例1:如图,在△ABC中,AB=2AC,AD平分BC,AD⊥AC,求∠BAC的度数。

解:延长DE,使DE=AD,连接BE。∵AD⊥AC(已知)∴∠EAC=90°(垂直定义)∵∠ADC和∠BDE是对顶角(已知)∴∠ADC=∠BDE(对顶角定义)又∵AD平分BC(已知)∴DB=DC(平分线定义)在△ADC和△EDB中:
例1-图
【DA=DE】(已知)【∠ADC=∠BDE】(已证)【DB=DC】(已证)∴△ADC≌△EDB(SAS)∴AC=BE(全等三角形对应边等)∴∠E=∠EAC=90°(等量代换)∵AB=2AC(已知)∴AB=2BE(等量代换)即1/2AB=BE∴∠BAE=30(在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+90°=120°(等式性质)
例2:如图,在△ABC中,AB=5a,AC=3a(a>0),求中线AD的取值范围。解:延长AD至AE,交BC于D,使DE=AD。连接EC。∵∠EDC和∠BDA是对顶角∴∠EDC=∠BDA又∵D是BC的中点∴BD=DC在△ABD和△CDE中:【DE=AD】【∠EDC=∠BDA】【BD=DC】
例2-图
∴△ABD≌△CDE(SAS)∴AB=EC=5a∵△ACE∴AC+EC>AE>EC-AC又∵AC=3a,EC=5a∴AE的取值范围为:5a+3a>AE>5a-3a即8a>AE>2a由题意:AE=2AD∴8a>2AD>2a即4a>AD>a

解:延长DE,使DE=AD,连接BE。∵AD⊥AC(已知)∴∠EAC=90°(垂直定义)∵∠ADC和∠BDE是对顶角(已知)∴∠ADC=∠BDE(对顶角定义)又∵AD平分BC(已知)∴DB=DC(平分线定义)在△ADC和△EDB中:
例1-图
【DA=DE】(已知)【∠ADC=∠BDE】(已证)【DB=DC】(已证)∴△ADC≌△EDB(SAS)∴AC=BE(全等三角形对应边等)∴∠E=∠EAC=90°(等量代换)∵AB=2AC(已知)∴AB=2BE(等量代换)即1/2AB=BE∴∠BAE=30(在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+90°=120°(等式性质)
例2:如图,在△ABC中,AB=5a,AC=3a(a>0),求中线AD的取值范围。解:延长AD至AE,交BC于D,使DE=AD。连接EC。∵∠EDC和∠BDA是对顶角∴∠EDC=∠BDA又∵D是BC的中点∴BD=DC在△ABD和△CDE中:【DE=AD】【∠EDC=∠BDA】【BD=DC】

例2-图
∴△ABD≌△CDE(SAS)∴AB=EC=5a∵△ACE∴AC+EC>AE>EC-AC又∵AC=3a,EC=5a∴AE的取值范围为:5a+3a>AE>5a-3a即8a>AE>2a由题意:AE=2AD∴8a>2AD>2a即4a>AD>a