这种割裂，无疑就对Kruskal坐标系能否作为Schwarzschild坐标系的延拓打上了问号。
　　随后来看我在后面给出的一种纯游戏的坐标变换：r=2M+2M*exp(u/2M)（这里取r0=1/l=2M），从而逆映射为：u=2M*ln(r /2M-1)。在这种映射下，显然新的坐标系只能映射到r>2M的Schwarzschild坐标系的部分，r<=2M的部分都无法对应到。但，如果我们以开始至看到这个坐标系而不知道Schwarzschild坐标系的话，我们如何能知道r<=2M部分的存在呢？而且，这个坐标系下的度规是显然没有奇异的。
　　再来一个例子，请看Schwarzschild时空的嵌入图，取r=2M+z^2/8M，这里z就是嵌入的维度。这样，在空间，我们的世界就是五维时空中的两张通过一个洞连接起来的膜，而这个洞的形状又可以通过抛物线函数来连接。在这个情况下，连接上下两张膜的抛物线形洞的“中央”就是r=2M的圆环，虽然这个圆环在有限的坐标时间内是无法达到的，但在自由落体者的坐标系中，有限时间内可以达到并穿越这个圆环，从而从上半膜进入到下半膜——在下面就是从黑洞中辐射出来。虽然这两件事情都需要经过无穷长的坐标时间才能完成。
　　因而，这里就有两个问题：
　　1，嵌入图的坐标明显没有r<2M的部分，但嵌入图的时空在上下两张膜上都能与Schwarzschild坐标的r>=2M的部分相容。既然如此，为何我们要说Kruskal坐标是对Schwarzschild坐标的延拓而嵌入图就不是呢？事实上，如果将两个Schwarzschild坐标的r<2M部分减去，然后在r=2M部分粘合，这样构成的类似具有双黎曼面的复合流形与嵌入图所描述的流形是微分同胚的。因而，这里就抛出一个问题：如何通过一个数学上的坐标系来判断它究竟描述了哪个物理上的时空，以及哪些部分能描述时空而哪些部分不能？
　　2，坐标时间无穷远的未来才能实现的事情，在自由落体观测者的有限内秉时间内能够实现，那么在这个“有限时间”之后发生的事情，到底是否存在？也就是说，从坐标时间来看，自由落体者需要经过无穷场的时间才能到达视界边界，而自由落体者看来有限的时间就可以，比如说需要经历时间T。那么自由落体者看来的 T+1这个时刻到底是否存在？在嵌入图坐标系中，这个时刻貌似是可以存在的，但在别的坐标系中呢？比如在标准的Schwarzschild坐标系中，这个情况就是不可能发生的。那么，到底哪个坐标系描述了真实的物理？
　　对于第二个问题，事实上在很多Schwarzschild坐标系的变形坐标系（这里先不说是否满足相容性条件）中，原本发生在t为无穷出的事情都会被奇迹般地放到有限的坐标点上完成。比如自由落体者的Eddington-Finkelston坐标系，通过u=t-ln|r/2M-1|将无穷远的未来发生的事情拖到了有限的u处。
　　但是，对此事实上我们无能为力，因为作为物理时空的数学描述的坐标系，我们现在并不能说Schwarzschild坐标系就是对的，它的坐标t就是时间，而EF坐标系就是错的，它的u就不是时间。我们完全没有能力说这句话，因为我们并没有一个判定什么坐标系才是“最贴切描述自然”的评判标准。
　　所以说，一些从Schwarzschild坐标系看来是不可能发生的事情，在EF坐标系或者别的坐标系看来，就可能发生了，比如测地线穿越了视界。
　　这也可以说，是坐标系的冗余自由度带来了一些非物理的不自然的结果。但如何消除这些冗余自由度我们还不知道。也许谐和坐标条件可以给出一些信息，但从谐和坐标条件看来，Schwarzschild坐标是不满足条件的，内向与外向的Eddington坐标也不满足条件，空间部分各向同性的各向同性坐标系（r=r'(1+M/2r')^2）也不满足这个条件，Kruskal坐标也不满足。可见，这个谐和坐标条件有多么苛刻。如果认为不满足这个坐标条件的坐标系不能完整且不给出多余信息地描述宇宙的话，那上述所有坐标系都不满足条件，从而都不是“物理的坐标系”。
