最近想到一个超级水的东西，我拿给师兄做。但是我心里还是忐忑不安，我非常确定这个东西真的很水，然后今天我去隔壁找知道博后聊了一下，他果然一眼就看出这个东西非常水，说文章很难发出去。。。这真的令我羞愧难当，也让我清醒了许多。我必须相信自己的判断，不能搞水的东西了。

最近发现中文做笔记特别快，分享一下，但愿有用。
量子霍尔效应 David Tong
我们首先要考虑一下经典力学如何解释金属的电阻的，阻力应该来自于碰撞。平均碰撞时间越长，导电性越好。你总是可以把它唯象地写出来。然后我们再加上磁场，你仍然可以写出一个方程。这个方程忽略了材料中的势能，想象一下，电子是不可能跑到材料外面的。然后你会惊讶地发现，如果碰撞时间无穷长的话，xx方向的电导是零，这是由于磁场造成的效应。然后我们可以研究一下这个问题的量子版本。首先考虑没有电场的情况，因为我们想研究的是电导，也就是对电场的响应，总是可以假设电场是很小的，我们只需要把哈密顿量写出来，然后用代数的方法就可以看出其本征值和谐振子是一样的。然后我们可以讨论简并度。这里关键的东西在于，如果取朗道gauge的话，电子的波函数是带状的，我们要求它的中心不会跑到材料外面，就会发现每个朗道能级都会有同样一个简并度。在整数霍尔效应中，我们可以发现哪些平台正好对应着正好占满v个朗道能级，这时候电子不容易激发上去，宏观来看，碰撞时间是无穷场。xx方向的电导是无穷长，整数霍尔效应效应可以用无相互作用的模型解释。当有电场的时候，简并的情况可以缓解。不过我们的模型太理想化了，实际的样品总是会有点杂质的，也就是有disorder的。无序首先会让简并的朗道能级散开，其次是可能会形成一些局域化的态，我们可以做一个半经典的分析。
首先考虑一下Berry相，我们考虑一个带参量lambda的哈密顿量，并且假设他是gaped，我们缓慢地改变lambda，在这个过程中避免发生能级交错。然后我们回到初始条件，那么基态波函数应该会回到自己，可能会差一个相位。我们考虑参数是随着时间缓慢变化的，这样就可以写出薛定谔方程，我们得选取一个参考的态，它的相位是我们任意给定的。那么任何一个解psi与参考态只会差一个依赖于时间的相位因子U。可以选择最开始的时候，psi的相位与参考态一样，对psi的时间求导可以方便地用链式法则，你就会得到U star U dot怎样依赖于参考态和lam。这样就可能自然地定义联络，然后把转回来差的相位写成一个积分。相位只会依赖于我们选择的路径与参考态。参考态究竟要如何选择呢？我们需要证明相位差和参考态的选择无关。如果我们选择不同的参考态，你会发现Berry联络只会差一个规范变换，所以相位不会改变。所以Berry相是不依赖与参考态的选择的。我们的具体做法是写出带参量的哈密顿量，然后计算他的基态，选择一个参考态n，n是lambda的函数。用berry相可以自然解释诸如AB效应这样的东西，因为粒子可以装在一个box里面，然后绕着一个螺线管转一圈，相位差正比于磁通。我们考虑一个螺线管，那它就会产生z方向的磁场，如果一个电子在螺线管外面的一个固定半径的圆上运动的话，那容易看出它的能谱正比于（n加磁通）的平方，因此如果磁通是量子的，则能谱不会发生改变。如果我们把磁通从零开始调，增加到某个量子磁通的时候，就会发现体系的波函数应该转回去，不过可能差一个相位。

quantum scar
我们对量子多体系统很感兴趣，会想知道它是如何随时间演化的，它怎么变成热态的。而且有时候在有温度的情况下，有些信息也不会丢失。有些体系总是会热化，比如带有黑洞的ads cft系统，混沌系统。所谓本征态热化其实就是说考虑一个很大的复杂系统，不管它从什么态出发，其小子系统的约化密度矩阵会很快趋向于热态。如果某个量子多体系统永远不会热化，则叫它many body局域化。也就是子系统和大系统不会发生能量交换，这种系统在任何初态下都不会热化，这简直太神奇了。
还有一类系统，它几乎总是热化的，也就是说它不热化的态比较少。热化态构成的希尔伯特空间的维数是某个参数L的exp，而非热化态的希尔伯特空间大小是L的多项式增长，如果是一维自旋链，则L可以取为其长度。取某个子系统A，热化态的纠缠熵就是热力学熵，SA会正比于A的面积，而非热化态确正比于SA面积的对数。我们可以考虑体系的所有态，对于某个A，画出SA随着态的能量的关系，大部分态会停在一个山形线上，而极少的态是孤立的，他们是非热化态。非热化态是如此之少，它们有什么用呢？在哈佛的lukin组做出在实验上做了热化的态。另外一个问题是怎么找到有quantum scar的系统呢，有一个答案是那些具有非阿贝尔对称性的系统。假设一个系统有某个对称性S，比如总自旋，我们就可以把系统按照自旋分块对角化。。额，后面没记

