这里有几点说明的，首先，以上的m和m(x)是一个东西，我有时写顺手就会省了自变量，其实对于初学者还是把自变量指明的好，但是上面有一些地方没有指明，我的锅。。。之后我会尽量加上的，其次，上面所做的讨论都是基于m(x)是一个连续的函数，"连续"，通俗地讲，就是图像上的点都是紧挨着的，没有间断的，一般的经典物理量都会满足连续的条件的，所以连续性大可不必担心，对于λ(x)，我们称之为m(x)的导函数，至此，就完成了对积分的基本了解，接下来会说一些应用，其实也是加深理解的。

其实积分这东西多好理解，就是把一堆沙子拼起来，这些"沙子"就是上面的dm，我们一般称之为微元，质量的微元叫质量元，长度的微元叫线元，面积的微元叫面积元，你要计算什么就把这些微元加起来即可，但是微元和微元之间又有什么关系呢？我们为什么费这么大力气把这些沙子拼起来呢？难道是要拼个沙雕(雾

剧透，楼主肯定要讲到微积分基本原理

微元和微元的关系是什么？可能有什么关系？其实上面就有一个例子，31楼的式子dm=λ(x)dx，这里面有两个微元，dm和dx，可以看出他们对于某一个确定的x来说，是成正比的，就是说，dm和dx的比值和dm和dx均无关，只和x有关，是x的函数，所以这里λ(x)就是两个微元的商，简称"微商"(不是卖东西那个)，其实很多微元都是成正比的，比如对一个函数f(x)来说，dx和dy有什么关系，也成正比吗？我们把f(x)的图像画出来，因为dx，dy都是很小的间隔，所以在这一点的图像和dx和dy就组成一个直角三角形社，这里的斜边所在的直线叫做这曲线的切线，这条切线与x的夹角也是这三角形的一个角，那么这里的dy和dx的比值就是这夹角的正切，也是这条切线的斜率

这时我们应该确定的说，如果一个两个变量y，x有函数关系，那它们的微元dy，dx总是成正比的，而且这个比值和x有关(每一个x确定一个切线斜率)，是x的函数，我们管他叫函数y=f(x)的导函数，简称导数，这个函数的自变量是x，我们记成f'(x)

嗯，切线斜率，其实这东西就是用来看图像在这一点"有多陡"，导数越大的地方，函数随自变量变化越快，而且，这斜率要是为正，这函数就是增的，若为负，函数就是减的，若为0，函数不增不减，很有可能是取到了极值，因此，我们经常用导数为0求极值(但有时会失效，可以思考一下是为什么)

其实各位应该早已看出来了，λ(x)就是m(x)的导数，所以求导数的具体表达式就把34楼的式子换一下

好了，导数也说完了，接下来回到上面的dm(x)=λ(x)dx，将其代入50楼的式子得到下面的式子

嗯？瞬间懵逼，这是在干什么？我是谁，我在哪？别急，这就是一步代换，线密度乘线元就是质量元，再积分就得到质量，但是我们觉得这个上下限太特殊了，我们准备找两个一般的数a和b，这时就是从杆上横坐标为a到b之间这一段杆的质量，回想我们之前定义的函数m(x)，那这一段质量Δm应该等于m(b)-m(a)，所以有这样更加一般的式子

我们来直观看下这式子什么意思，每个dy对应一个dx乘切线的斜率，就得到一些小的竖直线段，然后通过积分把这些线段加起来，就是大的竖直线段Δy的长度，其实理解起来也没有什么困难吧

还有1个多月最后一次竞赛

现在思考一下，除了质量的例子，你还能举出什么量之间是原函数和导函数的关系？从微分的角度看，我们需要两个微元成正比，从积分的角度看，我们要把这些微元加起来，其实，一般涉及到一些东西的乘积时，或是涉及到一些东西的比值(尤其是用比值定义物理量时)，我们可以着重说一下乘积的问题，物理上的乘积，涉及到位置的，最简单的就是做功了，按做功的定义，在某一个恒力作用下，物体从原点沿直线运动到x处做功的表达式，

补充63-65楼的内容：这里λ(x)是m(x)的导函数，m(x)就称作原函数，如果写成f(x)和f'(x)的形式，这个式子又叫牛顿-莱布尼茨公式，是微积分中最重要的公式也不为过

现在这个式子中的W和x都是变量，由于是恒力，所以F是常数，我们想通过找微元的正比关系来找原函数和导函数是什么，我们应当找的微元是函数的微元，这里有两个函数，x和W(x)，所以我们应当找dW和dx的比值，这个比值是什么？是F吗？我们回想一下上个例子中dm和dx的比值，是λ(x)，当λ是常数的时候，我们可以看出m直接可以等于λx，与上面F恒定的表达式相似，我们可以认定，dW和dx比值应当是F，毕竟在大尺度下成立的事情，在小尺度下也应当成立(因为大尺度就是一堆小尺度加起来的啊)，那么这个式子会成立，在F恒定的情况下