aleph_0就是自然数或者代数数的个数嘛，一句话就能理解的。。
考虑到我在策略贴中提及的投票问题，数数还是有意义的

阿列夫零是最小的无穷基数，是自然数集N（无穷集）的基数，但阿列夫零不是自然数集N中的元素，它比自然数集N中的每一个元素都大，是最小的无穷大。
比阿列夫零更小的基数都是有穷基数，也就是自然数，例如1，2等等。我主帖证明的最大自然数M当然是有穷基数了，是自然数集N中的元素，M比阿列夫零小。M=｛0,1,2,…，M-1｝，｛0,1,2,…，M-1｝是有穷集。


无穷大∞既不是自然数集N中的元素，也不是实数集R中的元素，而M却的的确确是N中的元素。
自然数集N中存在最大数M，就直接证明了自然数集N中存在“M个元素”，就这么简单，没有任何难解之处。当然，这里我没把0放入自然数集N中，N=｛1,2,3，…，M｝。
H=｛1,2,3｝，3是H中的最大数，就直接证明了H中存在“3个元素”，就这么简单，没有任何难解之处。


证明：1 是最大的正整数。
假设最大的正整数不是 1 ，是 a ，则必有 a > 1 。
于是有 a^2 > a ，即 a^2 是一个比 a 更大的正整数，与 a 的最大性矛盾。
因此 1 是最大的正整数。
其实是一样的。

小弟在美国加州，中原标准时间减３个小时（夏天减４个小时），然后再日夜颠倒就是我的时间．

楼主自己已经多次宣称”自然数集不包含无穷大”，在他改口之前，我们可以暂时相信楼主讲的是”潜无穷”、是”自然数集”，而不是”实无穷”、也不是”超自然数集”－－这样我们所需要分析的范围就小很多了．
”潜无穷”对於无穷大的看法是：如果我们需要历经无穷长的时间、透过无穷次的步骤、处理无穷多的元素，然后才能找到”无穷大”的话，那麼就等於我们永远也找不到”无穷大”．
换句话说，潜无穷否认无穷广、无穷多、无穷久的操作步骤．也就是这个原因，所以我们不将”无穷大”视为一个存在的数字、我们也不将它放进自然数集之中－－这个结论也受到楼主多次肯定．
现在我们回头看看楼主的证明过程：
＜１＞楼主在他别的帖子里面，曾经说过：”一个一个地移除自然数集中的元素，直到剩下来的元素都没有后继数、这种没有后继数的数字又称作〔最大数〕”．
＜２＞楼主在本帖则是这麼说：”一次性地将有后继数的所有元素从自然数集中移除，这样剩下来的元素都没有后继数、这种没有后继数的数字又称作〔最大数〕”
各位有没有发现楼主语言上的混水摸鱼啊？前面已经有人向楼主质问说这个〔最大数〕是不是一个定值（小弟的４０楼就是一个例子），而楼主根本不敢回答这个问题．
如果〔最大数〕不是一个定值，那麼楼主上面的＜１＞＜２＞两种证明方法全部失效，请看：
＜１＞既然〔最大数〕不是一个定值，请问你需要多少次的步骤，才能够将〔最大数〕以外的元素一个一个地从自然数集中排除？显然这个操作步骤次数也不是一个定值，是不是？就潜无穷的观点来看，一个需要无穷多次操作步骤的过程，就等於无法完成，是不是？所以说楼主的第１种证明方法根本是无法完成的．
＜２＞既然〔最大数〕不是一个定值，那麼请问”除了〔最大数〕以外的所有元素”这句话有何定义？我们又要如何才能将一个没有定义的子集从自然数集之中删除掉呢？势必又要动用到无穷多次的比较步骤才能满足条件，是不是？
如果你告诉我说”除了５以外的所有自然数”或是”除了９９９以外的所有自然数”，那这些话都还有定义、至少还能够代表自然数集中的一个子集．．．然而今天楼主说”除了Ｘ以外的所有自然数，Ｘ不是一个定值”，请问这句话有何意义？仔细想想就知道这个子集的成员范围具有无穷多种的可能性，不是吗？更有甚者，楼主进一步地要求我们将这个根本不确定的子集从自然数集移走，最后剩下的元素就是Ｘ－－这是什麼循环论证？
所以说了，在潜无穷的概念之下，楼主证明过程中的几个步骤都是无法完成的．事实上，楼主只是寄望利用语言上的混水摸鱼来欺骗世人；当你问他〔最大数〕是不是一个定值的时候，他肯定回避你的质问；但是当他宣称”将最大数以外的元素通通移除时”，他又希望你误以为〔最大数〕是一个定值，进而以为”最大数以外的元素”是一个定义清楚明确、可以操作的子集．
当然，以上分析仅限於潜无穷的范围，如果哪一天楼主改口要谈实无穷了、想谈〔超自然数集〕（hyperinterger）了，那麼我们再来解释另外一套（事实上小弟前面也都说过了）．
最怕的是楼主否认一切大家常用的数学公设，却又打死不说出自己的公设系统与定义．这种”斩断一切沟通管道、你讲中文我就偏偏讲德文”的鸡同鸭讲策略，正是楼主在被人证伪之后的挽尊手法－－反正你们的公设系统老子都不用，老子最后躲到自己的定义里面 high ，而且我偏偏不交代自己的公设系统、让你们搞不清楚我在自 high 啥．．．这样楼主就无敌了．

