楼主总是将自然数集等同于H={1，2，3，4，5，6，7，8}，并将在H下的结论推广到自然数集。自然数集与H性质是不是一样的？楼主没有证明。这是根本问题（当然，LZ也证明不了）。
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你没读懂主帖。我不是直接宣布“自然数集与H性质相同”，对是用对当方阵证明二者具有相同性质。传统逻辑对当方阵不适合自然数集N？

你回避我的问题，我问的是”在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立”这句话的意义。
我当初认为上面这句话的｛N留｝就是最佳 N* ，然而你告诉我不是。既然不是，那麼我后来问你上面这句话的｛N留｝是一个定值还是一个变数，结果你拉拉杂杂重贴了一次 N# 与 N* 的定义。
我没有问你 N# 与 N* 的定义，我问的是”在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立”这句话的意义，这句话是 N# 与 N* 的定义中的前提条件，你不解释清楚这个前提条件，那麼你在重贴几次 N# 与 N* 的定义都毫无意义。
再问最后一次，你不回答就算了：
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对於任意 P(x) 而言，”在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立”这句话都是前提条件；请问对於任意 x 而言，前提条件中的｛N留｝是否必为相同的一个定值？如果是，那麼｛N留｝是甚麼？
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上面这段问句所使用的一切符号都是经由你定义的，请你不要再回避我。又，”在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立”这句话是你一切定义（包含 P 性质、包含 N# 集）的前提条件，如果你不打算说明清楚，那麼接下来就不用谈了。
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我说明一下：“在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立”这句话的意义。”。
这个语词的含义只可通过完整的句子才可解释和理解，即通过主帖的a、b、c、d四个命题才可理解，理解了命题含义也就理解了这个语词的含义。
全称肯定命题a为：
在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立的前提条件下， N中的所有的元素都允许从N中删除掉。
将a翻译成全称肯定命题的标准形式，a就是：
所有N中的元素是“在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立的前提条件下”允许从N中删除掉的元素。
这个全称肯定命题的主项为“N中的元素”，谓项为“在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立的前提条件下允许从N中删除掉的元素”，联项为“是”，量项为“所有”。
“在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立的前提条件下”允许从N中删除掉，这是N中的某一类元素具有的性质，设这个性质为P。凡使P（x）为真的N中元素x，都是集盒N#的元素，即：N#={x｜P（x）∧x∈N}。也就是说，“在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立的前提条件下”允许从N中删除掉的元素，都是N#中的元素。
凡使P（x）为真的N中元素x，即任一属于N#的元素x，都具有这一特征：
x是否在“任一”｛N留｝中都对相应的命题f｛N留｝是否成立“无影响”。
这一特征就是性质P的定义。这种确切含义在主帖中已说得很明白了，费了大量篇幅；在后来的回复中，说的都是这个含义，只不过表述的形式有区别而已，同一个意思的不同说法而已。
根据P（x）定义以及由这一定义产生的集盒N#={x｜P（x）∧x∈N}可知，将所有的N#中元素都从N中拿出来，N中剩余的元素组成的｛N留｝使对应的命题f｛N留｝成立。
关于｛N留｝的定义，在主帖中已给出了，｛N留｝就是变量y的取值范围，即从N中删除掉某些元素后而剩余的那些元素所组成的集盒，每一个｛N留｝都是N的子集；所有的｛N留｝组成的**我们用∑表示，∑等于N的幂集P（N），即∑= P（N），最小的｛N留｝为空集φ，最大的｛N留｝=N，最大的｛N留｝（即max∑）可视为从N中拿掉了0个元素后而产生的一个｛N留｝。
关于“在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立”这句话的意义。”：
对这个语词的含义只可通过完整的句子才可解释和理解。
我们先定义一个集盒T：由所有使命题f｛N留｝成立的｛N留｝所组成的**。
对于任意一个x∈N，以及任意一个｛N留｝⊆T，并且x∈｛N留｝，如果将x从｛N留｝中删除掉，｛N留｝－｛x｝使命题f｛N留｝－｛x｝成立，那么，x ∈N#，在这里，“｛N留｝－｛x｝”是一补集，此补集也是一个｛N留｝。这也就是说，允许将x从｛N留｝中删除掉的条件是：“｛N留｝－｛x｝”一定能够确保命题f｛N留｝－｛x｝成立。满足了这个条件，则x∈N#，否则不属于N#。这是一个非常简单明晰的道理，从｛N留｝中拿出元素x，又要求剩余的元素“｛N留｝－｛x｝”一定能够确保命题f｛N留｝－｛x｝成立，即从｛N留｝中拿出元素x是有条的，这个条件就是：剩余的元素“｛N留｝－｛x｝”一定能够确保命题f｛N留｝－｛x｝成立。
N#中的元素x都具有这一特征P（x）：
x是否在“任一”｛N留｝中都对相应的命题f｛N留｝是否成立“无影响”。
主帖中所说的N#的元素的性质就是这个P（x），后面的回复中所说的N#的元素的性质都是这个P（x），只不过是同一个含义的不同说法而已，都是等价表述。
主帖中已证明了N中的任一元素x都不是“命题f｛N留｝成立的充分条件”，即x∈｛N留｝不是“命题f｛N留｝成立的充分条件”。在证明了这一点的条件下，对于N中的任一元素x是否属于N#就更容易判断了，只需要证明将x从N中拿出来，｛N留｝使“命题f｛N留｝成立，就证明了x∈N#。
N中的任一有后继数的元素x，都具有特征P（x），这非常容易证明。
N#中的元素x都具有这一特征P（x）：x是否在“任一”｛N留｝中都对相应的命题f｛N留｝是否成立“无影响”。
N#中的元素x都具有这一特征P（x），使证明自然数集为有穷集就为必然。
我认为，我上面的陈述已完全回复了你的问题。


