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数学家图�

http://www.wljx.sdu.edu.cn/wlwz/wangke/files/physical_sci/haygen.htm 惠更�

十五诀窍 

 


 a．当一个农村集市开张时，除了耕牛，所有的人都很兴奋。 
　


 b．今年，开办了一个叫“十五”的新游戏。 
　

　
 c．卡内先生：村民们请留步，游戏的规则非常简单。我们只是把硬币放在这些1至9的数字上，谁先放都无所谓。 
　

　
 d．卡内先生：你放镍币，我放银币。谁先放了三个相加等于15的不同数字，谁就可得到案子上所有的钱。 
　


 e．让我们看一个典型的玩法。这位妇人先把一枚镍币放在7上。由于7已被放上，其他人就不能再放了。对其它数字也是如此。 
　

　
 f．设盘者把一枚银币放在8上。 
　 

 g．妇人下一次将把镍币放在2上，这样再放一次6，三个数字相加为15，就可以赢了。 
　 

 h．但设盘者把一枚银币放在6上，破坏了她的打算。下一次他放在1上就可以赢了。 
　 

 i．妇人看出了这一威胁，先把一枚镍币放在1上破坏设盘者的赢势。 
　 

 j．设盘者将下一枚银币放在4上时暗自得意。妇人看到他下一次放在5上就会赢，还得再破坏他。 
　 

 k．于是地把镍币放在5上。 
　 

 l．但设盘者放在3上也赢了。因为8+4+3=15。可怜的妇人输掉了4个硬币。 
　 

 m．镇长先生觉得这个游戏很有意思。经过长时间的观察，他断定设盘者利用了一种秘密系统，使他不可能输，除非他想输。 
　 

 n．镇长彻夜未眠想找出这一秘密系统。 
　 

 o．突然他跳下床来；
镇长：啊哈，我知道他有个系统，我知道他是怎么做的了。顾客要赢确实是不可能的。 
　 


 p．镇长有了什么顿悟?也许你也会发现如何与你的朋友玩此游戏而永处不败之地。 

 

划井游戏

　

解决此游戏的诀窍在于认识到这在数学上等同于划井游戏。令人惊讶的是，这一等式是基于10—shu，即最先在古中国发现的3—3数字魔方。

　

为欣赏这一魔方的奇妙．让我们列出三个不同数字(除0外)相加等于l5的表，一共有8组：

1+5+9=15

1+6+8=15

2+4+9=15

2+5+8=15

2+6+7=15

3+4+8=15

3+5+7=15

4+5+6=15

　

现在仔细观察独特的3—3数字魔方：

2 9 4

7 5 3

6 1 8

　

注意共有8行：3组横行，3组纵行，2组斜行。每一行确定的8组数字之和均为15。因此，每一个赢的组合都是魔方中的一横、一纵或一斜行。现在很容易看出，每次游艺比赛实际上相当于划井游戏。设盘者有一个划在卡片上的“路数”，他可以从桌子下看到，而其他人则看不到。虽然只有一个“路数”模式，但是可以旋转四个不同位置。每一个位置可以反映另外四种组台。每一种组合都是玩游戏的诀窍。

　

在进行15游戏时，如果玩得正确就不会输。如果两个对手都玩得正确，则游戏结果就是平局。然而设盘者的对手由于不知道是在玩划井游戏，因而处于十分不利的地位。这就使设盘者很容易设置对己有利的骗局。

　

为更准确地看出这一过程，让我们在图5—1中作游戏。第一步是步骤1，尽管设盘者后行，但他可以在第六步设置一个陷阱，以保证在第八步取胜。不管妇人在第七步时如何放置，任何会玩划井游戏的人在魔方的帮助下都不会输。

　





图5-1

　

同型(数学等式)是数学上最重要的概念之一。通过演化成已知的同型式，可以在很多情况下解决许多问题。随着数学越来越复杂，从发现同型而使其简化的意义上说，数学也同时变得更加统一了。例如，当著名的四色地图定理在1976年被证明时，一系列其它重要的推测也被同时证实，在其它数学分支中，已知这些推测是四色理论型的。

　

为加强对同型这一基本概念的理解，我们考虑下面的文字游戏。

　

有九行词：

两个玩游戏者依次划出一个词并标记好，首先划出含有相同字母的三个词者为胜者。也许玩上好多回你才会发现，这只不过也是在玩划井游戏。通过把词填入划井游戏板中的九个单元，可以很容易看出其同型性。仔细观察可发现，每一个有相同字母的一组都是一个直行：一横、一纵或一斜行。玩此文字游戏就像玩划井游戏或15游戏一样。

　



　

看看你能否想出用于此类游戏的其它四套词。这些词当然不只是英文词。而且，为何不能试一下图5—3所示的—组符号呢?