你看我这样写行不行哈 ：
如果把单元素集的基数记作1 = { 0 }
两个元素的**的基数记作2 = { 0 ，1 }
…… …… …… …… …… ……
M个元素的**的基数记作M = { 0 ，1 ，2 ，…… ，M-1 }
M+1个元素的**的基数记作M+1 = { 0 ，1 ，2 ，…… ，M-1 ，M }
最后这东东是不是挺像自然数集 ？~ M 是自然数集的最大数 ，M+1 就是自然数集的基数 也就是 阿列夫零 . 呵呵 不知道对你的思维模拟的对不对 ~

你给我贴出来的抄来的数学知识若是贴得再完整些 你会明明白白的发现和你后面的你自己结论有截然想反的论述 ~ 若是你并不认同那些你给我贴出的知识 你就应该把你认为对的一整套理论体系都贴出来 . 否者我只能去找你没贴出的后半部分 结果发现后半部分和你说的你的结论截然相反 …… 我总不能明明知道理论体系已然崩塌 还东拼西凑的拿来用吧 ？！有点晕 ……

我在87楼的帖子已讲到这个问题了，下面是我在87楼的帖子：
“主帖证明，自然数集N=｛0，1，2，…，M｝，M是有穷基数。
由于现有教材都是无穷数学体系，因此，集盒N=｛0，1，2，…，M｝的基数是有穷基数M+1，M+1是一个自然数，M+1=｛0，1，2，…，M｝。而有穷集N是否定存在M+1的。”
现有教材都是无穷数学体系，认为M+1=｛0，1，2，…，M｝是一个有穷集，但是按有穷数学体系这个M+1是不允许存在的。这表明，数学对象不可随意创造，否则就会产生矛盾，例如罗素悖论，康托尔悖论。这说明，现有无穷数学体系的基数定义和用**表示自然数方法等是存在问题的，不可用它来套用到有穷数学体系，有穷数学体系有自己的独有的一套规则，否则怎么可能存在有穷数学呢？
以前我不用基数来界定有穷集与无穷集，就出于这种考虑。但为了理解有穷集上的方便，才用现有无穷数学体系的基数概念来说明。
在有穷数学体系中，集盒的基数与自然数是两个不同的概念，≥M+1的基数都不是自然数，例如，实数集R的基数就不是自然数，≤M的基数又同时是自然数，例如，0，1，2等等都既是自然数又是基数。
在有穷数学体系中，运算规则都不同于无穷数学体系，极大地缩小限制了运算的范围。例如，最大自然数M不允许M+1运算，类似于量子物理学。


你的想法带有太多个人的前提了。不要提什么潜无穷实无穷，也不要提什么Peano公理后继数。
楼主说的自然数就是一堆按顺序排列的数，构造方式不明，“顺序/大小”是主要的性质，加减法什么的都先不用管，他想以此性质证明自然数的个数早已被确定为有限个。

