下面一个棍子，截面为cd的四边形，
长l,弹性系数为K，在离左端a处，施加一压力P，
1）求棍子被压弯后的曲线方程（红色）
2）求P点压下去的距离h



只讲一下大致的思路，具体有兴趣者自己解
此题有2种解法
1）微分几何法
2）纯几何+物理法（秒杀）

此题的突破点是找到压弯微元的曲率和横向拉长量的关系
因为，胡克定律只涉及到直线上的拉伸和压缩的距离和力的函数关系。
怎么转化到曲线是解此题的关键钥匙

注意到，变形体的微元中，曲率半径ρ和力矩M截面Z轴惯性矩I以及弹性系数K有以下关系
成为此题的突破口
略证，符号打得狠麻烦，请谅解



这样就得到了曲线的坐标的函数关系，是一个可降阶2阶微分方程，解这个微分方程
就能得到压弯曲线，
但是要注意几点
1）受压点左右的力矩方程是不同的（弯矩），所以要写成两个分段函数
2)解出的结果有4个积分常数，
注意到左右端点没有变，可以补充X＝0，y＝0以及x＝l，y＝0两个初值条件
还有连续性可知，受压点的左右的弯曲弧度θ是相同的，由微积分的定义可知，dy/dx就是弯曲角，所以原函数积分一次得到的函数θ＝f（X）就是弯曲角函数，又能补充2个初值条件
X＝a时，分段两函数的Y和θ是相同的。
从而得到4个积分常数，而得特解，既是到方程的曲线函数。


给个答案吧，有兴趣者自己做，把X＝a代入，就是P点下压的距离
h＝y（a）

接下来讲纯几何法。
因为本人比较喜欢纯几何，我想说纯几何反倒是经常秒杀解析几何的
这一个题目的第2问就是
要么就是无法解（第一问），要么就是秒杀（第二问），这也许是纯几何的另一种魅力吧。

1-8楼的推导虽很全面很彻底的分析了这个问题，
但是用纯几何的思路仔细想一想，点作用力，线位移！
力P的作用下移动了h，联想到了什么呢？
对做功啊！！！从功的角度看，这个问题马上就迎刃而解了！
Ph＝物体的弹性势能的增加G
h＝G/P！！！！！！！！！！！！！！！！！！
如此简洁！！这种思想是解决这一系列变形问题的金钥匙！以后慢慢介绍


我想声明一下
这题只是最简单的一个单杆的情况，这个题可能还看不出纯几何法的优势
要是很复杂的杆架
你每个都用微分法求，最后会疯掉，而且综合的位移基本是很难确定的。
但是只考虑几何上的变位和做功法解，任然是秒杀！
比如下图，求受力点的横向纵向位移。解析几何法，就很无力了。



@ramanuja
来探讨吧，这下咋说呢比如11楼的问题，解析几何真的是万能的吗？

不好意思，你说的不对，
铁线圈收到张力是不一定会变成圆形的
这个问题在工学里面早已经有定论，我下次再发个专辑
因为铁丝是能承受一部分内力产生的力矩的，所以很可能部分变形，或者不变形
只有绳子，橡皮筋一类的，只能承受拉力（沿着轴线方向受力）才会变圆。
可以证明的是，在受到均布力的时候，二次曲线的构造才会可能没有内部弯矩力。
而封闭的图形里面，只有圆才行。
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简单的说，是由于内部的力矩使得结构向不承受力矩的形状转变。而形成圆。
对于坚硬的，能承受力矩的结构，可能保持元形状。

拉力会使物体拉伸
力矩会使物体弯曲。
线圈，在均不力（水张力）的情况下，收到力矩的影响而变形。
由于线圈不能承受力矩，只能向圆圈的方向发展，最后几何形状得到稳定

我知道不动
但是物理要静力平衡，铁丝的截面是要承受内力矩和内垃力的
你想一个最极限的情况，铁丝是完全的刚性的，那么抗弯矩的能力是无穷大
那么铁丝即使受到水泡的张力，也不会变圆的。仍然保持原状啊。
绳子不同，绳子受拉力后，由于不能承受弯矩，只能沿着拉力方向变直。