下面一个棍子，截面为cd的四边形，
长l,弹性系数为K，在离左端a处，施加一压力P，
1）求棍子被压弯后的曲线方程（红色）
2）求P点压下去的距离h



只讲一下大致的思路，具体有兴趣者自己解
此题有2种解法
1）微分几何法
2）纯几何+物理法（秒杀）

此题的突破点是找到压弯微元的曲率和横向拉长量的关系
因为，胡克定律只涉及到直线上的拉伸和压缩的距离和力的函数关系。
怎么转化到曲线是解此题的关键钥匙

注意到，变形体的微元中，曲率半径ρ和力矩M截面Z轴惯性矩I以及弹性系数K有以下关系
成为此题的突破口
略证，符号打得狠麻烦，请谅解



这样就得到了曲线的坐标的函数关系，是一个可降阶2阶微分方程，解这个微分方程
就能得到压弯曲线，
但是要注意几点
1）受压点左右的力矩方程是不同的（弯矩），所以要写成两个分段函数
2)解出的结果有4个积分常数，
注意到左右端点没有变，可以补充X＝0，y＝0以及x＝l，y＝0两个初值条件
还有连续性可知，受压点的左右的弯曲弧度θ是相同的，由微积分的定义可知，dy/dx就是弯曲角，所以原函数积分一次得到的函数θ＝f（X）就是弯曲角函数，又能补充2个初值条件
X＝a时，分段两函数的Y和θ是相同的。
从而得到4个积分常数，而得特解，既是到方程的曲线函数。


给个答案吧，有兴趣者自己做，把X＝a代入，就是P点下压的距离
h＝y（a）

接下来讲纯几何法。
因为本人比较喜欢纯几何，我想说纯几何反倒是经常秒杀解析几何的
这一个题目的第2问就是
要么就是无法解（第一问），要么就是秒杀（第二问），这也许是纯几何的另一种魅力吧。

1-8楼的推导虽很全面很彻底的分析了这个问题，
但是用纯几何的思路仔细想一想，点作用力，线位移！
力P的作用下移动了h，联想到了什么呢？
对做功啊！！！从功的角度看，这个问题马上就迎刃而解了！
Ph＝物体的弹性势能的增加G
h＝G/P！！！！！！！！！！！！！！！！！！
如此简洁！！这种思想是解决这一系列变形问题的金钥匙！以后慢慢介绍


我想声明一下
这题只是最简单的一个单杆的情况，这个题可能还看不出纯几何法的优势
要是很复杂的杆架
你每个都用微分法求，最后会疯掉，而且综合的位移基本是很难确定的。
但是只考虑几何上的变位和做功法解，任然是秒杀！
比如下图，求受力点的横向纵向位移。解析几何法，就很无力了。



@ramanuja
来探讨吧，这下咋说呢比如11楼的问题，解析几何真的是万能的吗？

解析几何只是揭示出了代数与几何之间的联系而已，从没说过是万能的。本质上讲，这类形变问题都属于变分，无非是考虑几阶变分而已。

另一个有趣且极其著名的问题是： 给定一个铁线圈（允许扭曲得复杂些），然后把它放到肥皂水里再拿出来， 这时铁圈上也会形成一个肥皂泡膜， 请问这个肥皂泡沫的形状和铁圈的形状之间有何关系？ 换言之， 肥皂泡的形状是什么样的？
这就是物理学家柏拉图（不是古希腊的那个）用物理实验对数学家提出的理论挑战。

由肥皂泡本身的张力作用， 物理上我们可以认为肥皂泡在可能的条件下，总是尽可能使自己的表面积达到最小，这样形成的曲面称作极小曲面。
因此数学上讲， 上述的柏拉图问题等价于说， 给定边界的极小曲面应该满足什么样的条件？