有理数的运算
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【教学结构】
由于负数的引入。使数的范围扩大到了有理数,这样对有理数运算的研究就成为我们要进行的主要课题。下面我们将逐一进行研究。
1.有理数的加法
有理数的加法法则是:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加,仍得这个数。
在有理数范围内,加法的交换律和结合律仍然成立。对三个以上的有理数相加,可以任意交换加数的位置,也可以把其中的几个数相加。
利用加法的运算律可以简便运算,除了小学已经知道的凑整、同分母先算外,还可以正、负数分别先算,互为相反数结合在一起后再相加等。如计算
2.有理数的减法
由于减法是加法的逆运算,如a-b=c就是已知两个数的和a与一个加数b,求另一个加数c的运算。因此,有理数的减法运算可以转化为加法去作,得到有理数的减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b), a-(-b)=a+b。
“-”号在小学时已经知道它是运算符号“减”,学习了正负数的概念后,“-”号又是性质符号“负”。
根据减法法则,对(-8)-(-7)+(-2)-(+1)可以转化为(-8)+(+7)+(-2)+(-1),象这种把加减统一写成加法的式子叫做有理数的代数和。上面(-8)+(+7)+(-2)+(-1)又可以写为-8+7-2-1叫做省略加号的代数和,即各个加号省略不写,每个数的括号也可以省略,读作“负8、正7、负2、负1的和”或“负8加7减2减1”。
运用加法交换律交换加数的位置时要连同前面的符号一起交换。如12-5+7应变为12+7-5,而不能变成12-7+5。
3.有理数的乘法
小学时我们已经学过正数的乘法,对于正数和负数相乘的意义,如2×(-3)可以看作是水库的水位下降记为负量。若每小时下降3cm,2个小时就下降了6cm,表示为-6cm,也就是说2×(-3)=-6。也就得到了有理数的乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数同0相乘,都得0。
对于多个有理数相乘,由有理数的乘法法则可以推出:几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正。即确定符号后把绝对值相乘。几个数相乘,有一个因数为0,积就为0。
在含有加减乘除的算式中,没有括号指明运算顺序时,要先算乘除,后算加减。
关于乘号的三种形式“×”,“·”,“省略不写”。对“·”和“省略不写”只能在适当的时候用。如“5×4”可以写成“(5)(4)”但不能写为“54”。“1× ”不能写成“1 ”。
另外,乘法的运算律(乘法交换律、乘法结合律、分配律)在有理数运算中仍然成立,并可以简便运算。在使用分配律时,乘时一定要带着符号乘。如
4.有理数的除法
我们知道,除法是乘法的逆运算,在a×b=c中,如果已知乘数c和一个因数b求另一个因数a,或已知乘数c和一个因数a求另一个因数b的运算都是除法。根据除法的这种含意,我们得到有理数的除法法则:
除以一个数等于乘上这个数的倒数。即a÷b=a× (b≠0)。
由上面可知,有理数的除法可以化成有理数的乘法,所以有理数的除法有与乘法类似的法则:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0。
小学时我们曾学过倒数的概念,在有理数范围内,我们也把乘积是1的两个数叫作互为倒数。如-2与- 互为倒数,因为-2×(- )=1。
由倒数的定义可知,一个正数的倒数仍是正数,一个负数的倒数仍是负数,0没有倒数。0为什么没有倒数呢?
0没有倒数的原因有两个:①若0能作除数,有 =b(a≠0),则有0×b=a,这样的b不存在。②若 =b(a=0),则有0×b=a,作为商b不唯一确定。所以0不能作除数,,也就没有倒数。
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