果先移动1个记号，再移动2个相邻的记号，接下来是3个以至4个等等。已知各有n个两种颜色的记号，移动n次能解决问题吗?I

http://news.tom.com/Archive/1002/2003/3/18-23420.html 著名数学家苏步青

http://news.tom.com/1003/3294/2004107-1391565.html 英霍�

阿贝尔
 

　

跨海求学路
　

　　阿贝尔在数学和天文学界的朋友们，说服大学去请求挪威政府资助这个年轻人，作一次以数学为主要目的的欧洲之行。阿贝尔为了使权威们对他的价值有所注意，在1822-1823年的冬天交上了一篇很长的论文，从这篇论文的题目看，它也许与他最负盛名的领域——数学分析有关。阿贝尔本人对它估价甚高，相信大学出版这篇论文会给挪威带来荣誉。阿贝尔对自己的工作的看法从来也不过分。不幸的是，大学正在它本身严重的财政危机中挣扎，论文最后丢失了。

　　经过过分的慎重考虑之后，政府妥协了，但不是立刻派阿贝尔去法国和德国，而是给他一笔奖金，让他在克里斯蒂安尼亚继续他的大学学习，以便他能复习法语和德语。这恰恰是从任何以好心和有常识闻名的官员们那里，阿贝尔所能指望得到的那种决定。然而指挥一个天才决不是靠常识就可以办到的事。 

　　阿贝尔在克里斯蒂安尼亚延误了一年半，他没有浪费时间，而是很尽职地履行他这方面的义务，钻研始终不曾流利的德语，法语开了个好头，不间断地从事数学研究。以他改不了的乐观精神，他还和一位年轻姑娘——克里斯汀．肯普（Christine Kemp）订了婚。最后，在1825 年8月27日，阿贝尔二十三岁时，他的朋友们战胜了政府的最后一次阻挠，皇家下令给予他足够在法国和德国旅行和学习一年的经费。他们并没有给他很多，但是在国家窘迫的财政条件下，他们毕竟给了他。这个事实比整整一部艺术和贸易的百科全书更能说明1825年挪威的文明程度。阿贝尔很感激。他在动身以前用了大约一个月的时间，安顿依靠他生活的家人。 

　　在1825年阿贝尔和朋友离开挪威，在汉堡并在柏林住了六个月。这一段时间是他一生最快乐的时光。他和朋友住在一间公寓里，刚好和德国著名哲学家黑格尔是邻居。这一群青年在周末就是逛博物馆、名胜古迹，剧院或者郊游，晚上有时间就喝酒谈天。这对喜欢在晚上安静研究的黑格尔来说是一个讨厌的事。有一天他忍不住去找房东想了解这一班人是谁，房东讲：“是一群年青的挪威学生。”黑格尔讲：“啊！我以为是一群俄国熊。” 

　　阿贝尔在德国认识了奥古斯特．利奥波德．克列尔（A．L．Crelle 1780－1855）。克列尔不是一个有创造力的数学家。他是德国著名的建筑工程师，很早就在他的工作上出人头地，建造了德国的第一条铁路，挣得了一笔够他过舒适生活的奖金。克列尔在空闲时间喜欢读写数学文章，他的数学是自学成功的。阿贝尔知道他是数学爱好者后就去找他，可是由于德文讲得结结巴巴，克列尔最初听不出他的来意，猜想他是想要考城里一间商业学校的学生。最后阿贝尔失望的说：“Nix考试（正确的德文是nicht，意思为“不是”），而是数学。” 

　　克列尔后来了解了阿贝尔，对这个青年有一些认识，就会很喜欢他。当时，克列尔觉得德国没有一份数学杂志的出版，对数学发展的推进不大，很想出一份纯数学和应用数学的杂志，阿贝尔对最后促使他作出决定起了作用。克列尔从来没有懂得阿贝尔所做的工作的十分之一，但是他对数学天才的可靠的直觉告诉他，阿贝尔是一个第一流的数学家，于是他竭尽所能地使他这位年轻的被保护人得到承认。在会晤结束之前，克列尔就决定了阿贝尔必须成为筹办的《杂志》的第一位撰稿人。阿贝尔赞成他的计划并且答应写稿。 