Tadashi 纠缠熵
第一节课主要讲一些定义，纠缠熵满足一个强加公式，AB加BC大于等于ABC加B。这个条件说明纠缠熵是区域的concave函数。纠缠熵可以作为描述相变的拓扑序，比如Ising自旋链，量子场论中的UV发散来自于纠缠边界附近的量子比特，他们隔得太近了。在空间为一维的CFT中，纠缠熵的形式是区间长度对数。QFT中有费米面附近的情况也有类似的对数行为，我们引入边界厚度epsilon来表征发散。温度为beta的密度矩阵exp 负beta可以利用欧式空间的路径积分定义，如果我们考虑场论，那就是温度为零，在时间上p克场，二维空间可以用z zbar描述，我们利用的技巧是通过一个分数次幂变换把Sigma n打到有cut的C上，当你绕着支点转动，正好就到了下一个平面。具体的讨论可以见相关文章。
然后我们考虑纠缠熵与c定理之间的关系，主要文献是0505111。考虑具有洛伦兹对称性的时空二维QFT的基态，这时候的纠缠熵不等式变成了SA加SB大于等于SA并B加SA交B，我们可以画成三角形的样子，这里画三角形的意义是你总可以构造lA乘lB等于LA交B乘lA并lB，而且如果取la等于lb的话，我们可以把这些区域都用x y的e指数写出来，从而我们可以把之前的不等式变成S x满足的不等式。你可以证明S关于线段长度是concave函数，设x等于区间长度的对数，则S x对x的两次导数小于零，考虑RG，我们可以知道S x在共形场论情况下等于三分之c乘log l，所以S x的一次导数最后会流到三分之c，而且它是单调递减的，所以是一个c function。如果考虑QFT的一般激发的话，这时候洛伦兹对称性和平移对称被破坏，这样的话我们就不能画出之前的三角形，把纠缠熵不等式写得好看。我们定义A等于l1到l3的，B等于l2到l4，这样之前的不等式就写成l1到l4的形式，然后考虑S作为端点l1 l2的函数，这样从不等式可以得到S对l1 l2的偏导数大于等于0，因为这个东西等于在l1 l2相互纠缠对的密度。
然后我们考虑全息纠缠熵，AdS里的引力对偶与边界的CFT，推广一下就是渐进AdS里的引力等于deformation的CFT。注意我们这里考虑的AdS是引力的某个静态解。边界上某个区域A的纠缠熵等于其往bulk里长的极值曲面的面积。如果极小值曲面有好几个，要选最小的那个。我们可以大致check一下这个结果。因为取边界的时候，如果用Poincare patch的话，边界是z等于epsilon的地方，如果我们只看leading的发散的话，只有接近边界部分的曲面有贡献，这就是A的边界长度除epsilon的d次幂，这正是纠缠熵的面积律。前面的因子是R to d除GN，正好是体系的自由度个数，对于大N理论，这是N方。你同样可以用极小曲面的语言，检查纠缠熵的不等式。全息公式可以很顺利地推广到依赖于时间的边界情况。全息公式并不是故事的全部，我们可以考虑高阶导数修正，这个修正大概正比于弦的长度除R，是远远小于1的，另一个修正是量子修正，大概是普朗克长度除R，修正的例子可以是Gauss Bornet引力，见1101.5813。我们可以用AdS3CFT2对偶来得到之前计算的结果。另一个有趣的例子是BTZ黑洞的情形，边界是z等于0，phi从0到2pi，中心有一个黑洞。我们的短程线不能跨越黑洞。这时候gamma A不等于Gamma b，因为我们要求gamma b与b必须是同伦的，而黑洞可以理解成时空的defect。Sa不等于Sb的原因是这个态不是纯态，因为黑洞是有温度的热态。当a非常小的时候，可以发现Sb减Sa等于绕着黑洞视界的圈，这就是黑洞的热力学熵。
下面是全息纠缠熵的证明，见1304.4926。计算纠缠熵的关键是计算n copy粘起来的流形Sigma n上的佩芬函数Zn，然后把n解析延拓。Sigma n也可以作为边界，有一个bulk的引力对偶。考虑单个Sigma 1的空间部分。考虑一个例子，比如BTZ黑洞，边界是phi等价于phi加2pi，我们把边界copy为n份，就是令phi等价与n乘2pi。一般来说，我们用tau坐标来表示n copy的Sigma n，然后利用AdS CFT对偶，边界的路劲积分等于bulk里的某个静态引力解下的场的路径积分。在奇点附近的度规应该长得像ds方等于dr方加r方除n方乘dtau方，这个可以保证在那个点附近时空是平的。这里的n的分母是由于tau是从0跑到2pin的。由于我们要求phi tau等于phi tau加2pi，所以边界为Sigma n的引力路径积分，等于n乘以Sigma 1为边界，原来图的n分之一的路径积分，也就是Z hat Sigma n，这时tau只的周期是2pi，度规里的n因子导致奇点附近是singular的。注意纠缠熵的公式里我