　



图5-3

　

玩此类游戏的最佳方法是在有空格的卡片上填入每一个数字、文字或符号。把这些卡片摆放在桌子上，两个游戏者依次画卡，直到决出胜者。在你完全了解了这些游戏的同型性后，考虑下面的网络游戏。如图5—4所示。

　



图5-4

　

有八个镇子被公路联接。两个游戏者分别用不同颜色的笔，依次把任何一条路涂上色。注意哪些路是通过哪些镇子。首先画出三条通过同一镇子者为胜者。乍一看这个游戏与我们分析过的游戏毫无相关联之处。实际上，这也是一个同型的划井游戏。

　

同型性在于图4所示的路的标号，其中每一排对应魔方中的几个单元。地图上的每一个镇子对应着魔方中三个单元组成的一个直行。与前相同，是一个完全的同型。所有会玩划井游戏的人也都会玩涂地图路线游戏。


┏━━┳━━┳━━┳━━┓
┃ 7 ┃ 12 ┃ 1 ┃ 14 ┃
┣━━╋━━╋━━╋━━┫
┃ 2 ┃ 13 ┃ 8 ┃ 11 ┃
┣━━╋━━╋━━╋━━┫
┃ 16 ┃ 3 ┃ 10 ┃ 5 ┃
┣━━╋━━╋━━╋━━┫
┃ 9 ┃ 6 ┃ 15 ┃ 4 ┃
┗━━┻━━┻━━┻━━┛

图5-5

　

图5—5显示出880个不同类型(不计循环和重复)之一的4—4魔方。魔数为34。这样一个方框可以指导玩34游戏吗?即游戏者依次从1至16选择4个数字(每个数字只能选一次)，首先将选出的数字相加为34者为胜者。这个游戏与在所示的魔方上玩4—4划井游戏同型吗?答案是否定的，你知道为什么吗?

　

有可能改变划井游戏的规则，在允许获得四个单元的模式而不是直行的情况下，在两个游戏之间建立起同型性吗?I

http://fos.ujs.edu.cn/jsfc/gblys.php (数学家郭柏灵)

http://jpk.whut.edu.cn/web20-2004/sucaiku/GaiLvLun/History/html/03.htm (数学家许宝騄)

分配家务 

 


 a．布斯特·琼斯先生和夫人刚刚结婚，每人都有稳定的工作，于是他们说好分担家务劳动。 
　


 b．为公平地分担家务，夫妇俩把每星期在寓所中要做的家务列成表。
布斯特：亲爱的，我查对了一半的项目。这些是归你做的家务。 
　

　
 c．珍妮特：对不起，布斯特，我认为你分配得不公平，你把所有的脏活留给我做，而你做的都是容易的活。 
　

　
 d．于是，琼斯夫人拿过表格标出了她想要做的活儿，但布斯特不同意。
珍妮特：如果你要我做所有这些活，你就不是我的男人。 
　


 e．正在他们争吵时，门铃响了，来人是琼斯的母亲史密斯夫人。
史密斯夫人：你们小俩口在吵什么呀?我一出电梯就听见你们的争吵声了。 
　

　
 f．母亲听了布斯特和他夫人的解释，突然笑了。
史密斯夫人：我想出一个绝好的办法。我告诉你们一个分配家务的办法，你们俩都会完全满意。 
　 

 g．史密斯夫人：你们把这张表一撕两半，你们中的一个人可以先选其中的任何一半，但这一半给另一个人，而第一个挑选的人则拿到他或她原先不想要的那一半。这个办法简单吗? 
　 

 h．但当一年后母亲也搬到这个寓所住时，事情就没那么简单了。她答应承担1/3的家务。但在三人之间如何分配才算公平呢?你能提出办法吗? 