再看看下面这句话：
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对于任意一个x∈N，以及任意一个｛N留｝⊆T，并且x∈｛N留｝，如果将x从｛N留｝中删除掉，｛N留｝－｛x｝使命题f｛N留｝－｛x｝成立， 那么，x ∈N#，在这里，“｛N留｝－｛x｝”是一补集，此补集也是一个｛N留｝。这也就是说，允许将x从｛N留｝中删除掉的条件是：“｛N留｝－｛x｝”一定能 够确保命题f｛N留｝－｛x｝成立。满足了这个条件，则x∈N#，否则不属于N#。这是一个非常简单明晰的道理
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错大了不是？
对于任意一个x∈N，都存在一个｛N留｝=｛1, x｝；将 x从｛N留｝中删除掉，｛N留｝－｛x｝使命题f｛N留｝－｛x｝不成立，所以任意 x 都不属於 N# ，N# 为空集－－呵呵。
你以为你不定义清楚｛N留｝就可以回避问题吗？你不定义清楚｛N留｝，那麼我也可以选择任意的｛N留｝，进而证明 N# 为空集－－你能怎麼办？
告诉你，你的 P 性质有两个变量，一个是元素 x 、另一个就是能够保证 f 命题为真的｛N留｝。如果你的 P 性质包含了变量｛N留｝，那麼你就是用｛N留｝来定义 N#、用集Ａ来定义集Ｂ；而如果此时你不交代清楚｛N留｝是甚麼的话，那麼 N# 的定义等於空话一场，谁都可以随意地定义 N# －－如我上面所做的事情一样。
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你也没看明白我的491楼回复的内容，更准确地说，你是故意歪曲491楼的本意。以你的上面这段为例，就是故意歪曲491楼的本意：
这是491楼对集盒T的定义：“我们先定义一个集盒T：由所有使命题f｛N留｝成立的｛N留｝所组成的集盒。”
按照T的定义，“｛N留｝=｛1, x｝”根本就不是T的元素。但是你却歪曲说：“｛N留｝=｛1, x｝”是T的元素。
你对照T的定义看一看，“｛N留｝=｛1, x｝”∈T ？
你的493楼都是这类歪曲。