　　克列尔的数学杂志：《Journal fur die reine und angewandte Mathematik》（《纯数学和应用数学杂志》）果然在1826年出版，到现在仍然是世界著名的数学杂志。它的第一卷就登了阿贝尔的五篇重要文章，并且在第二卷中发表了阿贝尔的使双周期函数理论得以诞生的著作。 

　　阿贝尔在德国并没有去找在哥庭根的高斯。可能他觉得这个大数学家难以接近，也难以帮助他，因为他以前的作品寄给他却完全得不到回音。 

　　1826年7月，阿贝尔离开德国到法国去，他留在巴黎期间觉得很难和法国数学家谈论他研究的成果，他们年纪太大对年青人的工作并不重视。泊松在忙他的热学、电学和概率论。傅里叶和安培研究电学。而当时74岁的勒让得虽在数论、几何、测地学和天文上有研究，但对新的数学思想接受能力很低。而阿贝尔认为搞纯数学的权威柯西，虽说是复变函数论的创立者，但是一个保皇党，思想极端反动，而且很自私自利，其他的数学工作者都不喜欢他。 
I

　　1826年7月下旬，阿贝尔在巴黎寄寓于一个贫穷但贪婪的家庭，他们给他每天两顿很差的伙食和一间极坏的房间，却要了一笔简直无法无天的房租。在巴黎感到孤独的阿贝尔给在挪威的霍姆伯厄写了一封信：“总而言之，我不喜欢法国人和德国人。对于陌生者法国人是非常的缄默，非常的难以接近他们，而我不希望这样。他们每个人只顾自己的工作，而不照顾别人，每个人想要教别人，可是不愿意学习。绝对的自私统帅一切……每个人只想到自己，只有他自己可以发明理论，这是他们的想法。所以你可明白，对于初学者是难予注意的！”。 

　　在信中，阿贝尔谈到了当时巴黎的数学家们“……勒让德极有礼貌，但是不幸他很老了。柯西是疯了……做的工作极好，但是很混乱。一开始我实际上对它一无所知，现在我比较清楚地了解它的某些部分了……柯西是唯一从事纯数学研究的人。泊松、傅里叶、昂佩尔等等一些人埋头于电磁学和其它物理学科。我相信拉普拉斯先生现在什么都不写了。他最后的工作是对他的概率论的增补。我常常在学院看见他。他是一个非常有趣的小家伙。泊松也是一个小家伙；他知道怎样做到举止非常高贵；傅里叶先生也一样。拉克鲁瓦相当老了。阿歇特先生要把我引荐给这些人中的几位。” 

　　在法国时，阿贝尔希望他的一份长篇论文能被法国科学研究院发表。论文交到了勒让得手上。勒让得看不大懂，就转给柯西，多产的柯西忙着孵他自己的蛋，咯咯地叫着，顾不上谦虚的阿贝尔放在他窝里的竟是大鹏的蛋，随便翻翻就丢在一个角落里去了。 

　　阿贝尔的那篇论文《关于非常广泛的一类超越函数的一般性质的论文》是数学史上重要的工作，他长久的等待着消息，可是一点音讯也没有，最后只好失望回去。在回到柏林时，他病倒了，他不知道他已患上了肺结核病。他想可能是法国的孤寂生活使他身体衰弱。他只剩下很少的钱；大概只有七元钱。他写了一封急信，延误了一些时间，从霍姆伯厄那里借来了一笔钱。决不能认为阿贝尔是一个长期借钱又没有希望还钱的人。他有充分的理由相信，他回国后会有一个挣钱的工作，而且，也有应该付给他的钱。阿贝尔从1827年3月到5月，靠霍姆伯厄的大约六十元借款生活和从事研究。然后,他所有的来源都枯竭了，他掉头回国了，到达克里斯蒂安尼亚时身无分文。I