　　在我看来，对于Schwarzschild坐标系中的坐标无穷远“以后”发生的事情，都是非物理的事情。因为，先不考虑量子之类的物理，就考虑完全静态的史瓦西时空，并且认为它是物理的，那么无穷远坐标时间这件事情本身就说明从静止观测者（标准史瓦西度规的话，就是无穷远的静止观测者）看来，无穷远坐标时间发生的事情都是不可能出现的。当然，这里还有一些很细节的内容，这个等下再说。


　　在Rindler坐标中，用3中的方法可以发现，也必然会在有限长长度后测地线碰到奇点，这是因为Rindler坐标转换到平直时空中后，是t=x与 t=-x所夹四个区域中沿着x正向的区域，因而任何测地线都必然会有一部分在有限长距离后遇到奇异性区域——t=x或t=-x。可见，Rindler坐标的奇异性的确完全源自坐标选择的错误。当然，事实上x=0的位置，Rindler坐标与平直坐标系是不能相容的。而在Rindler坐标系的x为无穷远处也是一个奇异性的所在，这对应的是平直坐标系的无穷远，所以同样都是不可达到奇异区。
　　从这个例子可以看出，奇异性可以分两种——可得到的奇异区与不可达到的奇异区。前者是真正的奇异性的所在，而后者我们可以不用考虑。为什么要强调这个呢？因为我们可以看这么一个例子——
　　在平直的球坐标系中，取u=exp(-r)，这么一来，原本的r=0就跑到了现在的u=1的位置，而r为无穷的无穷远边界则跑到了u=0的位置。在这个里外颠倒的坐标中（说明：u=0与u=1是两个坐标映射失效的地方），u=0的位置恰恰是不可达到的奇异性所在（现在的线元为 ds^2=du^2/u^2+(lnu)^2dS^2，dS^2为球面面元），其径向测地线方程为：dv/ds=v^2/u，方向朝外，所以u=0点是不可能达到的。
　　这里又要说一下延拓的话题了。上述里外颠倒的坐标系中，如果要延拓的话，自然可以取u>1的部分。但在上述图册变换下，u>1的部分在平直时空中是不存在的。既然如此，如何能做u>1的延拓呢？于是还是那个老问题：坐标系与真实时空的关系到底如何确定，众多坐标系的时候到底要如何选择？
　　就比如平直坐标系，我们完全有可能在做了里外颠倒以后将其延拓到原本压根就不存在的区域中去。还比如Schwarzschild嵌入坐标，其下半膜也可能是完全不存在、由于数学上的技术性操作而多出来的非物理的“鬼物”。
　　还是回到奇异性的话题。对于奇异性来说，其可达到的奇异性区域才是有意义的奇异性区域。比如Schwarzschild坐标中r=2M的部分。而且，一般而言，也不存在将这个奇异性完全消除且同时保证图册相容性。比如Kruskal坐标，其在r=2M部分是不满足相容性条件的，所以我们有理由怀疑这里 Kruskal延拓的合理性。而Eddington-Finkelstan坐标也存在问题，且不说从整体上看与Schwarzschild坐标的映射函数不是一一对应，局部上说，在r=2M处映射函数也依然是非光滑的。Eddington-Finkelstan坐标系在r=2M处的表现非常“合理”，没有任何的奇异性，但对应回Schwarzschild坐标系会发现，其r=2M出的不间断曲线在Schwarzschild坐标系中是两段永远不可能相交的测地线，分别是一段在r>2M处，一段在r<2M处。
　　我们可以类比平直时空的里外颠倒坐标系，在u=1的位置的径向向外的直线可以自由且毫无障碍地通过这个球面，因为整个坐标系对应的度规的唯一奇异性只在u=0的地方。但我们知道u>1的地方在原本的平直时空中是压根不存在，虽然在里外颠倒坐标系中任何径向测地线都可以穿过这个球面到达那“压根不存在”的区域。