 

公平的分配

　

已经得到答案的公平分配问题通常体现在如何在两人之间分蛋糕，而使每人都满意。尚未回答的问题是，如何在三人之间分而使每人都满意地得到1/3的蛋糕。

　

把一块蛋糕公平地分成三份的办法可以这样：一个人手持一把大刀缓慢地在蛋糕上移动。蛋糕可以是任何形状，但刀的移动必须是从零逐渐增至最大量。当任何一人认为刀的位置切下第一块蛋糕已有1/3时，就喊“切”。那么就在此处切下，喊切的人就得到切下的这块。如果有两个或三个人同时喊“切”，则切下的这块可以给其中任何人。

　

剩下的两个人当然认为至少还剩有2/3的蛋糕，问题可依前述办法逐次解决：一人切，一人选，蛋糕可公平地分开。

　

这种办法可以变换至n个人。当刀在蛋糕上移动时，第一个喊“切”的人得到第一块或任意给一个同时喊切的人。接下来在剩下的n-1个人中重复此过程，这样一直进行到只剩下两个人。最后这块蛋糕可以用前述办法分，或者如果你喜欢，也可以用移动刀的办法。这一办法是应用数学归纳法证明的一个极佳的例子。很容易看出，用此算法分配n个参加者的家务，可以使每人都获得公平的一份。

　

剑桥大学数学家约翰·康维研究了当参加者对其满意程度要求更高时的公平分配问题。是否有这样一种程序，使每个人都确信别人都没有他或她得到的多，而不仅是认为至少得到了公平的一份呢?你思考一下就会看出，如果有三个或三个以上的人，给出的算法不能保证这一点。康维和其他数学家发现了只有三个人时的解决办法，但到目前为止，对四个或四个人以上的情况尚未有答案。I

http://baike.baidu.com/lemma-php/dispose/view.php/140263.htm 多普�

弯曲杂技 

 


 a．在一个中世纪教堂的塔上有两根无价的古钟绳。绳子穿过高高的天花板的小孔，两个孔相距25厘米，而且大小恰能让绳子通过。 
　


 b．托尼是个杂技演员，后来做了窃贼。他想把两根绳子割下偷走，而且想尽可能割得长一些。 
　

　
 c．托尼：我该怎么办?我没法爬到房顶上去，因为通向房顶的门被紧锁着。 
　

　
 d．托尼：我必须爬到绳子上割得越高越好。但天花板这么高，即使就只割下1/3，我掉下来也得摔断腿。 
　


 e．托尼想了好久，终于想出了几乎可以割下所有绳子的办法。如果是你，你该怎么办呢? 
　

　
 f．托尼的办法确实很聪明。首先，他把两根绳子拴在一起，然后爬到一根绳子的顶端。假设这根绳子为A绳。 
　 

 g．当他爬到顶端时，他在低于天花板半米处割断B绳，把剩下的一段系一个圈。 
　 

 h．然后，托尼把一只胳膊套在绳圈上悬住身体，紧贴着天花板割断A绳，且把住不让其落下。然后再把A绳穿过绳圈并拉下，使两绳的打结端到达顶部。 
　 

 i．现在他可以沿着两根绳滑下，再把绳子从绳圈中拉出。这样也窃去了所有的A绳和几乎大部分的B绳。你也能做到吗? 

 

绳子游戏及其它

　

由于这个谜题没有严格的限制，因此不止有一个办法。上述给出的办法也许是最实用的，但你也许能想出许多窃贼可用的办法，而且可能比给出的这个更好。

　

例如，窃贼可在B绳顶端打一个缩结，如图5—6所示。悬在B绳上，割断A绳使其落下，然后在X处割断缩结的中间一股，正象所有攀登者都知道的那样，当他沿B绳滑下时，绳结不会松开。晃动B绳，缩结就会松开，窃贼就得到除顶端一小部分外的大部分B绳。

　



图5-6

　

另一种可能的办法：窃贼爬至A绳顶端，用一只手抓住B绳，把重量悬在A绳上。然后用刀在A绳顶端将其割损，直至感到其即将断裂，再把A、B两绳拴在一起，把身体悬在两根绳上，同时用割A绳的办法割损B绳。这两根绳在他沿绳滑下时可承担他的重量。他落地后，猛拉绳子，即使其从顶端断开。

　

第三种办法是：假设天花板上的小孔足够大，首先，窃贼把A、B两绳在底端拴好，他爬上A绳，在顶端把B绳割断，然后将其一端穿过小孔到达A绳孔并拉下，使被切端接近地板，两绳打结端接近B绳孔顶处，现在他可以抓住B绳和原来在底端而现在B绳孔下的A绳。当他悬在两根绳上时，他在顶端A绳孔下将A绳割断，然后沿两根绳滑下，最后把绳子拉下即可。