阿贝尔
 

　

回国后的困境
　

　　在1825年底那个曾帮助阿贝尔到丹麦去旅行的老教授拉斯穆辛退休了。奥斯陆大学要聘请人接替他的工作。只有二个人是足以应付的：一个是阿贝尔，另外一个就是他的教师霍姆伯厄。

　　考虑人选时汉斯丁教授拥有最大的决定权。他知道霍姆伯厄在数学上并不是一个人材，但是他教书教了八年，而且长期忠诚的协助他搞地磁的测定工作，如果给阿贝尔这职位，霍姆伯厄就没有机会留在大学里。汉斯丁想到西伯利亚去测定地球重力场和电磁场二年，他可以把自己的教书职位让给阿贝尔，等二年后情况好转就可以要求政府再设立一个职位给阿贝尔。他认为这个安排是最妥善的。于是就把拉斯穆辛的职位让给了霍姆伯厄。但是他没有想到阿贝尔没有一〉慵也飧鼍龆ㄊ拱⒈炊乩春笸耆挥泄ぷ骱蜕罾丛矗? 

　　1827年5月底阿贝尔回到了奥斯陆，他不只身上分文全无，还欠了朋友一些钱。他的弟弟无所事事，用他的名字借了一些钱，他必须还清。大学给他一些奖学金可是太少了，不够生活和还债。为了还债，他不得不通过汉斯丁教授和霍姆伯厄的担保向银行借钱。 

　　阿贝尔重操学生时代的旧业——教补习。从小学生到准备入大学的中学生，从德文、法文、到初级数学。德国的克列尔很了解阿贝尔的处境，他想要给这个纯良的天才在柏林找到一个永久的职位。他想通过他对普鲁士政府的影响给阿贝尔获得这工作。 

　　汉斯丁教授在要离开西伯利亚之前，向他担任教学的军事学院推荐阿贝尔替他的课——力学和理论天文学。很幸运的，阿贝尔被批准，他可以得到汉斯丁教授的薪水的三分之二，这对他来讲是一件重要的事。他可以安心写他的关于椭圆函数理论的工作了。 

　　椭圆函数最早由欧拉确定。它可以看成三角函数的推广，但它具有特别的性质即具有双周期性。这个性质德国数学家高斯早在1800年便已发现，可是却没有发表。在1827年和1828年之间，阿贝尔在这方面的工作发表在克列尔办的杂志上，而同时德国一个年青的犹太数学家雅可比（C．G．Jacobi）也在德国的杂志上发表了同样的结果。最初高斯很是生气，觉得这些人从他那里抄袭到这方面的知识就发表，可是在详细阅读了阿贝尔的文章后，他认为阿贝尔的想法和思路是和他以前的考虑一样，他也从没有和阿贝尔有过接触，阿贝尔的发现是他自己努力的成果。 

　　阿贝尔的身体越来越衰弱了。在1828年夏天他一直生病发烧，而且咳嗽，在朋友面前他表现得很乐观，可是他一个人在的时候，他就消沉，感到前途真是暗淡无光。一对有钱的夫妇施耶尔德鲁普斯收纳了他，象对自己的儿子那样对待他。但是即便有这一切，他还是无法摆脱靠他养活的家人的负担。他们直到最后一直缠着他，实际上弄得他自己一无所有，可是直到最后他也从没有说过一句不耐烦的话。 

　　他不知道在法国的勒让得对他的工作很欣赏，而且知道他的困境后，亲自写信给瑞典国王，要求弄一个职位给这世纪的天才。勒让得写信给他，称赞他工作的完美和先进。阿贝尔非常的高兴，在回信中说：“当我看到我的工作能值得本世纪的大数学家之一的注意，是我一生中最快乐的时刻之一。”他也谈到他想出版他正在著作中的数学文章，可惜没有一个出版商会冒险出版，他自己又没有钱。 

