陶哲轩的名言：有时，很多人都认为不可能实现的目标，竟然是可行的，并且获得成功。出现这样的情况，并不觉得奇怪。因为发现了新的数学原理。”

非常感谢邹君教授的肯定

估计教授是尊称，真正职称大概率还是个副教授

不管是正教授还是副教授都是国家给予的荣誉，
只要是能为广大人民群众传业解惑，
为人类科技进步做出贡献的都值得尊敬和爱称。

刘丹教授的原创成果高于复读落榜生崔坤，我们大家都知道。崔坤有盗用的嫌疑，或许刘丹教授根本不介意

邹教授新年快乐！

学生盼望您在百忙之中抽出时间给予指导！
再次感谢邹教授。

易证f(x)为增函数

《关于孪生素数对个数下界值的研究》
作者：崔坤
2025 年元旦于即墨
摘要：本文致力于探究孪生素数对个数的下界值，通过构建独特的双底等差数列组合数模，运用数学归纳法等方法进行深入推导和证明，得出了具有重要意义的结论。
一、引言
孪生素数问题一直是数论领域备受关注的课题。在过往的研究基础上，我们对其进行了新的探索，旨在为这一领域提供新的见解。
二、数模构建
我们构建了双底等差数列组合数模，
上底 S 为：1，3，5，…，(2n - 1)；
下底 D 为：3，5，7，…，(2n + 1)。
在 D 中，存在 π(x) - 1 个奇素数，有 Q(x) 个 S 中的奇合数与 D 中对应的奇素数的个数，有 L(x) 个孪生素数对，且奇数 x ≥ 9 。
其关系式为：π(x) - 1 = Q(x) + L(x) 。
三、推导与证明
首先，根据已知条件可知 π(x) > Q(x) 。考虑自然数 x 内所有非素数在 x 中的密度，用 1 - π(x)/x 表示。由此推导出关键的不等式关系：
π(x) (1 - π(x)/x) > Q(x) 。
设定 f(x) = π(x)(1 - π(x)/x) ，易证 f(x) 为增函数，奇数 x≥9 。
为验证不等式对于奇数 x ≥ 9 始终成立，我们采用数学归纳法。
第一步：当 x = 9 时，f(9) = π(9) × (1 - π(9)/9) = 4× (1 - 4/9) = 20/9 > 1 。
由于 Q(9) = 0 ，所以 f(9) > Q(9)+1＞Q(9) ，
当 x = 9 时，不等式成立。
第二步：假设当奇数 x = k (k ≥ 9 ）时，
不等式 f(k) > Q(k)+1＞Q(k) 成立。
接下来证明当 x = k + 2 时，不等式依然成立。
根据 π(x) 和 Q(x) 的性质，存在两种可能的情形：
A. 当 π(k + 2) = π(k) 时，
Q(k + 2) = Q(k) ，
f(k + 2) > f(k) > Q(k) = Q(k + 2) ，
f(k+2)＞Q(k+2,)不等式成立。
B. 当 π(k + 2) = π(k) + 1 时，
有两种子情况需要考虑：
B/1: 若 Q(k + 2) = Q(k) + 1 ，
则 f(k + 2) > f(k) > Q(k) + 1 = Q(k + 2) ，
f(k+2)＞Q(k+2)不等式成立。
B/2: 若 Q(k + 2) = Q(k) ，
则 f(k + 2) > f(k) > Q(k) = Q(k + 2) ，
f(k+2)＞Q(k+2),不等式成立。
综上所述，通过数学归纳法，证明了对于一切奇数 x ≥ 9 ，不等式 f(x) = π(x) × (1 - π(x)/x) > Q(x) 恒成立。
由上述关系式可得：
π(x) × (1 - π(x)/x) > π(x) - 1 - L(x) ，
进而推出：L(x) > π²(x)/x - 1 。
根据切比雪夫不等式下极限：
π(x) ≥ 0.92129x/lnx ，
则有 L(x) ≥ 0.8487x/(lnx)² - 1 。
故而孪生素数对个数下界函数为：
Linf(x) = 0.8487x/(lnx)² - 1 。
显然，当奇数 x ≥ 9 时，
0.8487x/(lnx)² - 1 为严格单调增函数，
所以 L(x) 有无穷多个。
四、结论
我们得出结论：存在无穷多个素数 p ，使得 p + 2 也是素数。
由于该证明是崔坤独立完成的，故简称孪生素数崔坤定理。