再看看这句话：
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x是否在“任一”｛N留｝中都对相应的命题f｛N留｝是否成立“无影响”。
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这句话更是砂上建塔：你连｛N留｝都不能定义了，还妄谈啥 x ？别忘了｛N留｝是 x 的前提条件啊！
再问一次，对於 N# 而言，它的前提条件｛N留｝是不是一个定值？还是说对於每一 N# 中的元素 x 而言，都有各自不同的｛N留｝当作 P 性质的前提条件？
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你说我：“你连｛N留｝都不能定义了，还妄谈啥 x ？”
你也没看明白我的491楼回复的内容，更准确地说，你是故意歪曲491楼的本意。｛N留｝在主帖中就有“定义”，在我的491楼的回复中给出了更详细的说明，例如491楼对｛N留｝含义的一义性说明：
“关于｛N留｝的定义，在主帖中已给出了，｛N留｝就是变量y的取值范围，即从N中删除掉某些元素后而剩余的那些元素所组成的集盒，每一个｛N留｝都是N的子集。所有的｛N留｝组成的集盒我们用∑表示，∑等于N的幂集P（N），即∑= P（N），最小的｛N留｝为空集φ，最大的｛N留｝=N，最大的｛N留｝（即max∑）可视为从N中拿掉了0个元素后而产生的一个｛N留｝。”
由上述陈述可知，任一｛N留｝∈∑。
N#中的元素x都具有这一特征P（x）：
x是否在“任一”｛N留｝中都对相应的命题f｛N留｝是否成立“无影响”。
这么清晰明白的“｛N留｝”含义和“N#中的元素x都具有的特征P（x）”，怎么能说“无定义”。
如果x是否在“任一”｛N留｝中都对相应的命题f｛N留｝是否成立“无影响”，那么，x∈N#。这就是N#的含义，也就是说，x∈max∑，x是否在“任一”｛N留｝中都对相应的命题f｛N留｝是否成立“无影响”，由所有具有这样性质的x组成集盒为N#。这里不存在循环定义。
呵呵


首先，４１９楼是我写的，所以４１９楼没有回答我的问题，我猜你指的是４９１楼吧？
至於你的４９１楼，请你看看下面的话：
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“在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立的前提条件下”允许从N中删除掉，这是N中的某一类元素具有的性质，设这个性质为P。凡使P（x）为真的N中元素x，都是集盒N#的元素，即：N#={x｜P（x）∧x∈N}。也就是说，“在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立的前提条件下”允许从N 中删除掉的元素，都是N#中的元素。
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这明明就是循环定义，我举一个例子：
＜１＞先假设｛N留｝为”大於等於 3 的所有自然数”，这样当然可以保证f｛N留｝
＜２＞请注意，上面已经定义｛N留｝了，事实上我们当然也应该定义｛N留｝，毕竟”｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立”这句话是你再三强调的”前提条件”，没错吧？这几个字是这麼说的吧？
＜３＞好，明确了前提条件之后，接下来我们才能谈 N# 中的元素 x 。
＜４＞如果 x=1或2 ，那麼天下太平无事；如果 x>=3 ，那惨了，把 x 从自然数集移除之后，请问｛N留｝的定义还是”大於等於 3 的所有自然数”吗？当然不是！｛N留｝的定义会变成”大於等於 4 的所有自然数”。
＜５＞｛N留｝是 x 的前提条件，但随著 x 取值的不同，｛N留｝的定义居然还会变！你说这不是循环定义（｛N留｝－＞ x －＞｛N留｝），那又是啥？
再说了，把”｛N留｝必能满足 f 命题”这个前提条件加进去之后，N# 的定义不就是我前面多次提到的式子吗？
　∀x( x∈N# <-> f(y)| y=(N-N#) )
这个定义明显违反了集（和谐）合公理化的原则，当初谈到集（和谐）合公理化的人也是你，你可以试著解释一下这自相矛盾是怎麼一回事。请注意，你可以把 f(y)| y=(N-N#) 隐藏在 P 性质之内，但是蒙上眼睛不代表看不见－－你说 N# 的前提条件是”｛N留｝必能满足 f 命题”，所以 N# 集的定义必须参考｛N留｝集的定义，而你到目前为止还是无法交代｛N留｝的定义：甚至如小弟上述１～５所示，N# 集中的成员 x 从自然数移除之后可能还会改变｛N留｝的定义！
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你也没看明白我的491楼回复的内容，更准确地说，你是故意歪曲491楼的本意。
这是我的原话：“在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立的前提条件下”允许从N中删除掉，这是N中的某一类元素具有的性质，设这个性质为P。凡使P（x）为真的N中元素x，都是集盒N#的元素，即：N#={x｜P（x）∧x∈N}。也就是说，“在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立的前提条件下”允许从N 中删除掉的元素，都是N#中的元素。”
在上面这段话中，P（x）的含义是指“：
x是否在“任一”｛N留｝中都对相应的命题f｛N留｝是否成立“无影响”。”
这两种表述方式说的是完全相同的东西。循环定义无从谈起。
循环定义是指：定义项中间接地包含了被定义项。N#是由P（x）产生的集盒，我对P（x）的定义不存在循环定义，N#何来循环定义？
呵呵


