a、b、c都是正实数,求证:【a/(b+c)】+【b/(a+c)】+【c/(a+b)】≥3/2。
求证:原式↔(没有“等价于”符号我就用这个符号代替好了)【a/(b+c)-(1/2)】+【b/(a+c)-(1/2)】+【c/(a+b)-(1/2)】≥0↔【(2a-b-c)/2(b+c)】+【(2b-a-c)/2(a+c)】+【(2c-a-b)/2(a+b)】≥0↔{【(a-b)+(a-c)】/2(b+c)}+{【(b-a)+(b-c)】/2(a+c)} +{【(c-a)+(c-b)】/2(a+b)}≥0↔(a-b){【1/(2b+2c)-1/(2a+2c)】}+(a-c){【1/(2b+2c)-1/(2a+2b)】}+(b-c){【1/(2a+2c)-1/(2a+2b)】}≥0↔(a-b)²{1/【2(b+c)(a+c)】}+(a-c)²{1/【2(b+c)(a+b)】}+(b-c)²{1/【2(a+c)(a+b)】}≥0,考虑到a、b和c都是正实数,上式显然成立,原式得证。
@wq8231其实你看一下,第一个步骤就是把原来拧成一块的式子打散,每个独立的项中又加入了常数,以此打破僵局(对于这种涉及轮替字母的题目,这是第一步,我称之为“活化”);后面的思想就很简单了,对于分式的处理,无非是把分子化为一致或者是把分母化为一致,直到最后出现一个显然成立的式子(公理或者定理)。看到这道题的时候,你就应该立即想到,用基本不等式是不可能的,因为原式中几乎没有以积的形式出现的内容,而且并没有告诉你某两个东西的积或者和是定值,所以此时要想到把原式化成一个公理来处理。