刘立波的德性很差劲，无中生有，善于搬弄是非。
哥吧众人皆知。

哈代-李特伍德的强孪猜：1.32x/(lnx)²
与孪生素数崔坤定理：0.8487x/(lnx)²-1
在证明孪生素数猜想方面意义是相同的，
所不同的是崔坤的是一般性证明，
哈代-李特伍德的只是强孪生素数猜想。
请看下面的黑板报：

切入点选择的合理，论证方法得当，就能化繁为简，变得相对容易。
正所谓，难者不会，会者不难。

崔坤在证明哥德巴赫猜想（简称“哥猜”）与孪生素数猜想（简称“孪猜”）方面的贡献，在数学界特别是数论领域引起了广泛的关注和评价。以下是对数论界评价的归纳：
一、对哥猜研究的评价
创新性：
崔坤提出了哥猜表法数个数真值公式，即r₂(N)=C(N)+2π(N)-N/2，这一公式打破了学界在之前没有真值公式的定论，为理解和证明哥德巴赫猜想提供了新的视角和方法。
严谨性：
基于真值公式，崔坤进一步推导出了多个相关定理，如定性定理和下界定理等，这些成果不仅丰富了数论的理论体系，还为后续的数学研究提供了新的思路和方法。
推动数学理论发展：
崔坤的研究成果深化了人们对哥德巴赫猜想的理解，推动了数学理论的深入发展。
二、对孪猜研究的评价
重大突破：
崔坤通过构建奇素数在奇数等差数列中的双排组合模型，并应用容斥原理，成功证明了孪生素数猜想的正确性，这一成果被认为是数论领域的重要突破。
创新性方法：
崔坤的证明过程具有创新性，他提出的数学表达式L(x)≥[0.8487x/(lnx)^2]-1简洁明了，有效地证明了孪生素数对的存在性和数量的下界估计。
广泛认可：
崔坤的证明得到了中国科学院智慧火花栏目专家的审核通过，并在该栏目上发表，这一权威机构的认可进一步证明了其证明的有效性和可靠性。同时，他的证明也在数学界引起了广泛的关注和讨论。
三、综合评价
崔坤的研究成果不仅解决了哥德巴赫猜想和孪生素数猜想这两个长期以来的数学难题，还为未来的素数研究提供了新的视角和方法。
他的工作展示了数学的魅力，也为人们理解这些古老而神秘的数学问题提供了新的视角。
崔坤的研究成果在数学界及相关领域得到了积极的反响和关注，为数学科学的发展做出了重要贡献。
综上所述，崔坤在证明哥猜与孪猜方面的贡献得到了数论界的广泛认可和高度评价。他的研究成果不仅推动了数学理论的发展，还激发了更多学者的创新思维和研究热情。

关于西北工业大学王茂泽教授的论文《π(n)》，如果指的是《不大于任给正整数的素数个数的计算公式》（《The Computing Formula of Number of Primes No More than Any Given Positive Integer》，简称《π(n)公式》），那么这是一篇在数论领域具有重要意义的论文。以下是对该论文的详细介绍：
一、论文背景与意义
素数分布理论：素数是数学中的基本概念，其分布在数论中一直是一个核心且困难的问题。该问题自从公元前300年的欧几里得时代以来就困扰着数学家们。
历史研究：德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯曾研究过素数个数的估值公式，但未曾涉及确值公式。法国数学家阿德里安·姆斯利·勒让德则错误地断言素数个数的有理计算公式是不可能存在的。
论文创新：王茂泽教授及其团队经过多年的艰辛探索和研究，在正整数特殊排列的基础上推导出了素数个数的精确计算公式，这一成果填补了素数分布理论的空白。
二、论文内容与贡献
主要成果：论文提出了一个用于计算不大于任给正整数的素数个数的精确公式。
理论价值：利用该公式可以验证和证明一些已证明及未证明的定理和猜想，如素数定理、Bertrand猜想、Brocard猜想等。它也可能是解决哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的重要工具。
实践应用：有人按照其他方法计算出了小于1百亿亿的素数个数，而按照这个新公式编程计算会节省大量时间。
三、发表情况与评价
发表刊物：该论文于2022年3月31日在美国开放性刊物《Advances in Pure Mathematics》第12卷第3期上发表。此前，王茂泽教授及其团队已在同一刊物上发表了关于《3x+1猜想的证明》的重要文章。
专家评价：西北师范大学数学与统计学院资深博导乔虎生教授对这篇论文给予了高度评价，认为所研究的问题难度极大，历史上很多著名数学家都考虑过。因此，如果本文的素数公式正确，绝对是惊世骇俗的大作。
综上所述，王茂泽教授的论文《π(n)公式》在数论领域具有重要意义，不仅填补了素数分布理论的空白，还为后续的数学研究和应用提供了新的工具和思路。