　　1828年的圣诞节快到了，阿贝尔被邀请到弗罗兰（Froland）去渡假，他的未婚妻就在那里工作。挪威的冬天是很冷的，他穿上了所有的衣服，可是身体还是觉得冷。他咳嗽、发抖，而且觉得胸部不适，但是在朋友和爱人面前他装作若无其事，而且常开玩笑，以掩饰他身体的不舒服。I

阿贝尔
 

　

天才的夭折
　

　　1829年1月中旬，阿贝尔知道他活不长了。溢血的迹象是无法否认的。他在昏迷中喊道：“我要为我的生命奋斗！”但是在更多安静的时刻，在他精疲力竭，试着要工作的时候，他意气消沉了，“象一只看着太阳的病着的鹰，”他知道他只有几个星期好活了。

　　在德国的克列尔很关心及同情阿贝尔的处境，他想法子弄了一笔钱给阿贝尔，作为发表在他办的数学杂志的文章“稿费”，以减轻阿贝尔的精神负担。并且常写信鼓励他，并把德国年青数学家雅可比的工作告诉他。当他知道阿贝尔有一份关于椭圆函数的著作没钱给出版商出版时，他主动建议阿贝尔把稿件寄给他，他会全部在他的杂志上发表，不管这论文多么长。 

　　当他收到阿贝尔的回信：“我已经病了一个时期，而且被迫要躺在床上了。我很想工作，但是即使我现在复原，我的医生警告我，任何操心的事都对我有极大的伤害。”克列尔心中非常难过，他觉得那些高高在上的官员对于学术人材实在是太不关心了，真是岂有此理！ 

　　在圣诞节和新年之间，克列尔尽力去为阿贝尔的工作奔走和写信，他拉到了著名科学家亚历山大．冯．诺波特做后盾，并且收集到了高斯和勒让得的称赞阿贝尔工作的信。他以激将法的方式写信给教育部长：“尊贵的先生，我希望你能尽快批准阿贝尔的职业，现在这个伟大的天才已经是出名了，他可能被聘请到别的地方工作。我刚得到消息丹麦哥本哈根的大学想要礼聘他，那么他就不会在这里服务了。” 

　　1829年4月8日克列尔很高兴的给阿贝尔写信：“我已经从教育部的负责人那里知道你的职业是肯定有了……我是想快点让你知道这好消息，可以肯定你现在是可以不必考虑了，你属于我们而且安全有保障。我非常的高兴，就像是我获得了这职业。你可准备旅程来这里……” 

　　但是克列尔不知道从三月开始阿贝尔的病已经恶化了，他不止胸痛而且还吐血，他常常咳嗽而且极度的衰弱，要一直躺在床上。有时他想做点数学，可是却不能提笔写东西。有时他昏迷，他像在过去的日子中生活，他谈到他的贫穷，他谈到汉斯丁夫人对他的善意的关怀。 

　　在4月5日的晚上阿贝尔感到非常的痛苦，到第二天清晨和中午才稍微好转。到了下午他的未婚妻克里斯汀守候在他的床边，阿贝尔正和死神挣扎，他的神智已经不清了：“……我要活下去！我还有很多工作没有做完。要照顾妈妈、弟弟、妹妹……克列尔帮我找工作，为什么这样久没有消息？……可怜的克里斯汀，你像是春天迎春的稚菊，你是高贵和纯洁的……我去了怎么办？……不！我会好的，春天来了，我们的日子会变好的……” 

　　阿贝尔紧握着克里斯汀的手突然松弛了！克里斯汀伏在他身上号啕大哭，她最心爱的人离开她了。 

　　阿贝尔死后两天，克列尔来信说，他的谈判终于成功了，阿贝尔将被任命为柏林大学的数学教授。I

阿贝尔
 

　

死后的余波
　

　　克列尔的消息来的太迟了，这个世上少有的奇才——尼尔斯．亨利克．阿贝尔怀着沉重的心情离开了人世间，只活了二十六年零八个月。阿贝尔被埋在弗罗兰的公墓。他的亲密的朋友基尔豪在他的坟前树立了一座很象样的纪念碑。今天，来访者在通往弗罗兰的教堂上还可以看见基尔豪为他的朋友建立的纪念碑。