　

在上述办法中还有一个聪明的作法，两根绳还是在底端拴在一起，窃贼爬上A绳，割断B绳，向上穿过B孔再向下穿过A绳，割断B绳，向上穿过B孔再向下穿过A孔，把此端拴牢在B绳上，如图5—7所示。窃贼换悬到B绳上，割断A绳，将被切端拴在绳圈上，然后沿B绳滑下。现在他只要拉A绳，B绳就会从绳圈中滑出，两根绳就都从天花板上被拉下。

　



图5-7

　

还有一种不同的办法。窃贼爬上A绳，在B绳顶端系一个绳圈，他悬在绳圈上，把A绳割断，将被切端向上穿过小孔，再向下穿过B绳孔，拴在绳圈上。他悬在两根绳上，在顶端绳圈之上把B绳割断，沿两根绳滑下，拉B绳即可得到所有的两根绳子。

　

某些办法无疑会把钟弄响，窃贼会被抓住。一种原始但很实用的办法是，窃贼在悬在绳圈之前轻拉B绳就可以避免弄响B钟。当然，他在先爬上A绳时，也得轻拉A绳。

　

一些传统的程序谜题与利用两端有吊篮，穿过滑轮的长绳过河问题类似。这里有一个路易斯·卡罗尔特别喜爱的问题。

　

一位女王和他的儿子、女儿被囚禁在高塔的顶楼里，窗外有一个带有绳子的滑轮。绳子的两端各有一个吊篮，篮子的重量相同。窗外的一个是空的，另一个在地上的装有30公斤重的石头，石头是用来称重的。

　

滑轮上有足够的摩擦力，任何在篮中被往下放的人，如果其体重不超过另一篮重6公斤，就都是安全的。如果超过6公斤，他们就会以极快的速度撞到地面而受伤。当然，当一个篮子下降时，另一个篮子就朝着窗户上升。

　

女王的体重为48公斤，其女儿为42公斤，儿子为36公斤。用什么最简单的办法——简单意味着用最少的步数——使他们都安全到达地面?篮子足够大，可以载两个人或一个人加上那些石头。没有人能帮助他们出逃，也没有人能帮他们拉绳子，或者说，滑轮只能依靠重量差运行。

　

通过演示，最简单的办法可以很容易找到。我们可以把重量数写在分开的卡片上，然后上下移动。要使三人都到达地面至少要用9步。作法如下：

1．儿子下，石头上；

2．女儿下，儿子上；

3．石头下；

4．女王下，石头和女儿上；

5．石头下；

6．儿子下，石头上；

7．石头下；

8．女儿下，儿子上；

9．儿子下，石头上。

　

在有动物须靠人的帮助才能爬进或爬出篮子时，这类问题会变得更复杂。路易斯·卡罗尔提出如下设想：除了女王，儿子，女儿和石头外，塔顶上还有一头重24公斤的猪。重量差要求不变，但现在必须有人在两端把猪放进或拉出篮子。

　

试试看，你能否只用12步就解决问题。注意，在这两个问题中，最后一个走出篮子的人必须快速离开，否则装满石头的另一个篮子会砸到她的头上。I

http://b.noyes.com.cn/lemma-php/dispose/view.php/126361.htm 波莱�

小岛撞机 

 


 a．奥维尔把汽车停在一个小湖边上。
奥维尔：这里是操纵我的遥控飞机模型的好地方。除了湖中央的小岛上有一棵大树外，此处没有树，也没有岩石。 
　


 b．奥维尔试着操纵着他的飞机绕着那棵树飞行，由于他没有调准距离，飞机撞在树上坠落到地面。 
　

　
 c．奥维尔非常沮丧，他想把那贵重的飞机捡回来，可是湖水很深，他不会游泳。他从汽车里找来一根绳子，绳子比湖面最宽的地方还要长几米，他却不知道怎样借助绳子过河。 
　

　
 d．奥维尔突然想出了一个办法。
奥维尔：我可以不游泳，马上就把飞机捡回来。
奥维尔想出了什么办法呢? 

