此题没有百分百可以3次称出结果的方法。
由于假银元只有一块且轻重不确定,当天平不平衡的时候只能确定假银元是否在两堆银元中。
我们把银元的状态分为abc三种,a状态指可能为假银元,b状态指绝对正常银元,c状态指一定为假银元。
第一次称量,最优策略是444分组,至少可以确定8a4b。
为了比对出假银元的轻重,最后一次称量必须把a缩减到1或者用a和b称出那个c。由此可知,第二步结束后要想百分百称量出假银元,a不能大于3。
因此,第二步测量必须保证将8a4b缩减为3a9b。这一步的策略有两种。
第一种策略是用4b来替换天平两侧的8a,若天平平衡则换下的a成为最终a,若不平衡则未换下的a成为最终a。根据是非原理可知,这一步至多将全部8a的一半,也就是4a,稳定转化为b。但我们需要至多3a来完成第三步,因此第一种策略无法稳定生效。
第二种策略,指8a内部对换,若天平未倒转则未对换的a成为最终a,若天平倒转则对换的a成为最终a。考虑到最差情况,若对换5个以下而天平未倒转则失败,若对换3个以上而天平倒转则亦失败。因此,最优选择为调换4个,此举亦只能将8a稳定缩小为4a,无法达成条件。
到此,3次稳定称出假银元的命题已为假命题,证毕。