在《论语》雍也篇第六中，孔子曰：
“中人以上，可以语上也；中人以下，不可以语上也。”

对世界的有穷性证明，是高深的学问。对高深的道理，不是人人都能理解的。
在《论语》雍也篇第六中，孔子曰：
“中人以上，可以语上也；中人以下，不可以语上也。”
孔子认为，人的智力从出生就有聪明和愚笨的个体差异，人的智力是分为上、中、下三个等级的，即上智、下愚和中人。对于中人以上者，可以跟他讲高深的学问。而对中人以下者，则不可以跟他讲高深的学问，语之非但不解，更生误会，“对牛弹琴，不入牛耳”，好东西并非人人都欣赏，这是个基本的事实。再高明的人，也不可对谁都讲高深的道理，而不管人能不能接受，那很迂腐。学者最忌迂腐。中人以下，不可以语上也！
亚里斯多德在其著作《形而上学》中，就最深层次的东西之所以不易被发现的原因发表了这样的观点：
“…并且困难的存在有两个方式，其原因不在事情本身而在我们自己，因为我们灵魂的理智对于一切本性上最明白的事物，正如蝙蝠的眼晴对于白昼的光亮一样。”
色诺芬尼---Xenophanes，B.C.565—B.C.473，古希腊诗人、哲学家，埃利亚派的先驱认为，只有神能认识真理，不会有错误；凡人却只能猜测和想像，只有意见。对于凡人，即使你找到了真理，你自己无法判断，别人也不一定承认。这就是他的残篇三十四：
“从来没有，也决不会有任何人认识神和我所说的一切事情的真理；即使有人偶尔说出了极完备的真理，他自己也无法断定这是真理。一切只是意见而已。”
在这里，色诺芬尼是非常自信地认为他自己已经认识了真理，所以和神一样，将自已与神并列，和一般凡人却区分开来了。
这几句诗语确实使我们确信到色诺芬尼身上所渗溢着的一种背叛者的气质。我们说不出“真理”，即使与“真理”相遇，我们也不知道那就是“真理”。我们之所以与“真理”相遇而无知，那是因为我们根本就不知道“真理”是什么，所以我们知道的仅仅是我们“创造出来的只是意见”

我的证明中的a,b,c,d这四个命题是建立在传统逻辑的对当方阵的基础上的。如果你有疑义的话，可以作一个真值表检验一下这四个命题是否合理有效，是否符合对当方阵的真值表。
可以翻阅一些权威的逻辑著作，例如美国逻辑学家欧文.M.柯匹（IrvingM.Copi）和卡尔.科恩（Car Cohen）的名著《逻辑学导论》。



你连31楼的补课都理解不了，我对你真的无能为力了。

我只扫了一眼，以为你说的是47L的第2段。也许你说的是第一段吧。

有些观点，咱俩真谈不到一块去。你上面说的就是一例。过些日子我再写几个证明帖。

asmobia 不懂证明定义。我按照逻辑规则证明了存在最大数k，但他却要求我证明被删除掉的元素具体有多少个，是有限个还是无限个。已证明出了a，却要求你必须再证明出b才算你证明了a，这简直是逻辑笑话。他的这种无理要求，表明其不懂什么是证明。下面是他31楼的原话：
“请问你在获得最大数的同时，到底排除了多少个其他的数字？
你如何证明被你排除的数字，其数量是有限个？”
已证明了x=8，却要求你必须证明“雪是白的”才算你证明了x=8，你脑残哪，你2呀！

由删不净定理证明：自然数集N和实数集R是有穷集
存在一种从一个非空的实数集盒D中删除元素，但却不可能把该集盒中的所有元素都删除掉的定理：实数集D删不净定理。实数集D删不净定理是这样的：设D是一个非空的实数集，我们按照下面的规律从D中删除它的元素：
如果实数集D中存在的元素不少于2个元素，并且在D的元素中存在数b1以及比b1更大的数，在这样的条件下，我们第1次从D中删除≤b1的所有元素；之后，如果D中剩余的元素不少于2个元素，并且在D剩余的元素中存在数b2以及比b2更大的数，在这样的条件下，我们第2次从D中删除≤b2的所有元素；之后，如果D中剩余的元素不少于2个元素，并且在D剩余的元素中存在数b3以及比b3更大的数，在这样的条件下，我们第3次从D中删除≤b3的所有元素，依此类推，…。按照这种删除集D中元素的规律，我们不可能把集D中的所有元素都删除掉（即删不干净，不能把集D删成空集)
下面我们来证明实数集D删不净定理：
在实数集D中存在的元素不少于2个元素的条件下，我们从D中删除1个元素b，则D中必然还有剩余元素。我们将这一结论称为有剩余定理。
在D中只有1个元素的条件下，我们从D中删除1个元素b，则D中必然没有剩余元素。由这一结论和有剩余定理，我们必然能得到这个结论：对于实数集D，只有在D中只有1个元素的条件下，我们从D中删除1个元素a，D中才会没有剩余元素，否则D中不可能没有剩余元素。我们将这一结论称为无剩余定理。
因为，按照实数集D删不净定理程序从D中一次接一次地删除元素的每一步骤，都遵守有剩余定理，并且没有一次遵守无剩余定理，所以，按实数集D删不净定理程序从D中一次接一次地删除元素，我们不可能把该集中的所有元素都删除掉（即删不干净，不能把集D删成空集)。
实数集D删不净定理证毕。
提出实数集D删不净定理的目的，是为了证明自然数集和实数集是有穷集。
设自然数集为A，我们应用实数集D删不净定理对自然数集A（在此情况下，D=A）的元素进行删除，并规定删除A中的元素的顺序为：按照自然数集A的元素从小到大的顺序，一个接一个地删除A中的元素。这样的话，我们便得到下面的一个关于自然数集A的删不净定理：
在A中存在的元素不少于2个元素的条件下，我们第1次从A中删除第1个元素1；之后，在A中剩余的元素不少于2个元素的条件下，我们第2次从A 中删除第2个元素2，之后；在A中剩余的元素不少于2个元素的条件下，我们第3次从A中删除第3个元素3，依此类推，…。按照这种删除集A中元素的规律，我们不可能把集A中的所有元素都删除掉（即删不干净，不能把集A删成空集）。
现在我们证明：按照自然数集A删不净定理，我们从自然数集A中能删除掉的所有元素组成的集U，就是自然数集A中的所有存在后继数的数组成的集W，即U=W。
下面证明这个结论：
对于W中的任何一个数x，因为x与其后继数x+1为A中的2个元素，不少于两个元素，所以x是按照自然数集A删不净定理，在从1开始的有限步骤内完成删除的第x个元素。这就证明了：若x∈W，则x∈U，即x∈W→x∈U。因此，W是U的一个子集。又因为U中不可能包含自然数集A中的无后继数的元素（按照自然数集A删不净定理，不允许删除这类元素），因此，U是W的子集。
这样的话，按照两个集盒相等的定义（即：若W∈U，U∈W，则U=W）可证明：
U=W
下面，我们由自然数集A删不净定理和实数集D删不净定理证明：自然数集是有穷集
有四种证法，第一种和第二种证法是严格的、无懈可击的，第三种和第四更易读懂，但说服力不如前两种证法。如果觉得理解上有困难，可参考第三种和第四种证法。
【1】 由实数集D删不净定理证明：自然数集是有穷集
令全称肯定命题a为：“按照实数集D删不净定理程序从A中删除元素，集U中的所有元素都能够被删除掉。


