二、旋量
以单位球面赤道与复平面重合，考虑到球极投影（从北极点引出射线与球面与复平面同时相交），显然球面交点与复平面交点有一一对应的映射，而北极点对应复平面外无穷远点。这样的复平面+无穷远点，被称为扩充复平面，又被称为黎曼球面。
由简单的几何关系可知，
z=(x¹+ix²)/(1-x³)=cot(θ/2)e^(iφ)
用齐次坐标表示Z→(z,1)ᵀ，则一个三维空间的转动诱导一个黎曼球面的莫比乌斯变换，即UZ=Z‘，这其中U为2x2的复矩阵，也就是说一个SU(2)的群元可以对应一个三维空间的旋转。
对其次坐标Z归一化，就得到
ξ=[cos(θ/2)e^i(φ+χ),sin(θ/2)e^i(φ-χ)]ᵀ
即旋量（χ为不确定相位因子）
ξ=(ξ¹,ξ²)，共轭旋量ξ*=(ξ*¹,ξ*²)
可以通过泡利矩阵求张量积来得到矢量
x¹=(ξ¹,ξ²)σ¹(ξ*¹,ξ*²)ᵀ=sinθcosφ
x²=(ξ¹,ξ²)σ²(ξ*¹,ξ*²)ᵀ=sinθsinφ
x³=(ξ¹,ξ²)σ³(ξ*¹,ξ*²)ᵀ=cosθ
同理狄拉克四分量旋量也可通过狄拉克矩阵得到四维矢量。（构造狄拉克旋量最简单的方式就是将一对左右手二分量旋量堆叠（直和）得到）
也就是说旋量和矢量是2对1的关系，旋量也是比矢量更基础的表示。

三、狄拉克方程
再来看狄拉克方程，
波函数（态矢量）ψ是一组四分量旋量（iℏ∂/∂t是能量算符E，也是哈密顿算符H，-iℏ∂/∂x是动量算符P），实则是λx=Ax（忘了这个叫啥了。特征值方程？），ψ为特征向（旋）量，iℏ∂/∂t为特征值。因为E才是可以测得的物理量，所以我们可以理解到为什么本征态的ψ才是可以测量得到的态。
因为我们有四维表述，可以把iℏ∂/∂t和-iℏ∂/∂x写到一起，又可以找到γ=β⁻¹α（狄拉克γ矩阵），令ℏ=1之后，于是得到了狄拉克方程的最简形式(iγ∂-m)ψ=0。对应狄拉克场的拉格朗日量（严格应该叫拉氏密度，拉氏量是个人习惯）为
其中ψ̄ = ψ†γ⁰叫做狄拉克共轭，其中伽马0号矩阵γ⁰=γ¹γ²γ³γ⁴，于是ψ̄(iγ∂+m)=0也是狄拉克方程。（拉氏量对ψ̄ 变分得到(iγ∂-m)ψ=0，对ψ变分得到ψ̄(iγ∂+m)=0）。

四、电磁相互作用
我们知道拉格朗日量是一个不变量。当对ψ做U(1)变换时

于是狄拉克场的拉格朗日量变为
变换后拉格朗日量多出来一项-(∂^μa(x))ψ̄γ_μψ

我们想到洛伦兹规范∂_μA=0，而麦克斯韦场在洛伦兹规范下有拉格朗日不变。

于是引入一项

(∂_μa(x))ψ̄γ^μψ刚好可以抵消前面的-(∂^μa(x))ψ̄γ_μψ。
于是整体拉格朗日量就有：L狄拉克场+L引入项+L麦克斯韦场，在U(1)变换下是规范不变的。
为了确保能符合电磁相互作用，在U(1)变换引入耦合常数g，即e^a(x)→e^ga(x)

定义协变导数，则整体拉格朗日量写为

这就是表述电磁相互作用的U(1)规范场论。
其中ψ̄γ^μψ刚好是旋量和共轭旋量通过旋量度规γ生成的四维矢量。于是gA_μψ̄γ^μψ刚好是电磁力（-J^μΑ_μ）的形式，而J^μ=-gψ̄γ^μψ，g作为常量对应了库仑常数。