　　在第二年的6月法国科学院颁给著名的Grand Prix奖给阿贝尔和雅可比，这是当时数学上最有成就的两个青年数学家。奖金三千法郎的一半送给阿贝尔的母亲作生活费用。阿贝尔的弟弟也开始能自立了，他们像哥哥一样教补习。那个吊儿郎当的弟弟也改变了作风。 

　　1829年阿贝尔在法国的朋友赛克听到阿贝尔去世的消息后，觉得法国科学院对他的死要负责任。于是愤怒的提起笔在杂志上写文章猛烈攻击科学院里陈腐的官僚作风，他大声呼吁：“可是我们说：‘年青的科学家不要听除了自己内心的声音外其他权威的话。’因为这更能适合你的志趣和能力。读和深思那些天才的工作，可是不要成为温柔敦厚的学生或者自私的赞美者。我们的劝告是：在事实面前要采取客观的态度，而且要敢于自由的选择观点。” 

　　对科学院成员最猛烈的抨击该是四十年后在国民众议院的拉斯拜尔（Francois Vincent Raspail）的演讲。拉斯拜尔是法国家喻户晓的传奇人物，许多城市的街道用他的名字命名，特别是在巴黎的一条大道就称为拉斯拜尔大道。 

　　拉斯拜尔最初是个牧师和神学教师，可是由于教会认为他具有异端思想而把他的职位解除。这反而使他成为了卓越的生物学家以及为无产者争取福利的革命家。他写植物学的评论文章，也是植物生理学的开辟者，他对有机化学做研究，在1830年和1840年的法国革命时还是工人方面的领袖。法国人最早知道他是通过一本用通俗的语言写成的介绍家庭治疗疾病的方法的书。他比巴斯德更早有“细菌”的概念。他年老时还是和年青时一样不畏权贵，不怕坐牢，大胆抨击法国不合理的事和当权者的贪污腐败。 

　　如果有兴趣，您可以到1870年巴黎的众议院听听拉斯拜尔这位年老的激进者激动人心的攻击那觥蹲运降淖时炯椅淼纳缁嶙锒瘛返难萁病?/font>I

阿贝尔
 

　

自私的资本家吸血鬼的社会罪恶
　

　　这是拉斯拜尔1870年在巴黎众议院的演讲：

　　“……这已是40年前了，正是当时科学研究院的贪婪的成员高高在上的时候，一个年青的瑞典人来找我的朋友。我的朋友读他想要呈上研究所的数学手稿，他觉得这论文存在着异常的幻想。 

　　[听众大笑] 

　　他对他说：‘我的朋友，拿你的手稿给傅里叶先生，但不要给其他人，你亲自找他，他会读完整篇论文，然后再约时间和你谈。’可是这青年把这论文交给了柯西，在那时这位先生靠他的位置领取五万法郎公薪的收入，差不多和古生物学家居维叶收入六万法郎一样。可是这时许多年青人死于饥饿。

　　[听众有人喊：‘是的，我们工人做到半死，一天才只有一个法郎的收入。’] 

　　这年青人然后再去找傅里叶。傅里叶就在他的小居室接见他，就像平时接见任何从事科学的工作者一样。他对他们都很关心而且不拒绝和他们讨论他们研究的问题。柯西这个贵族资本家，却把这个青年的论文搁置在他自己论文的一边没有拿来看；泊松他自己同样获得一份论文但也失掉了。

　　这年青人受到我的朋友的接待，在关怀和照顾需要帮忙的人这方面他是专家。可是到今天他仍需要靠自己的劳力来维持自己的生活，他仍是过着贫穷困苦的日子。　　　

　　[听众喊：‘大声点！大点！我们听不到。’有些人喊：‘他的名字，他叫什么名字？’]　　　