令与a对应的特称否定命题b为：“按照实数集D删不净定理程序从A中删除元素，集U中的有的元素不能够被删除掉。
我们知道，在形式逻辑中，命题a和b存在矛盾关系，一个是真的，另一个是假的。
现在我们证明：命题b是假的。
由命题b必可推出命题h：“按照实数集D删不净定理程序从A中删除元素”，集U中的有的元素在第1次删除操作中不能够被删除掉。
因此，由h的假，必能推出b是假的。
【反证法证明】若h是真的，那么，“按照实数集D删不净定理程序从A中删除元素，，集U中的有的数在第1次删除操作中不能够被删除掉。设f是U中有此特征的一个元素，因为f有后继数f+1，f和f+1是两个数，不少于两个，所以，“按照实数集D删不净定理程序从A中删除元素”，我们可以在第1次删除操作中从U中删除≤f的所有元素，因此f是一定能够在第1次删除操作中被删除掉的元素。
这与f是在第1次删除操作中不能够被删除的元素相矛盾。
因此，h是假的。由h的假，必能推出b是假的。由b是假的可推出，a是真的。
因为，“按照实数集D删不净定理程序从A中删除元素，不可能将A中的所有元素都删除掉，所以，在将集U中的所有元素都删除掉之后，自然数集A中必然还存在剩余元素-----无后继数的自然数，这就是自然数集A中的最大数k。由此可证：
自然数集A是有穷集。
用证明自然数集N是有穷集的相同方法很容易证明：实数集R是有穷集。
【2】 由实数集D删不净定理证明：自然数集是有穷集
令全称肯定命题c为：“按照实数集D删不净定理程序从A中删除元素，集A中的所有元素都能够被删除掉。
令与c对应的特称否定命题d为：“按照实数集D删不净定理程序从A中删除元素，集A中的有的元素不能够被删除掉。
我们知道，在形式逻辑中，命题c和d存在矛盾关系，一个是真的，另一个是假的。
根据实数集D删不净定理可知，命题c是假的。所以，命题d是真的。
我们根据特称否定命题d来证明：“按照实数集D删不净定理程序从A中删除元素”，集A中的不能够被删除掉的元素，只存在1个。证明：
“按照实数集D删不净定理程序从A中删除元素”，不能够被删除掉的A中元素的个数如果多于1个，则有此特征的元素就至少存在两个。设a和b是有此特征的两个元素，a和b必有一个数较大，设b＞a。在此情况下，a和b是两个数，不少于两个，所以“按照实数集D删不净定理”，我们可以第1次从D中删除≤a的所有元素，因此a是一定能够被删除掉的元素。
这与a是不能够被删除的元素相矛盾。
由此证明，“按照实数集D删不净定理程序从A中删除元素”，不能够被删除掉的A中元素的个数必然是1个，这个数为k，A中不存在比k更大的数，k是自然数集中的最大数。由此可证：
自然数集是有穷集
用证明自然数集N是有穷集的相同方法很容易证明：实数集R是有穷集。

这个回复是对63楼的，但我按错楼层了。

对不起，刚才家里来客人了，没来得及回复。

自然数中是否存在最未一数，决定了是否存在无穷个自然数。若不存在，则自然是有无穷个，则存在，自然数就是有穷个。

asmobia认为无穷是真实存在的，或者二者是并存的；或者二者是不相容的，只有一个是存在的。无论是潜无穷还是实无穷都仅仅是一种假设，并无实证支持，这与假设火星上有人一样。
而我的删不净定理是无可置疑的真理，由它推出的结论是有效的。

asmobia认为无穷（实无穷或潜无穷）是真实存在的，或者二者（实无穷、潜无穷）是并存的；或者二者是不相容的，只有一个是存在的。无论是潜无穷还是实无穷都仅仅是一种假设，并无实证支持，这与假设火星上有人一样。