 

顶替游泳

　

奥维尔用巧妙的方法捡回了他的飞机模型。他将长绳的一头系在湖边汽车前部的保险杠上，拉着绳子的另一头绕着湖心树走了一周，然后拉紧绳子，将绳的这一头也系在保险杆上。在汽车和树之间系好的双根绳，非常牢靠。尽管奥维尔不会游泳，他可以下水沿着绳子，很快地通过湖面，到岛上捡回飞机。

　

另一个令人费解的例题，也是利用已知条件求解。如图5—8所示，小岛位于正方形湖的中央，有一个人也不会游泳，湖边有两条等长的木板，木板的长度比从湖边到小岛的距离略短，他有什么办法可以利用两条木板上岛?答案见图5—9。

　

 

图5-8

　



图5-9

　

我们假设多于两条木板的情况，使问题一般化。如果木板比前面使用过的要短，还可以架桥上岛吗?

　

如图5—10所示，使用三条木板架桥，你不会感觉困难，但是有许多人不见得能找到用五条或八条更短的的木板在水面上架桥的办法。

　



图5-10

　

用八条木板架桥的答案见图5—11。

　



图5-11

　

我们把问题抽象化，假定小岛为一圆点，每条木板各为一条直线，木板重叠部分为交点。这种方法就是利用一定数量的等长的木板求解的手段。答案见图5—12。如果正方形湖的边长为2个单位，有足够数量的木板，那么每条木板最短应为√2/2，利用勾股定理可以证明这一答案。

　



图5-12

　

你也许有兴趣研究以上类似的问题，从正方形推广到圆和正多边形。I

http://www.oursci.org/ency/people/012.htm (数学家故事·牛顿 )

一个可爱的懒汉 

 


 a．杰克幻想成为世界上最可爱的人，他计划在华盛顿特区租一套公寓。 
　


 b．杰克有三个女朋友都居住在市内，他想让自己的住所到三个女朋友的住所一样近。 
　

　
 c．杰克在市区地图上标出了女朋友们住所的位置。
杰克：现在我看清了，要我选择自己的住所并非易事。 
　 
 
 d．杰克选来选去，准备放弃他的计划。
杰克：啊哈!我发现了一个简单方法，能够找到我要住的地方。 
　 
 
 e．杰克的好办法是，在他搬家之前，先取得女朋友们的同意。他找了一处，看起来很合理，只是在街区的东边。 
　 
 
 f．杰克：我住得离安妮塔和布妮近了，她们会投赞成票，肯迪也许会反对，因为离她远了。我得站在多数人一边。 
　 
 
 g．只要多数人同意，杰克就决定搬家，有人反对，他就再搬一次，直到没有人反对了，他才决定住下。 
　 
 
 h．很幸运，杰克能够在这个合适的地点租一套公寓了。可是一星期之后，布妮搬到七街区以外的地方去了。 
　

　
 i．杰克：我的天呀!现在我又得重搬家了。但是，当杰克查看了地图以后，他惊奇地发现，他无须再搬一次家。你能够解释这是为什么吗? 

 

加权法

　

布妮向东搬了七个街区，她的新住所对杰克没有影响。的确，不论她向东搬多远，杰克现在的住所都处在最理想的位置上。

　

如果你在格纸上画出多于三点的情况，你就能够欣赏出这种加权法的效能了。你会发现这种方法可以很快地确定点X的位置，点X到所有点的距离为最小，然而这些点的数量是未知数。当点的数量为偶数时，不能满足要求。为什么?答案是，如果点的数量为偶数的相关加权才有可能。这种情况无论何时发生，计算都会停止。

　

请你讨论下列有关问题：

1．你能找出一种适用于点数为偶数的方法吗?

2．一点或若干点的移动，在什么情况下不影响点X的确定?

3．如果考虑街的宽度，加权法会受影响吗?

4．如果包括点X，不限制街宽，会有影响吗?

5．如果在平面上由直的街道组成格子，并且给出方向，结果怎样?

6．如果街道是曲折的或弧线形的，结果怎样?