思维定势在起作用啦。有穷数学与无穷数学是相悖的，用无穷数学体系那套思维方式去思考有穷数学体系中的东西，不迷惑不晕就不正常了，就好比用牛顿力学体系去思考量子力学一样。

你的确比asmobia聪明的不知几百倍，能理解我说的是什么（相对于asmobia）。而asmobia不知道我帖子说的是什么，就乱放空炮。

麻烦尽快回复我之前的……

那不叫定义，那叫特点描述。反应不用这麽夸张吧……
楼主的证明的确有问题，我专门来帮他找漏洞的。
楼主的描述？：
1. 自然数早已存在
2. 自然数有大小
3. 自然数按大小从小到大排列只有唯一的排列顺序
然后就来证明自然数有限，其实也正是想证明一切都是有限的。

对不起，我反应是夸张了，但我是针对楼主而不是针对您．
楼主的问题在於：
＜１＞楼主认为皮亚诺自然数公设、或是Ｎ－＞Ｎ＋１这自然数的递回定义，两者都不可信、都没有被证明．
＜２＞既然楼主不承认传统的定义，那麼吧友们当然想知道楼主心目中的定义到底是什麼．．．可是楼主会回答吗？铅笔兄您自己说说，楼主在本栋楼何时回答过别人的问题？
＜３＞您在１１４楼嘲笑楼主对於自然数集的”构造方式不明”，而楼主居然在１１６楼跳出来说你讲得很对！
我不明白楼主是真的蠢、还是已经无法自圆其说到了口不择言的地步？楼主的１１６楼等於承认在楼主的心目中”自然数集没有定义”－－那还证明个屁啊！？
是的，我反应过度了，但是下面请允许小弟模仿楼主的逻辑说一段话，请您过目之后再决定自己能否淡定．
以下采用楼主的逻辑说话：
＜Ａ＞首先，别跟老子谈自然数的传统定义与相关数学公设，那些都是狗屁、那些都没有被证明过．是的，楼主告诉我们数学公设（公定的假设）是需要经过证明的，就像阿拉伯数字２为什麼不倒过来写成Ｓ也都是有证明的－－不信可以去问楼主．
＜Ｂ＞好，至於你问我心目中的自然数要怎麼定义呢？嘿嘿，不告诉你．你连自然数的定义都不知道，那你就太弱了，老子正好可以嘲笑你一番．
＜Ｃ＞接下来，老子将１与２两个元素从自然数集中移除，自然数集就只剩下了元素Ｍ．所以依据肯定全称命题与否定特称命题的两边夹挤、再配合真值表、一阶逻辑正规化、ＺＦＣ**公理等等．．．我证明了自然数集里面只有１、２、Ｍ三个元素，哈哈！
＜Ｄ＞啥？你说４、５、６？？告诉你，那些数字都是Ｍ＋１，都是从　Ｍ－＞Ｍ＋１　这个未经证明的狗屁皮亚诺自然数公设所得来的，老子根本不信这一套，我呸．
＜Ｅ＞是是是，你当然会好奇我到底信哪一套，这你在Ｂ点不也已经问过了？告诉你，在这本栋楼里面，所有人问我问题我都不答，那你凭什麼要我给你特殊待遇呢？
＜Ｆ＞如果你真的想知道我是如何定义自然数的，很简单，去看１１４楼就可以．１１４楼说”自然数集的构造方式不明”，这句话真是太合我心了．
　　　你看我在前面４２楼不也引用孔子的话说：”中人以上，可以语上也；中人以下，不可以语上也”，这就是告诉你”道可道、非常道”、”色既是空、空既是色”、”寒蝉不知春秋”、”夏虫不可以语冰”．总之佛曰不可说、懂得人自然懂得．至於像 asmobia 那样从各种数学公设出发解释问题的人，就是歧途亡羊、舍本逐末、毫无慧根的傻二．
＜Ｇ＞总结以上，老子证明了自然数集只有三个元素１、２、Ｍ；我要去领奨了．