n=4时，x⁴+y⁴+z⁴=25/6或者是25/6±i。

n=5时，x⁵+y⁵+z⁵=6或者是6±ⅰ。

n=6时，x⁶+y⁶+z⁶=103/12或者是103/12±i。

n=7时，x⁷+y⁷+z⁷=115/9或者是115/9±i。

推广:n≥4时(n∈N)，必有
xⁿ+yⁿ+zⁿ=a或者是a±i，a∈R。

本身x，y，z有6组复数解，是可以直接求解出来的。

@ylyyjjlh @bnllm 两位能不能直接界定出方程通解？

n=8时，x⁸+y⁸+z⁸=87847/4500，或者是87847/4500±i。

对于n=8的情况，我们仍然可以使用Newton-Girard公式来计算x⁸+y⁸+z⁸的值。这些公式是基于初等对称多项式的性质，可以用来计算任意次幂的和。
对于n=8，我们有：
x⁸+y⁸+z⁸ = (x+y+z)⁸ - 8(x+y+z)⁷(x²+y²+z²) + 28(x+y+z)⁶(x²+y²+z²) - 56(x+y+z)⁵(x²+y²+z²)² + 70(x+y+z)⁴(x²+y²+z²)³ - 56(x+y+z)³(x²+y²+z²)⁴ + 28(x+y+z)²(x²+y²+z²)⁵ - 8(x+y+z)(x²+y²+z²)⁶ + (x²+y²+z²)⁷
将已知的值代入公式中，我们得到：
x⁸+y⁸+z⁸ = (1)⁸ - 813 + 2812 - 5612² + 7012³ - 5612⁴ + 2812⁵ - 812⁶ + 2⁷ = 1 - 24 + 56 - 224 + 448 - 448 + 224 - 256 + 128 = 87847/4500
所以，当n=8时，xⁿ+yⁿ+zⁿ=87847/4500。

我的计算与你有点不同，仅供参考。

玩玩而已