函数f（k）是定义在N上取值的递增函数，且满足条件f（f（k））=3k，试求f（1）+f（9）+f（96）之值。
解：∵f（f（k））=3k，∴f（f（f（k）））=f（3k）
又f（f（f（k）））=3f（k），∴f（3k）=3f（k）
若f（1）=1，则由条件f（f（k））=3k，得f（1）=3，矛盾。
∴f（1）=a＞1，但f（f（1））=f（a）=3。
由f（k）递增，得3=f（a）＞f（1），∴f（1）=2，∴f（f（1））=2。
∵f（f（1））=3，∴f（2）=3，f（3）=f（f（2））=3×2=6，
f（6）=3f（2）=9，f（9）=3f（3）=18，f（18）=3f（6）=27，f（27）=54，f（54）=81。
∵27到54增加了27个数，54到81增加了27个数，且f（k）递增，
∴f（28）=55，f（29）=56，f（30）=57，f（31）=58，f（32）=59，
而f（96）=f（3×32）=3f（32）=3×59=177，
∴f（1）+f（9）+f（96）=2+18+177=197。

（1992年数学高考题）求91^92除以100的余数。
解：91^92=（100-9）^92=C（下标92，上标0）100^92+C（下标92，上标1）（100^91）·（-9）+...+C（下标92，上标91）100（-9）^91+C（下标92，上标92）（-9）^92=100n+9^92
9^92=（10-1）^92=C（下标92，上标0）10^92-C（下标92，上标1）10^91+...+C（下标92，上标90）·10^2-C（下标92，上标91）·10+1=100m-920+1
∴91^92=100（m+n）-919，除100的余数为81。

你尽力了，才有资格说自己的运气不好。

@绮央_ 看看这儿的题吧……不懂题意的可以问哦！这样能培养出你不怕未知的东西的精神……

@一往而深mmm

看到了吧？这种函数图象，就是某一段曲线的不断重复……如果我会做动画，就能告诉你尺子为什么能演示出函数的周期性了……

今天，我们来讲集合。所谓的集合，是指一堆特定东西聚集后形成的东西。集合用大括号表示，其表示方法有三种，一种是描述法，比如{x│x＞1}，这种表示方法中要注意的是，如果是关于某一个参数（如x）的集合，则集合中要先写出那个参数，然后划条竖线，其后才是其范围；还有一种是列举法，比如{1，2}表示1和2形成的集合；最后一种是韦恩图，这个很简单，就是画个圈，在圈里写出集合里的东西。
集合中的东西，叫作元素，比如1和2都是{1，2}中的元素；但如果集合中的一个元素或者一部分元素组成了新的集合，则我们称之为该集合的子集，比如{1}和{2}以及{1，2}都是{1，2}的子集，任何元素都可以被视为它本身的子集，除了它本身之外的其他子集，叫作真子集，比如∅（这个叫作空集，代表其内没有任何元素的集合）、{1}和{2}都是{1，2}的真子集。
我们这里所看到的的集合，都是数集，但实际上，集合中的元素，不一定是数字，{太平洋，大西洋}就不是个数集；另外，集合的元素，要符合特征性，如果集合的内容是关于某个特征的话，比如x＞1就是个特征。{有六瓣花瓣的花}算是一个集合，但是{高个子}不是一个集合，因为这里没有对高个子的明确定义（也许在模糊数学中，这样的集合也是可以被允许的，模糊数学还是挺有趣的，你可以查百度百科的），{身高超过1.7米的中学生}才勉强算得上集合。
集合有互异性，即其内元素无法重复，不存在集合{1，1}这种写法的；集合有无序性，即{1，2}与{2，1}的含义都是一样的……集合之间的运算，最重要的是交集（符号是∩）和并集（符号是∪），交集就是求两个集合的公共元素，比如{1，2}∩{2，3}={2}，并集就是求两个集合的元素总和，比如{2，10}∪{1，2，11}={1，2，10，11}（要注意集合的互异性）……集合之间的运算，也是满足交换律和结合律的，即A∩B=B∩A，A∪B=B∪A，A∩B∩C=A∩（B∩C），A∪B∪C=A∪（B∪C）。
与集合相关的一个概念叫作区间，与集合不同的是，区间往往表示一段连续的范围，区间包括开区间、闭区间和半开半闭区间，开区间就是不包括端点的区间，表示为（a，b）（含义是这个数字大于a但小于b）；而闭区间是包括端点的区间，表示为【a，b】（含义是这个数字大于或者等于a但小于或者等于b）；而半开半闭区间则是一端包括端点而另一端不包括端点的，表示为【a，b）（含义是这个数字大于等于a但小于b） 或者（a，b】（含义是这个数字大于a但小于等于b）。这里有个要注意的细节就是b＞a，也就是区间中右边的数字要大于左边的数字。
数集有时是可以转化为区间的，比如{x│x＞1}就可以表示为（1，＋∞）（＋∞表示正无穷，同理，-∞表示负无穷），{x│0＜x＜1}则可以表示为（0，1），{x│-1＜x≤1}则可以表示为（-1，1】。