　　他是赛克先生，他的名字对你们许多人是陌生吧！可是从事科学工作者大多知道他，我相信出席这里的一些人是认识他的。]　　　

　　赛克给他一些金钱，并邀他来家里吃饭；可是这年青瑞典人觉得靠别人的收入过日子是羞耻的，有一天他向他讲要回瑞典了。事实上他回瑞典去了，可是却徒步回去！ 　　　

　　[听众发出一些惊叹声音。] 　　　

　　他留下了论文给勒让得，你们都知道这个人。勒让得看了这篇文章就说：‘看，这年青人怎么这样的吹牛。他相信他找到了一个问题的答案，而我花了四十年还没法子解决。’于是他把这文章丢在桌上了。　　 　

　　可是当这青年旅经柏林时，他把他的工作留给一个科学家办的科学杂志。这科学家对他更善意和理解。勒让得是个宽大的人，当他念到发表的论文，他的良知烦恼他。他回家后就寻找这青年留下的论文，然后惊呼：‘事实上，他真的找到了我长期想要解决的东西。他已经做了世界上最困难的发现，他已经找到了我四十年来想找的答案！　　　

　　勒让得提起笔来，他心里充满了悲伤，正义来得太迟，写了封信给瑞典的教育部长，要求对这青年关照，因为他刚得到消息他正在挨饿。可是他获得的回答是：‘这年轻的科学家已死去了，死于饥饿！’　　　

　　[听众们发出了叹息的声音，可敬的满头白发的拉斯拜尔用手揩掉流下来的眼泪，环看全场的听众，然后以较高但带点颤抖的声调问：] 　　　

　　你们知道这人是谁吗？这就是到处被人赞美的阿贝尔！因为全世界都知道他的论文，他死时才二十五岁。 　　　

　　现在你们可以看到科学院的那些成员， 由于喜爱金钱，一点慈悲都显不出。如果他们不被允许敛积钱财，他们就会像我的朋友那样，会关心这个青年人，这个显示出了优秀的，非常超卓的才能的人。”I

阿贝尔
 

　

对后人的影响
　

　　法国数学家厄米特在谈到阿贝尔的贡献时说过：“阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够忙碌五百年。”他的过句话并不夸大。

　　勒让得晚年忙于完成他的关于椭圆函数理论的巨著。在1832年全部完成后，他把这巨著送了一部给德国的克列尔要求批评，他还附上了一封信，其中有这样一句话：“你将会看到，利用了阿贝尔漂亮的定理，我已经成功创造了一门新的数学理论——这个我称为超椭圆函数论。它们比椭圆函数更一般，可是却有密切的关系。我感到很高兴能够用它来说明阿贝尔发现的那卓越定理的价值来表示对阿贝尔天才的尊敬，这定理或者可以说是阿贝尔的永恒的纪念碑。” 

　　可是雅可比并不同意勒让得的用超椭圆函数论来命名，他认为应该称为阿贝尔函数论（Theory of Abelian functions）因为这一类函数是阿贝尔第一次引进分析学里来。雅可比认为：“阿贝尔的定理以没有计算的简单形式，表达了最深入和效果远大的数学思想。我们认为这是我们这个时代最伟大的数学发现，只有靠以后深入的研究，可能还需要一些时间，才可以完全明了它所包含的其他意义。”

　　在和阿贝尔同时期的一个法国少年读到了他的著作，于是在不到二十岁的时候在代数方论方面推陈出新创立了一门新的数学理论——伽罗瓦理论（Theory of Galois）。这个发现者伽罗瓦（Evariste Galois）还建立了群论的基础理论。很可惜伽罗华过不多久就被人害死了。 

　　阿贝尔的函数论的确是一门漂亮的抽象数学理论，但目前还很难在科学上有实际的应用。但是我们有理由相信俄国数学家罗巴切夫斯基（非欧几里德几何学的创立者之一）讲过的一句话：“数学的任何一个分枝，不管它是怎么样的抽象，总有一天会在这实际的世界上得到应用。”I