想坚持推完一本数学书，可是butterfly引理都推不动，。太垃圾了。

老师让我干的事情本质上没有什么可以挖掘的，但是我的推进速度真的太慢了，昨夜看文教主的YouTube讲课，心态略崩。

周末去看那些高引文章，Hubbard这篇算关联函数的文章，本质上在于利用高斯积分。note已更。

周末看了这个文章，感觉有点意思。

湖北民歌《绕棺》
灵前一柱香，袅袅上天堂。
灵前一杯酒，未见亡人尝。
灵前一对烛，孝子哀哀哭。
哭声亲生父，断了阳间路。
灵前一碗油，风吹二面流。
细细拨灯草，点到五更头。
手拍棺材盖，孝子哭哀哀。
哭声亲生父，何时得转来。
三三登上品，两两上天堂。
逍遥经书下，快乐宝莲宫。
七七十四九，罪孽朝朝有。
平时不修善，临行空着手。
日日多遭罪。时时不肯修。
天晴不走路，等到雨淋头。
诸佛菩萨会，众生不肯修。
化作白莲台，广度世上人。
生是众人的开始，死是众人的结局。灵前的烟，酒，烛，都是新鲜的，动着的事物，它们都是攒动的世间的人制作的。烟的上升，酒的挥发，烛的燃烧，一切都代表永远在运动的瞬间。而亡人确是永久平静的，一息不存，一举不动。亡人不再是一个生命体，只剩下渐渐腐烂的躯体。每个人都有一天离开阳间，可是阳间好像也是永久的。生离死别的痛苦，众人都要经受。尊贵者颐指气使，卑贱者顺首低眉。古代君王的墓，或掘地成宫室，封土成丘，或因山为陵，藏以金玉。而平凡人之死，或填城墙，或杀为殉，或随棺为腐土，或随田犁翻出。

独立桥下对烟雨，凄凉墙壁映孤影。
自有行人来复去，似我非我一梦醒

今秋月又满，何曾复旧时。
白霜铺大路，清辉照流池。

富家取新妇，旧物不堪多。便拟相送我。
推车出沟巷，暮上凤凰坡。父子谈笑又喜乐。
既过三叉口，来往皆轿车。来去如银河。
既到主人家，一张茶几两沙发，一并相捆扎。
我在后面推，父在前头把。
推过小区口，下过长坡道，小心终到家。
四邻来相看，月影渐西斜。
沙发后复坏，丢弃草丛中。
儿童嬉戏常围绕，弹簧露出木板空。
而后火烧尽，须臾便成灰。
儿童也散去，不久蓬草累累。
常有蟋蟀鸣，使我心不宁。
闲居看诗经，忧思怀远人。
几桌才可过膝高，中间曾放养虾盆。
曾见虾褪皮，一挣便脱身。
旧壳成往事，今人非故人。
后来又搬家，家具都采新，旧物皆不寻。

往昔高考后，便觉一身轻，夕阳撒路铺黄金。
便回家乡转，来到儿时居。
蜘蛛结窗帘，床上耗子窝。
来到松树林，沿路寻到外婆家。山腰看见院无人，关门闭户心慌慌。
及到跟前确无人，只有外婆毛线帽子挂门。
人说外婆赶场去，钥匙就在帽子中。
便到后院另一家，家家都是外公外婆家。
姨妈为我做炒饭，院前依依遇见她。
伊只九十岁，天真无邪思。
将我书翻乱，问我书上词。
下河不怕提裙子，徒手能够捉蜻蜓。
心地似夏天光明，眼睛如黑夜纯净。
春兰生在草丛，百合长于荆棘。
纷纷多少事，一并为空尘。
人去屋倒塌，墙门生霉衣。
偶到故地游，但见花如旧。
不见花下人，独立西风瘦。

花开成五色，蜂蝶相追逐。
浩浩望四方，霭霭白云浮。
每日出门去，临路意踟蹰。
观此沟渠水，众生皆蠕蠕。
回望故乡远，荆棘满长途。