没必要搞这么复杂。戴德金分割隐含了对实数的要求：只要两个数可以任意趋近，就认为是同一个数。0.9999......和1当然可以任意趋近，但是就应当看成同一个数？我无法认同。

沙雕，有理数无理数定义都搞不清楚，赶快回家种土豆去吧

楼主的数学里，0.9..成一个变量了吗？

谁告诉你戴德金分割假设0.9循环是有理数了?要是需要假定是有理数，那戴德金分割还构造个p的实数。别说别的，你现在把证明里面假设了0.9循环是有理数的那步找出来?

实数域的连续性是错的？所以现代数学建立在啥上

这些人真的是沙雕，我不过是按照戴德金分割的一般定义来说的，戴德金分割对有理数的分割定义了所有实数，然后我说，你强行把它当有理数分割有错吗？
严格来说，你也可以同理对无理数进行戴德金分割以此确立有理数的区间范围。
这，有问题吗？
我只不过是顺着戴德金分割的说法说的。这并不是纠结的焦点。
如果严格来说，那些某某人说，实数在戴德金分割里有更深刻严谨定义，就是对有理数的戴德金分割定义了实数。
实数就是对有理数的戴德金分割。这看似深刻的一句话就是一个废话。
那些怼的人真是**的不轻，这个0.999...即使你从形式上看，它也不是无理数吧。那么，我们剩下的讨论只是它是不是有理数，这个逻辑思维还要我教？我也可以说，你不能事先把0.999...当做实数进行戴德金分割，进而剥夺了它作为非实数的存在。你又会说，那它是不是一个数？

我为什么在看戴德金分割法证明的时候，没有反驳第一组证明。
那是因为，从0.9999...这个形式来看，你说A是M的真子集我是认可的。
但是，如果你第二步严格证明了，M集合里的所有元素也在A，好，漂亮。
那么，A=M，这个逻辑关系是成立的。
但是，顺着它的证明发现了问题后，你就会，M是A的真子集根本证明不了。
那我们就不能用集合的广延性。
所以，我看了李永乐的证明，那就是个垃圾，这些≥，＞。⊆⊊ 。这些是不能乱用的。
严格来说，广延性的推导是单向的，不是双向的。A⊊M⇒A⊆M。是一个单向推出。
如果，严格说，那我们只可以说A⊆M。
但，戴德金分割法证明的关键在第二步，
你只要证明M⊆A就行了，或者M⊊A。
但，很显然证明者是想证明一个真子集。实际上，你不能证明它是真子集或者是子集。问题在于你找的任意数真的就是一个随意数，它不具有可比性！
这涉及到逻辑思维的严谨。

那些说集合具有广延性的人，其实它什么都没有说。
M⊆A。这个无论如何是戴德金分割法证明不了的。

以下是戴德金分割法证明:
0.999…的戴德金分割
A={x∈Q|x<0.999…}，
B={x∈Q|x≥0.999…}。
显然A∩B=∅，A∪B=Q。
1的戴德金分割
M={x∈Q|x<1}，
N={x∈Q|x≥1}。
显然M∩N=∅，M∪N=Q。
证明两种分割相等
要想证明分割一样，就要证明集合A=M。
（1）证A⊂M；
设a∈A，∴a<0.999…，
∴a<1，∴a∈M。
（2）证M⊂A；
设m∈M，∴m<1。
因为m是有理数，∴m=p/q<1,
∴p<q, 1-m=1-p/q=(q-p)/q,
∵p<q，∴q-p≥1，
∴(q-p)/q≥1/q。
总是存在正整数n，使得
10n>q,
∴1/ 10n <1/q,
∴1-m>1/ 10n,
∴m<1- 1/ 10n=0.99…9(n个9)，
∵0.99…9(n个9)<0.999…,
∴m<0.999…,
∴m∈A。
因此我们得到A=M。这就说明两个分割是一样的。故0.9的循环等于1。

戴德金分割法：
是建立在假想的基础之上的，它不等于严格的数学证明，这种假想是不存在严格的数学意义的。
比如：一个二米的线段，你凭着感觉从中间分成两段，你只能假定，A大于一，B小于一；或者，A小于一，B大于一；你是没有办法肯定它们是相等的，你只能通过测量，才能给定肯定的判断。
把戴德金分割法，当成严格的数学证明，是非常荒谬的。

即使你说M包含A，A真包含于M，你也不能说M＝A。但此时从逻辑说，0.9999...已经可以＝1了。因为它本身被A所排斥的。0.9999...是归属于B的。

造成这种是真子集还是子集的混乱不清的局面，其实是因为0.999.....本身无法准确通过戴德金分割法的证明给与。
因为，按照严谨的逻辑思维，0.9999....在未证明之前只能作为一个未知的存在
我们能从0.9999...身上搜寻到的唯一可以确定的东西就是A⊂M。

接下来我要新开一贴推倒希尔伯特大酒店。确立我对无限概念的正确看法。

请问0.99...的定义应该是什么合适呢？

如果有人还没看清戴德金分割法的诡辩论特征。我举以下一个例来说明。比方说:
有两个集合A，M。事先不知道。
证明者说你们来从M摸出一个数，摸出的数果然都被证明者从A中摸出了一个数和一个大于它数。证明者就说M是A的真子集。
我说这种逻辑思维是有问题的，因为我同样可以再从M中摸出一个相同数，同时再从M中摸出另一个数。
那证明者会诡辩到，既然同样可以摸出数，那这件事情是不是说明A=M？
我还是会说你错了，因为还有大量的数未摸出。
这时候，证明者会诡辩到，难道你就不能想象吗？
我会告诉证明者，你说想象，该怎么想，我想象一个1.2出来？
这时候证明者终于漏出诡辩者的本性，它说你看我给你一个边界，这俩边界一样。
这时候我会说，你这就是诡辩，之前的摸数举例，只是一个幌子，当你给出边界的时候用以标定边界的元素就必须被定义成相同的。这和你之前的证明没有半毛钱关系。
实际上0.9999...是不是＝1，全靠定义而来。
但现在的问题是，你总不能强制性定义它俩相等吧，你不是要证明吗？证明何在呢？