求助请教下微分几何里弧微分定义

在微积分中，弧长通常是通过极限的概念定义的。具体地说，假设有一条曲线，可以用参数方程表示为 X= f(t) 和y= g(t)，其中 a< ts b。那么，弧长 S定义为:
S = limat0 Z (Ax)2 + (Ay)2
其中，极限是取的所有小区间的极限，而 Ax;和 Ay 是相应小区间上的变化量。这个定义的极限过程可以理解为在曲线上取一系列的点，连接这些点，然后让这些点的个数无限增加使得连接的线段越来越接近曲线，最终得到的极限即为曲线的弧长。
接下来，让我们来看看如何证明 ds = dx2 + dy2
我们有参数方程 X= f(t) 和 y g(t)。弧的平方 ds2 可以表示为:
ds' = (dx)2 + (dy)?
其中
dx= f(t)dt
dy = g'(t)dt
将这些代入，我们得到:
ds' = (f(t)dt)2 + (g'(t)dt)2ds' = (f(t)2dt + (g'(t)2dt
ds' = [(f(t)2 + (g'(t)dt
现在，我们将 dP 移到等式右侧，得到:
器 =(f(t)2+(g(t)这个等式表明，曲线弧长平方的导数等于 X方向的导数平方与 y方向的导数平方之和。如果 f(t) 和 g(t) 是可导的，并且在某个区间上连续，那么可以对 t进行积分，得到:s= I √(f(t) + (g'(t)2 dt
这就是曲线弧长的一般表达式。在具体的问题中，可能需要根据实际情况来确定 ft) 和 g(t的具体形式，并进行相应的积分。

我刚好写过这类文章，有机会你可以看看

曲线的弧长被定义为一个有界数集的上确界，(作为必要性条件)然后据此进行推导出“内折线段长度＜弧长＜外切线段长度”，并且利用此不等式证明出它们的差是一个等价无穷小或者较自变量的改变量的高阶无穷小，，，或者等价于一个“有界变差函数”(根据实变函数论或者测度论，有界变差函数为可求长的)。。。。接着充分性，可由此不等式推导出曲线弧长表达式是一个“有界变差函数”，而此刚好就是利用折线或者切线段逼近曲线弧长的理论依据。。。。。。并非像楼上那种简单推导“弧长积分的计算法则”。。。。其中得到不等式比较繁琐