证明一（见图一）
连接AA’、BB’相交于点O，从O上连接线段AB上任意一点，在A’ B’必能取得一点与其对应，所以AB、 A’ B’的点数相等

证明二（见图二）
在A’ B’内取有别于A’、B’的两点C、D，连接AC、BD相交于点O，从O上连接线段AB上任意一点，在CD必能取得一点与其对应，所以AB、 CD的点数相等。而线段A’ B’除了包含线段CD内的点外，还包含A’C和D B’上的点，所以A’ B’上的点比CD上的点多，即A’ B’上的点也就比AB上的多。

证明三（见图三）
在AB内取有别于A、B的两点C、D，连接A’C、B’D相交于点O，从O上连接线段A’B’上任意一点，在CD必能取得一点与其对应，所以A’B’、 CD的点数相等。而线段AB除了包含线段CD内的点外，还包含AC和D B上的点，所以AB上的点比CD上的点多，即AB上的点也就比A’B’上的多。

综合上述三个证明，线段AB上的点数既等于也大于也小于线段A’B’的点数

吧主，请给我会员，我都发了两个新帖了

吧主，在此弱弱的请求标记精品，让高手进来看看，解决我的困惑。

小弟，你来回复我这问题，我很高兴。因为我估计我以前也像你这样子。
但是我真的不知道你理不理解康托尔证明一条线段上的点和太平洋上的点一样多时所使用的策略
而且，你用了一个特例来反驳我，那好，我简化一些。就我上面所列的那两根线段来讨论，到底那根线段的点数多，为什么？

回复：12楼
晕，我看了。
我的证明里两根线段中的每一个点都有特异的对应，你怎么能说不相等呢？
在证明一里，你能在AB或A’B’里找出一点在对方里边找不到特异的对应点吗？

回复：12楼
证明一里，你只要在AB上随便找一点与O连接，必定在A’B’上找到一个对应点，同样在A’B’上随便找一点与O连接并延长也必定在AB上找到一点与其对应，为什么还不能说明两跟线段的点数相等呢？
同理，证明二和证明三中的情况也一样

回复：15楼
为什么只多一个点呢？好像多出来的也是无数个点哦？
按照你的讨论，你是不是支持我的证明了？
我感觉你没有提出理由反对我的证明

我的证明有个关键的地方在于，假设线段AB内部有一线段CD，线段CD内的点数和线段AB的点数是否相等？
因为线段CD包含在线段AB内部，所以线段CD与线段AB内的线段“CD”点数肯定相等，也一一对应，而当线段CD与线段AB内的线段“CD”的点建立一一对应关系时（只需要每个点对应自身即可），就没有办法对应AC和DB上的点了，所以，线段AB上的点应该比线段CD上的点多。

至于多多少还是未知数，但是就是多，可以是无数+1与无数比较，也可能是无数+无数与无数比较。

如果你说线段AB内部的线段CD上的点数相等线段AB的点数，OK，你怎么证明？你能证明一个点不单单对应于自身同时还能对应于其他的点吗？