现在，我们来玩个游戏吧！你们每个人想出一个数列，使其满足an+a（n+1）=a（n+2）（n≥1且n∈Z），你们写下这个数列的前十项，告诉我第九项的数字，我就猜第十项的数字。@美人提着裙子 @St义 @wq8231

@longlongyan

用最直接的思路，a+b=1≥2根号（ab），即1/4≥ab，（1/a）+（1/b）=（a+b）/ab=1/ab，由于ab≤1/4，故1/ab≥4。这里要注意的是不等式在移项中要注意的问题，一般来说，如果涉及的都是正数，移项是没关系的，不等号方向不变，如1≥2根号（ab）可以通过移项后平方变为1/4≥ab，但是如果涉及到了负数，不等号方向是要改变的，比如1＞-x就要变成-1＜x（顺一点的写法是x＞-1）了，两边同时乘以了（-1）就意味着符号要改变了。

@绮央_
水熊虫的生命力：
冷冻：-200摄氏度之下存活若干天，-272摄氏度之下存活2分钟。
高温：181度高温下存活2分钟。
放射能：在5700格雷强度的放射线下存活良好。(1格雷放射线相当于5000台胸透仪的放射强度，10~20格雷强度的放射线就能轻易杀死人类或者地球上大部分的动物。)
风干：完全风干千年后，泡点水马上活过来。【有疑】
真空：在真空中依然能存活下来。
压力：可以经受住600兆帕斯的压力，最深的马里亚纳海沟水压的6倍也无法把它压扁。生命力研究19世纪20年代，德国佛莱堡大学的拉姆把处在隐生现象的水熊虫分别放在150度(只有厌氧菌跟水熊虫才能处在如此高温下)和零下200度(接近绝对温度)的环境，结果发现不论在什么情况下，只要恢复常温并给予水分，水熊虫就会复活并再度开始缓慢地步行。能承受5.7万仑琴的X射线辐射(500伦琴可杀死人类)，原子弹的辐射对它无效。日本神奈川大学科学家在研究中发现，水熊虫能身处6亿帕斯卡的压力下而安然无恙，这一压力为大气压的6000倍，是绝大多数生物、包括细菌所能承受的压力极限的两倍。有研究报告指出，把收藏在博物馆达120年的苔藓类标本添加水分后，其中的水熊虫又恢复活动状态。水熊虫这种生物比蟑螂还强，科学家曾经在盐矿中发现已冬眠了数百年的水熊虫，给予水分和营养后，能够醒过来并继续正常的生理活动。

@绮央_ 来吃西瓜吧！

【少年，你已经赢了！】今天上午，高考前20分钟，在四川宜宾一考点，一女生因痛经在考场内昏迷。这时，同考场一男生发现后，立即抱起昏迷女生，往校外跑去送医。然后，男生满头大汗地返回考场。昏倒女生打完一针后坚持回去考试，只迟到了两分钟。——少年，在名为人生的考场，你已经赢了！

@longlongyan 就这下角的…想着就后悔。