新出炉的自然数悖论：囚犯悖论
有一座监狱，里面关押了无穷个囚犯，每位囚犯的囚衣都印有一个自然数号码，这些号码组成了一个自然数序列：1，2，3，…，n，…。
有一天，监狱方面接到大赦命令：如果一个囚犯能领来另一个囚犯，以证明自己的囚衣号码比另一个囚犯的囚衣号码更小，那么，监狱方面就必须释放他。
监狱方面按照此大赦命令，制定了如下的释放囚犯规则：
1，被释放者必须符合大赦命令规定的条件。
2，按照囚犯的囚衣号码从小到大的顺序，一个接一个地释放囚犯，即：第1个释放囚衣号码为1的囚犯，第2个释放囚衣号码为2的囚犯，依此类推，3，…，n，…
按照这一释放囚犯规则，至少有一个囚犯不能被释放，即：不会使狱中不剩一个囚犯。下面我们证明这一结论：
存在一种从一个集盒（盒应为：合）中删除元素，但却不可能把该集盒（盒应为：合）中的所有元素都删除掉的定理：删不净定理。删不净定理是这样的：
设D是一个多于两个元素的集，我们按照下面的规律从D中一个接一个地删除它的元素：在D中存在的元素不少于2个元素的条件下，我们从D中删除第1个元素a1；之后，在D中剩余的元素不少于两个元素的条件下，我们从D中删除第2个元素a2，之后；在D中剩余的元素不少于2个元素的条件下，我们从D中删除第3个元素a3，依此类推，… 。按照这种删除集D中元素的规律，我们不可能把集D中的所有元素都删除掉（即删不干净，不能把集D删成空集）。
下面我们来证明删不净定理：
设H为非空集，在H中存在的元素不少于2个元素的条件下，我们从H中删除1个元素a，则H中必然还有剩余元素。我们将这一结论称为有剩余定理。
在H中只有1个元素的条件下，我们从H中删除1个元素a，则H中必然没有剩余元素。由这一结论和有剩余定理，我们必然能得到这个结论：对于非空集H，只有在H中只有1个元素的条件下，我们从H中删除1个元素a，H中才会没有剩余元素，否则H中不可能没有剩余元素。我们将这一结论称为无剩余定理。
因为，按照删不净定理程序从D中一个接一个地删除元素的每一步骤，都遵守剩余定理，并且没有一次遵守无剩余定理，所以，按删不净定理程序从D中一个接一个地删除元素，我们不可能把该集中的所有元素都删除掉（即删不干净，不能把集D删成空集）。
删不净定理证毕。
释放囚犯规则就是一个关于自然数集N的删不净定理（简称N删不净定理）：
我们应用N删不净定理对自然数集N的元素进行删除，并规定删除N中的元素的顺序为：按照自然数集N的元素从小到大的顺序，一个接一个地删除N中的元素。这样的话，我们便得到下面的N删不净定理：
在N中存在的元素不少于2个元素的条件下，我们从N中删除第1个元素1；之后，在N中剩余的元素不少于2个元素的条件下，我们从N 中删除第2个元素2，之后；在N中剩余的元素不少于2个元素的条件下，我们从N中删除第3个元素3，依此类推，3，…，n，…。按照这种删除集N中元素的规律，我们不可能把集N中的所有元素都删除掉（即删不干净，不能把集N删成空集）。
按照这一释放囚犯规则，至少有一个囚犯不能被释放，即：不会使狱中不剩一个囚犯。
但是我们能证明：按照这一释放囚犯规则，所有囚犯都能被释放掉，即：会使狱中不剩一个囚犯。下面我们来证明这一结论：
一， 证明：按照这一释放囚犯规则，所有被释放的囚犯组成的集盒U=所有囚犯组成的集盒W，即U=W。可以这样证明：
设一名囚犯的囚衣是x号，因存在x+1号的囚犯（皮亚诺公理自然数的性质：每一自然数x都有一个后继数x+1），故按照陆续一个接一个地释放规则，他是第x个被释放掉的囚犯。由此证明，若存在一名囚犯，则按照“陆续一个接一个地释放规则”，在理论上，他必然被释放掉，并且他被释放掉必然能实现。这证明：若x∈W，则x∈U，即x∈W→x∈U，（x∈W→x∈U）→ U=W。