　

虽然加权法适用于任何种类的网格，但它不适用于未确定的平面，因为路程不再限于一定的途径。一般的问题是，在一平面上有几个点，确定点X，使之到所有点的直线距离为最小。例如，假设有三个城市，A、B和C，机场的位置在何处，才能使机场到三个城市的距离最近?这显然与乘汽车的要求不同，换句话说，确定理想的机场位置与确定汽车站位置不同。

　

用几何学的方法不容易得到证明。答案是，从机场到三个城市的三条航线之间的三个夹角均为120°。如果有四个城市，分别作为一个凸四边形的顶点，那么机场应位于两条对角线的交点处，这不难证明。当给出若干点时，确定点X的位置就比较困难了。

　

一种简单的仪器(权重仪)能够迅速地确定平面上点X相对任意三点的位置吗?假设一张桌子的表面为一平面，我们在桌面的三点上钻三个孔，将三根绳头系在一起，三根绳的另一头各自穿过一个孔，每根绳头上分别挂上等量重的砝码。绳子上等量重的砝码相当于居民们在三点的三个等量加权，点X的位置可由桌面上绳子的结点表示出来。这种证明方法，采用了数学结构问题与物理模型的同型性。

　

现在我们来解答我们的难题。假设用A、B、C三点代表原先三个女孩居住的位置，并且假定这三点分别代表学生宿舍楼，有20名学生住在A楼，30名学生住在B楼，40名学生住在C楼，所有的学生同在一所学校上学，这所学校应该建在什么位置，才能使90名学生步行上学的距离为最近?

　

如果学生们上学的路线是确定的，我们可以像前题一样采用加权法，允许每个学生加权。这样能够迅速地确定学校应处的位置。假如三座宿舍楼在一个平面上，学生们可以走直线去上学(就像乡村的孩子们可以穿过田野去上学那样)，我们能够利用权重仪得到答案吗?
I

　

是的，可以。我们以不等重的砝码代替等量重砝码，不等重的砝码质量分别与每座宿舍楼中学生的数量成正比，绳子的结点将表示出学校所在的位置。

　

如果一座宿舍楼中学生人数比其他两座的总和还多，权重仪是否还能工作?比如：A楼里有20名学生，B楼里有30名，C楼里有100名。回答是肯定的，权重仪仍然工作。相当于100名学生的那个砝码将拉动绳子，使绳子的结点位于C孔上。它证明学校的位置应在C点。

　

多于三点的情况，权重仪还正常工作吗?是的。它也同样适用于几个点不是凸多边形的顶点的一般情况。但是，如有摩擦力，多于三点，权重仪将不再有效地工作。

　

图解理论是一个新的数学分支，它与被线段连接顶点的理论有关。有的图解理论采用了选择最短路径的方法，便使问题得以解决。请看下面的一个著名例题。

　

在一个平面上有几个点，把它们用直线连接起来，并且使这些线段的总长度尽可能地短，我们在平面上不再增加新点，这样的一个网络被称为“最小排列树”。你能通过这种网络发明一种算法吗?

　

“克鲁斯卡尔规则”(以第一个发明者J·B·克鲁斯卡尔命名)建立了以下最小网络。

　

在每两点之间量出距离，然后将这些线段长度逐一相加，假定最短的线段为1，第二短的为2，以此类推。如果有两条线段等长，则只加在第一条线段上。在被线段1分开的两点间画一直线，对于线段2，3，4，5……以此类推。不再增加直线，形成一个封闭系统，即一个连接所有点的最小排列树。

　

这种排列树的性质很有趣。例如，在某点上相交的直线，在该点上不多于五条。

　

最小排列树法不要求连接n点的连线为最短，但限制增加新顶点。如果允许增加顶点，连线可能会更短。以一个单位边长的正方形为例，最小排列树包括正方形的任意三边(图5—13中)。假设我们被允许增加新顶点，请问连接四个顶点的连线能否小于3？

　



图5-13

　

多数人认为最短连线应为正方形的两条对角线之和(图5—13中)，但这不对。图5—13右给出了答案。正方形两条对角线长度为2√2=2.82，而图5—13右所计算的长度为1+√3=2.73，短于两条对角线之和。

　

如果允许增加新顶点，我们所知道的“斯坦尔”问题就是在平面上寻求连接n点距离为最短的一般问题。这个问题的解决虽然是针对具体的问题，但我们不知道在平面上连接几点的“最小斯坦尔树法”确定斯坦尔点(新顶点)的有效算法。这个问题在工程中有广泛的应用，是用电子计算机寻求铁路网、飞机航线、电话线和其他形式的游览和通讯线路的最佳手段。I

http://www.ahnw.gov.cn/xxg/bxmc/qxkp/m-4.htm 沃克爵士和南方涛动 英国数学