5．翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形． 例5．如图（8）已知：在△ABC中，∠A=45º, AD⊥BC，若BD=3，DC=2， 求：△ABC的面积． 解：以AB为轴将△ABD翻转180º，得到与它全等 的△ABE，以AC为轴将△ADC翻转180º，得到 与它全等的△AFC，EB、FC延长线交于G，易证 四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，则BG =x－3，CG=x－2，在Rt△BGC中，（x-3）+（x-2）=5． 解得x=6，则AD=6，∴S△ABC=×5×6=

确定了原点、方向、单位，用来表示实数的直线叫做数轴。性质“数轴上的点和实数是一一对应的。

a,b是正整数，若a=b+1,则b²-a与a²-b至少有一个是质数。求反例……

总数设为10000，在总数里面，如果一只蝴蝶代表A，一只蜻蜓代表B，一只青蛙代表X，现在问蝴蝶A×375=总数的30%，蜻蜓B×900=总数的45%，A和B分别为多少？已知A+B+X=16,二问,青蛙X×Y=10000-(A总数+B总数+1933)，问Y为多少？三问，注：X总数=X×Y，如果A,B,X三者总数相加=10000-Z可以成立，Z为多少？

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一、耐心选一选，你会开心:（每题6分，共30分） 1．下列说法：①全 等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的 对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（　　　） Ａ．①②③④　　　Ｂ．①③④　　　Ｃ．①②④　　　Ｄ．②③④ 2.如果 是 中 边上一点，并且 ，则 是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．钝角三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等腰三角形 3．一个正方形的侧面展开图有（ ） 个全等的

3、旋转法构造全等三角形 例3 如图3所示，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC与CD上，并且AF平分EAD，求证：BEDFAE。 分析：本题要证的BE和DF不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将ADF绕点A旋转90到ABG，则 ADF≌ABG，BE=DF，从而将BEBG转化为线段GE， 再进一步证明GEAE即可。证明略。 4、延长法构造全等三角形 例4 如图4所示，在ABC中，2ACBB， BADDAC，求证：ABACCD。 分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其

２、翻折法构造全等三角形 例２ 如图２所示，已知ABC中，ACBC，90ACB，BD平分ABC，求证： ABBCCD。 D 图１ E C B A 2 证明：∵ BD平分ABC，将BCD沿BD翻折后，点C落在AB上的点E，则有BECE， 在BCD与BED中， BCBECBDEBD BDBD ∴ BCD≌BED（SAS） ∴ 90DEAACB,CDDE, ∵ 已知ABC中，ACBC，90ACB， ∴ 45A, ∴ 45EDAA, ∴ DEEA, ∴ ABBEEABCCD。

分析：利用角平分线构造三角形，将D转移到AEC，而AEC与CEB互补，CEBB，从而证得180BD。主要方法是：“线、角进行转移”。 证明：在AB上截取AEAD， 在ADC与AEC中， ADAEDACEAC ACAC ∴ ADC≌AEC（SAS） ∴ DAEC,DCCE, ∵ DCBC, ∴ CEBC， ∴ CEBB, ∵ 180CEBAEC, ∴ 180BD

4．倍长中线法 题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 例4．如图（7）AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE． 求证：AC=BF 证明：延长AD至H使DH=AD，连BH，∵BD=CD， ∠BDH=∠ADC，DH=DA， ∴△BDH≌△CDA，∴BH=CA，∠H=∠DAC，又∵AE=EF， ∴∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE= 图（7） ∠BFD=∠DAC=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF． �化为线段，再进一步证明即可。证明略。

3．旋转法 对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。 例3　如图3所示，已知点、分别在正方形的边与上，并且平分，求证：。 分析：本题要证的和不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将绕点旋转到，则≌，=，从而将转化为线段，再进一步证明即可。证明略。

2．平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线． 例2．△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ． 证明：如图（1），过O作OD‖BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC =180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO， ∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD‖BP， ∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB， ∴BD=OD，∴AB+BP=AD+DB+BP =AQ+OQ+B

1．截长补短法 例1．如图（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E， 求证：AB+BE=AC． 解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC， 由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45º， ∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC． 解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知 △ ABE≌△AGE，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45º, ∴CG=EG, ∴AB+BE=AG+CG=AC．

造全等三角形种常用方法 　　在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先

例1：如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分BC，AD⊥AC，求∠BAC的度数。 解：延长DE,使DE=AD，连接BE。∵AD⊥AC(已知)∴∠EAC=90°(垂直定义)∵∠ADC和∠BDE是对顶角(已知)∴∠ADC=∠BDE(对顶角定义)又∵AD平分BC(已知)∴DB=DC(平分线定义）在△ADC和△EDB中： 例1-图 【DA=DE】（已知）【∠ADC=∠BDE】(已证)【DB=DC】(已证）∴△ADC≌△EDB（SAS)∴AC=BE（全等三角形对应边等）∴∠E=∠EAC=90°（等量代换）∵AB=2AC（已知）∴AB=2BE（等量代换）即1/2AB=BE∴∠BAE=30（在直角三角形中，如

延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系以方便求其中一边的范围值

a,b是正整数，若a=b+1,则b²-a与a²-b至少有一个是质数。求反例……

1. 旋转的定义： 将一个平面图形F上的每一个点，绕这个平面内一定点旋转同一个角α，得到图形F'，图形的这种变换叫旋转。 2. 旋转的性质： 性质1：对应点到旋转中心的距离相等。 性质2：对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，且等于旋转角。 性质3：旋转不改变图形的形状和大小。 3. 全等三角形及其性质： （1）全等形：能够完全重合的图形叫做全等形。 （2）全等三角形：能够完全重合的三角形叫做全等三角形。 （3）全等三角形的表示方

全等三角形性质

全等三角形判定

一、定义： 平移（translation）是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移，平移不改变物体的形状和大小． 二、基本性质： 经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等； 平移变换不改变图形的形状、大小和方向。

旋转的性质 1.旋转是指一个图形绕一点沿一定方向旋转一定的角度它有三要素：1）旋转中心（绕着转的那个点） 2）旋转方向（顺时针还是逆时针） 3）旋转角度性质：1）旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的性质。也就是旋转前后图形全等 2）对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角。

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