U=W，在理论上断言了：按照“陆续一个接一个释放规则”囚犯都出狱了。
但是许多人理解不了这个观点，认为按照陆续一个接一个地释放规则，放人过程不能进行完毕，总有一些没被释放的囚犯存在。为了彻底击溃这一愚见，我们使用证明二来结束战斗。
二，证明：按照“陆续一个接一个释放规则”，通过有限个放人步骤，所有的囚犯都能被释放掉：
我们规定，按照“陆续一个接一个释放规则”，每释放掉一名囚犯，就称完成了一个放人步骤，放掉了n个人就称完成了n个放人步骤。通过有限个放人步骤，就是完成放掉了有限个人。
令全称肯定命题a为：按照“陆续一个接一个释放规则”，通过有限个放人步骤，所有的囚犯都能被释放掉（即：使狱中不剩一名囚犯）。
令与a对应的特称否定命题b为：按照“陆续一个接一个释放规则”，通过有限个放人步骤，有的囚犯不能被释放掉（即：使狱中还剩有囚犯）。
我们知道，在形式逻辑中，命题a和b存在矛盾关系，一个是真的，另一个是假的。现在我们证明：命题b是假的：
如果b是真的，那么，按照“陆续一个接一个释放规则”，通过有限个放人步骤，有的囚犯不能被释放掉（即：使狱中还剩有囚犯）。设f是“通过有限个放人步骤”不能被释放掉的一个囚犯，因为f有后继数f+1，按照“陆续一个接一个释放规则”，f是“通过有限个放人步骤”第f个被释放掉的囚犯。这与f是“通过有限个放人步骤”不能被释放掉的一个囚犯相矛盾。
由此证明，命题b是假的，也就证明了命题a是真的。
由命题a是真的，所以：
按照监狱方面的释放囚犯规则，所有囚犯都能被释放掉，即：会使狱中不剩一个囚犯。
但是，按照监狱方面释放囚犯规则，至少有一个囚犯不能被释放，即：不会使狱中不剩一个囚犯。
二者相悖。
有一座监狱，里面关押了无穷个囚犯，每位囚犯的囚衣都印有一个自然数号码，这些号码组成了一个自然数序列：1，2，3，…，n，…。
有一天，监狱方面接到大赦命令：如果一个囚犯能领来另一个囚犯，以证明自己的囚衣号码比另一个囚犯的囚衣号码更小，那么，监狱方面就必须释放他。
监狱方面按照此大赦命令，制定了如下的释放囚犯规则：
1，被释放者必须符合大赦命令规定的条件。
2，按照囚犯的囚衣号码从小到大的顺序，一个接一个地释放囚犯，即：第1个释放囚衣号码为1的囚犯，第2个释放囚衣号码为2的囚犯，依此类推，3，…，n，…
按照这一释放囚犯规则，至少有一个囚犯不能被释放，即：不会使狱中不剩一个囚犯。下面我们证明这一结论：
存在一种从一个集盒（盒应为：合）中删除元素，但却不可能把该集盒（盒应为：合）中的所有元素都删除掉的定理：删不净定理。删不净定理是这样的：
设D是一个多于两个元素的集，我们按照下面的规律从D中一个接一个地删除它的元素：在D中存在的元素不少于2个元素的条件下，我们从D中删除第1个元素a1；之后，在D中剩余的元素不少于两个元素的条件下，我们从D中删除第2个元素a2，之后；在D中剩余的元素不少于2个元素的条件下，我们从D中删除第3个元素a3，依此类推，… 。按照这种删除集D中元素的规律，我们不可能把集D中的所有元素都删除掉（即删不干净，不能把集D删成空集）。
下面我们来证明删不净定理：
设H为非空集，在H中存在的元素不少于2个元素的条件下，我们从H中删除1个元素a，则H中必然还有剩余元素。我们将这一结论称为有剩余定理。
在H中只有1个元素的条件下，我们从H中删除1个元素a，则H中必然没有剩余元素。由这一结论和有剩余定理，我们必然能得到这个结论：对于非空集H，只有在H中只有1个元素的条件下，我们从H中删除1个元素a，H中才会没有剩余元素，否则H中不可能没有剩余元素。我们将这一结论称为无剩余定理。