　　当然，往细致了说，这里也是有问题的，因为在现在的坐标系映射下，里外颠倒坐标的拓扑是很特殊的——u=1的整个球面都被拓扑到了一点上，也就是说，这个欧拉示性数为2的球面，对应的是欧拉示性数为1的点，所以整个里外颠倒坐标系的拓扑不是寻常拓扑（自然拓扑）。但从现在所取的图册来看，则依然会出现 “跑到不存在”这么一件很奇怪的事情。
　　Kruskal坐标以及Eddington-Finkelstan坐标都有着与里外颠倒坐标相同的问题——尤其是Kruskal坐标，它的U=V=0 的点也是改变了拓扑了的。Eddington-Finkelstan坐标则在世界上是给原来的Schwarzschild坐标补上了无穷远边界，所以本质也修改了流形的拓扑——大家都知道，一个无穷大二维平面如果补上了无穷远点，那么就和原本的平面不同胚了，而这个无穷远点的补充方法将给出不同的拓扑空间。


　　最后总结说来，就是基本上不存在不破坏图册相容性也不改变拓扑结构的坐标变换方法来消除一个度量流形的可达到奇异性区域。
　　相比来说，嵌入图的操作虽然改变了拓扑结构，但在保证图册相容性方面倒是很出色。
　　下面说点别的东西。
　　在证明只收到引力与规范力作用的点粒子世界线的线元（g_ij U^i U^j）沿着世界线是不变量的时候，发现一个很有意思的问题。
　　有兴趣的人可以从带电粒子的拉氏量来推导其测地线方程，最后会发现这么一点：
sqrt(G) e g^ik U^j F_kj=U^j D_j U^i -U^i U^j (D_j G)/2G
　　其中G=g_ij U^i U^j。这个方程的解是很困难的，但是如果和无电荷的情况相比，则发现有点有意思的东西。对于无电荷的情况，上述方程可以下为如下形式：
U^j D_j U^k (delta^i_k-U^i U_k /G)=0
　　括号中的部分是一个张量，而且显然不可能为零，行列式也不为零，因而其解就是U^j D_j U^k=0，自然就能证明U^j D_j G=0。但在有电荷的情况，就比较麻烦了。
　　对此，我们先看这个方程的一部分：sqrt(G) e g^ik U^j F_kj=U^j D_j U^i。如果这个部分成立，我们自然也能有U^j D_j G=0。这点很容易证明，等式两边同乘一个U_i就好了，左边是2-form与两个U的乘，结果自然是零，而右面就是U^j D_j G（除个2）。
　　而如果U^j D_j G=0，那么原始方程中被去掉的部分也就自然为零了。
　　可见，满足下面这个方程的所有曲线都是原始方程的解，但反过来是否成立呢？是否存在满足原始方程而不满足简略后方程的解呢？
　　这个问题很有意思，可以这么总结：
　　现有偏微方程F(x,dx)=A(x,dx)，如果已知F(x,dx)=0的所有解函数都是F=A的解，那么是否存在是F=A的解而不是F=0的解的解函数呢？如果存在，其存在条件是什么？
　　现在考虑这么一个简单的情况：如果F=A不能写作比如FG=0的情况，也即方程不可分解，那么F=A存在不是F=0的解的条件是什么呢？
　　从柯西定理可以知道，许多类偏微方程的解由两样东西决定，一个就是这个偏微方程，另一个就是边界数据集。一旦两者确定了，那么解就能唯一确定。因而，如果F=0与F=A具有相同边界（这里的边界意义很广，比如流形中如果存在无定义区域，那么这个区域就必须要提供边界，而不单单指最外围的边界，比如无穷远边界），而且F=0的所有解能够跑遍边界上的所有边界数据集，那么从柯西定理可知，F=A的所有解也都被囊括了。
　　不知道这个证明是否足够强劲，有兴趣的朋友不妨一起探讨探讨。

　　我并没有挑战奇异性的定义。
　　图册相容性条件与奇异性的判定是无关的，它只关系到这两个图册（坐标系）所描述的流形是否微分同胚。

15楼：
　　没事，大家一起学习嘛，哈哈～～
16楼：
　　鸭梨表示鸭梨的确很大……