呵呵，除了歪曲别人的话之外，就是“嘴硬”！
495楼有你的原话，铁证如山。
呵呵。

你故意歪曲我的话的本意、耍赖，外加嘴硬。你穷途未路，又不肯认输，只能来这一套。
呵呵

重复一下N#和N*的含义：
N#中的元素x的特征P，主帖中说的已很明确了，这个特征P就是：x∈｛N留｝不是｛N留｝使相应的命题f｛N留｝成立的条件，换一种等价的说法为：x∈｛N留｝与相应的命题f｛N留｝是否成立没有关系。这两种说法是亘为充要条件的，即：
1，若x∈｛N留｝与相应的命题f｛N留｝是否成立没有关系，那么，x∈｛N留｝不是｛N留｝使相应的命题f｛N留｝成立的条件（充分条件、必要条件、充要条件），即：x∈｛N留｝不是｛N留｝使相应的命题f｛N留｝成立的充分条件、必要条件、充要条件这三个条件之一。
2，若x∈｛N留｝不是｛N留｝使相应的命题f｛N留｝成立的条件（充分条件、必要条件、充要条件），即：x∈｛N留｝不是｛N留｝使相应的命题f｛N留｝成立的充分条件、必要条件、充要条件这三个条件之一。那么，x∈｛N留｝与相应的命题f｛N留｝是否成立没有关系。
若x是否属于｛N留｝能导致｛N留｝使相应的命题f｛N留｝成立或不成立，那么，x∈｛N留｝一定是｛N留｝使相应的命题f｛N留｝成立的充分条件、必要条件、充要条件这三个条件之一。相反，若x是否属于｛N留｝不能导致｛N留｝使相应的命题f｛N留｝成立或不成立，那么，x∈｛N留｝一定不是｛N留｝使相应的命题f｛N留｝成立的充分条件、必要条件、充要条件这三个条件之一。
令命题A为：x是否属于｛N留｝不能导致｛N留｝使相应的命题f｛N留｝成立或不成立。
令命题B为：x∈｛N留｝与相应的命题f｛N留｝是否成立没有关系。
很容易证明，命题A与B是等价的，即：A←→B。在这里，A与B只是同一个含义的两种说法而已。
通过上述论证可知，N#中的元素x的特征P就是：
x是否在“任一”｛N留｝中都对相应的命题f｛N留｝是否成立“无影响”。
正因为“N#中的元素x都具有特征P”，所以，从N中将N#元素都拿出来，N-N#使命题fN-N#成立。这里的N等于最大的｛N留｝，即N=max｛N留｝，N-N#也是一个｛N留｝，N-N#=N*。
我对于N#和N*的含义不知说了多少次了，但是 asmobia 就是看不明白，更准确地说，是故意装不知道，目的就是耍赖。

“在｛N留｝一定能够确保命题f｛N留｝成立的前提条件下”这句话之中的｛N留｝究竟是不是一个定值？
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asmobia ，看505楼。
｛N留｝究竟是不是一个定值？
对这个问题，我在以前的回复中已明确表示，这里｛N留｝是集盒T中的任意一个元素，集盒T的定义为：由所有使命题f｛N留｝成立的｛N留｝所组成的集盒。我说出了这样的话，难道不是对这个问题的回答吗？每一个｛N留｝∈T，｛N留｝中的元素都是确定的，但并不要求｛N留｝中的每个元素都属于N*，即N*可以不等于｛N留｝。

很多人理解不了我的贴。

诚实的人讲的大实话。

Joseph Mazur的书：芝诺的悖论

The fascinating story of an ancient riddle　and what it reveals about the nature of time and space
Three millennia ago, the Greek philosopher Zeno constructed a series of logical paradoxes to prove that motion is impossible. Today, these paradoxes remain on the cutting edge of our investigations into the fabric of space and time. Zeno’s Paradox uses the motion paradox as a jumping-off point for an exploration of the twenty-five-hundred-year quest to uncover the true nature of the universe. From Galileo to Einstein to Stephen Hawking, some of the greatest minds in history have tackled the problem and made spectacular breakthroughs，but through it all, the paradox of motion remains.

From Galileo to Einstein to Stephen Hawking, some of the greatest minds in history have tackled the problem and made spectacular breakthroughs，but through it all, the paradox of motion remains.
芝诺悖论高深，是很难否定的。

希腊数学家普洛克拉斯（Proclus）说：“数学就是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄净智慧；她给我们的内心思想添辉；她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。”从这个意义上说，数学使人更完全、更丰富、更有力量。