因为，按照删不净定理程序从D中一个接一个地删除元素的每一步骤，都遵守剩余定理，并且没有一次遵守无剩余定理，所以，按删不净定理程序从D中一个接一个地删除元素，我们不可能把该集中的所有元素都删除掉（即删不干净，不能把集D删成空集）。
删不净定理证毕。
释放囚犯规则就是一个关于自然数集N的删不净定理（简称N删不净定理）：
我们应用N删不净定理对自然数集N的元素进行删除，并规定删除N中的元素的顺序为：按照自然数集N的元素从小到大的顺序，一个接一个地删除N中的元素。这样的话，我们便得到下面的N删不净定理：
在N中存在的元素不少于2个元素的条件下，我们从N中删除第1个元素1；之后，在N中剩余的元素不少于2个元素的条件下，我们从N 中删除第2个元素2，之后；在N中剩余的元素不少于2个元素的条件下，我们从N中删除第3个元素3，依此类推，3，…，n，…。按照这种删除集N中元素的规律，我们不可能把集N中的所有元素都删除掉（即删不干净，不能把集N删成空集）。
按照这一释放囚犯规则，至少有一个囚犯不能被释放，即：不会使狱中不剩一个囚犯。
但是我们能证明：按照这一释放囚犯规则，所有囚犯都能被释放掉，即：会使狱中不剩一个囚犯。下面我们来证明这一结论：
一， 证明：按照这一释放囚犯规则，所有被释放的囚犯组成的集盒U=所有囚犯组成的集盒W，即U=W。可以这样证明：
设一名囚犯的囚衣是x号，因存在x+1号的囚犯（皮亚诺公理自然数的性质：每一自然数x都有一个后继数x+1），故按照陆续一个接一个地释放规则，他是第x个被释放掉的囚犯。由此证明，若存在一名囚犯，则按照“陆续一个接一个地释放规则”，在理论上，他必然被释放掉，并且他被释放掉必然能实现。这证明：若x∈W，则x∈U，即x∈W→x∈U，（x∈W→x∈U）→ U=W。
U=W，在理论上断言了：按照“陆续一个接一个释放规则”囚犯都出狱了。
但是许多人理解不了这个观点，认为按照陆续一个接一个地释放规则，放人过程不能进行完毕，总有一些没被释放的囚犯存在。为了彻底击溃这一愚见，我们使用证明二来结束战斗。
二，证明：按照“陆续一个接一个释放规则”，通过有限个放人步骤，所有的囚犯都能被释放掉：
我们规定，按照“陆续一个接一个释放规则”，每释放掉一名囚犯，就称完成了一个放人步骤，放掉了n个人就称完成了n个放人步骤。通过有限个放人步骤，就是完成放掉了有限个人。
令全称肯定命题a为：按照“陆续一个接一个释放规则”，通过有限个放人步骤，所有的囚犯都能被释放掉（即：使狱中不剩一名囚犯）。
令与a对应的特称否定命题b为：按照“陆续一个接一个释放规则”，通过有限个放人步骤，有的囚犯不能被释放掉（即：使狱中还剩有囚犯）。
我们知道，在形式逻辑中，命题a和b存在矛盾关系，一个是真的，另一个是假的。现在我们证明：命题b是假的：
如果b是真的，那么，按照“陆续一个接一个释放规则”，通过有限个放人步骤，有的囚犯不能被释放掉（即：使狱中还剩有囚犯）。设f是“通过有限个放人步骤”不能被释放掉的一个囚犯，因为f有后继数f+1，按照“陆续一个接一个释放规则”，f是“通过有限个放人步骤”第f个被释放掉的囚犯。这与f是“通过有限个放人步骤”不能被释放掉的一个囚犯相矛盾。
由此证明，命题b是假的，也就证明了命题a是真的。
由命题a是真的，所以：
按照监狱方面的释放囚犯规则，所有囚犯都能被释放掉，即：会使狱中不剩一个囚犯。
但是，按照监狱方面释放囚犯规则，至少有一个囚犯不能被释放，即：不会使狱中不剩一个囚犯。
二者相悖。
