格罗滕迪克宇宙公理等强于无界闭个不可达基数，允许在任意高阶的序数型上构造不可达基数。
ZFC宇宙v的子类u是格罗滕迪克宇宙:
1 .如果x∈u，y∈x，则y∈u (关于∈的推移性)
2 .如果x，y∈U，则{x，y}∈U (关于配对的结构是闭合的)
3 .如果x∈U，则Pow(x )∈u (关于幂集合是闭的)
4.I∈U，f:I→U，则∪(f )∈U (关于族的合并是封闭的)
5.U∈V (V的元素)
6.ω∈U (具有无穷集)∪(f )是⋃i∈If(i )的缩写。
ω是整个自然数的集合。
如果去掉第五个条件U∈V，v本身就是格罗滕迪克宇宙。
但是，格罗滕迪克宇宙“不过大”是个迷，所以小〈smallness〉的条件有U∈V。
low〈Zhen Lin low〉把去掉最后ω∈U的东西称为预宇宙〈pre-universe〉。
空类(空集合)成为预宇宙(虽然是虚的例子)。
也可以制作只包含有限集合的预宇宙。
也可是，更多出现与代数几何，范畴有关的领域里。
不过也仅仅是等价于强不可达性大基数的存在（即一个无限基数 κ 会使得 Vκ⊨ZFC. 它可以断言 Con(ZFC)
Grothendieck宇宙其实就是在 ZF 运算下封闭的一个类，其实质就是 Vκ ，其中 κ 是一个强不可达基数。
不过比较有趣的是Grothendieck作出如下假设：对于任意集合 X ，都存在宇宙 U 满足 X∈U 。
这个假设等价于“对于每个序数都有比这个序数大的强不可达基数”，或者“存在无界多的强不可达基数”。
Grothendieck宇宙中不一定有不可达基数，而是说Grothendieck宇宙本身的高度和宽度是不可达基数。
比如说如果k是最小的不可达基数，那么Vk是Grothendieck宇宙，并且其中没有任何不可达基数Grothendieck宇宙的封闭性质使得它强于单纯的传递模型，例如说对幂集封闭导致了它必然是不可数的，而传递模型可以是可数的。
考虑到大部分数学命题涉及的集合不会超过 Vω+ω ，(这里的两个欧米伽加欧米伽，应为小写右下角)Grothendieck宇宙是一个相当大的框架（不得不感慨集合论与其它数学分支相比是走得太偏又太远了）。
所有集合的全域可以如下递归地的定义：
V0=Φ ， Φ 是空集(φ=Φ）
Vα+1=P(Vα) ， α 是任意序数。
Vα=⋃α≺βVβ ，α 是极限序数。
最后令 V=⋃α∈ ONVα ，ON是所有序数的类。
在 ZF 里可以证明V 就是所有集合的全域。
对任意集合 x，可以定义x在全域V中的秩， rank(x)=min{α:x∈ Vα+1} ，可以证明对每一序数 α ， Vα 就是那些所有秩小于 α 的集合构成的集合，即 Vα={x:rank(x)≺α} 。
直观的说，每个集合都是由幂集算子沿着序数不断迭代产生的，每个集合都在V的某个序数前段中被创造出来。
而类可能无法属于任何一个序数前段（即 Vα )，真类与集合全域V一样“高”。
设 κ 是一个强不可达基数，那么 Vκ 就是一个Grothendieck宇宙。
并且，我们可以证明 Vκ 是 ZF 的一个传递模型。
在假设选择公理的情况下， Vκ 也是 ZFC 的一个传递模型。
反过来，假设 U 是一个Grothendieck宇宙，那么它的基数 |U| 是强不可达的并且 U=Vκ ，其中 κ=|U| 。
因此，存在Grothendieck宇宙与存在强不可达基数是等价的。
Vκ 虽然也是V的一个序数前段，但是 κ 对于它之下的那些序数是“不可达的”。
对于 κ 之下的那些序数来说， κ 就像所有序数的类ON一样，而 Vκ 对于那些属于 Vκ 的集合（即秩小于 κ 的集合）就像所有集合的全域V一样。
所以，在范畴论里将某个宇宙U元素称为“集合”无非就是指那些秩小于某个强不可达基数的集合而已。
通过假设存在Grothendick宇宙U，我们可以自由地谈论那些（相对于ZFC的）“大范畴”。
通常，我们会添加Tarski-Gronthendieck公理：
对任意集合x，都存在一个宇宙U，使得 x∈U 。
即每个集合属于某一个强不可达基数前段 Vκ 。由简单的绝对性论证可知，对一个强不可达基数 κ0 ，在一个比 κ0 更高的强不可达基数前段 Vκ1 中仍然被 Vκ1 认为是强不可达基数。
对任意一个宇宙U，定义U-small集合就是U中元素，U-large集合就是U的子集（相对于U的类），但是U-large集合在某个比U更大的宇宙里又是“小集合”了。
类似的可以定义U-small范畴和U-large范畴。
这样在使用范畴论的时候，我们总可以在一个足够大的Grothendieck宇宙中工作，从而避免在ZFC中无法直接操作大范畴的困难。