五、量子态
对于给定的特征值，特征向量不唯一，也就是可以有多个波函数解，如果ψ₁、ψ₂、…ψₐ都是方程的解，则aψ₁+bψ₂+…nψₐ也是方程的解，如果aψ₁+bψ₂+…nψₐ的系数为归一化的值。ψ₁、ψ₂、…ψₐ为本征态，aψ₁+bψ₂+…nψₐ为叠加态。

用0和1代替波函数ψ，
1、考虑两体粒子的叠加态分别为
|ψ₁〉=√2/2|0₁〉+ √2/2|1₁〉和|ψ₂〉=√2/2|0₂〉+ √2/2|1₂〉，
则两者直积态有
|ψ₁〉⊗ |ψ₂〉=（√2/2|0₁〉+ √2/2|1₁〉）⊗ （√2/2|0₂〉+ √2/2|1₂〉）=1/2|00〉+ 1/2|01〉+ 1/2|10〉+ 1/2|11〉，
可以看出，粒子1的状态完全不影响粒子2的状态，所以直积态又称为非纠缠态。
2、考虑这样一个双粒子态|ψ₁ψ₂〉 =√2/2|00〉+ 1/2|10〉+ 1/2|11〉
= （√2/2|0〉+ 1/2|1〉）⊗ |0〉+ 1/2|1〉⊗ |1〉
=√2/2|0〉⊗|0〉+ |1〉⊗（1/2|0〉+ 1/2|1〉）
可以看到无论是测量粒子1还是测量粒子2，剩余粒子的状态都不能完全确定，这种只能写成不同直积态的线性叠加又称为不完全纠缠态。
3、考虑这样一个双粒子态|ψ₁ψ₂〉 =√2/2|01〉+ √2/2|10〉，可以看到无论是测量粒子1还是粒子2，剩余的粒子状态都是完全确定的，这样的态又称为完全纠缠态、或者贝尔纠缠态。

六、贝尔不等式
EPR佯谬的局域实在论，提出两个假设：
1、局域性，即不存在超距作用；
2、实在性，即测量前属性确定。
对于经典概率统计，1、2均可满足；对于量子力学，1、2只能选一满足。
贝尔理论：对于一对纠缠粒子A、B，假设其产生时自旋方向就已经确定。那么设两粒子自旋方向相同为0，自旋方向不同为1，由经典概率统计可知当A、B测量方向相同，则得到得结果一定为1。
1、将A测量方向旋转θ角，B不变，设0结果概率为P(a,b)；
2、将B测量方向旋转-θ角，A不变，设0结果概率为P(b,c)；
3、将A测量方向旋转θ角，B旋转-θ，设0结果概率为P(a,c)。
则P(a,c)=[1-P(a,b)]•P(b,c)+[1-P(b,c)]•P(a,b)=P(a,b)+P(b,c)-2P(a,b)•P(b,c)，
显然P(a,c)≤P(a,b)+P(b,c)
但是实验表明P(a,c)≤P(a,b)+P(b,c)不一定成立，则局域性和实在性只能二选一。量子力学理论选择局域性不成立。
从理论也可证明P(a,c)≤P(a,b)+P(b,c)不成立，设粒子在某个方向具有本征态|ψ〉 =|↑〉，旋转θ角后新态R(θ)|ψ〉=cos(θ/2)|↑〉+ sin(θ/2)|↓〉，则P(a,b)=P(b,c)=sin²(θ/2)=1/2(1-cosθ)，同理P(a,c)=1/2(1-cos2θ)，显然1/2(1-cos2θ)<1/2(1-cosθ)不一定成立。

这些数学符号可能让你觉得很深奥，其实我觉得学习物理不应该从数学开始，很多人学物理就是做题或者背数学公式

又找到个正经的帖了，我数学功底不行回去看看数学再看这个