（续）
上面这段措辞，添加一些“言外之意”，可以写成：
“自立公理”：如果“0.9…循环”要等于1，它必须“从某一个位开始进位变成1”；
但是：它每位都是9，任何一位都没有“开始进位变成1”；
所以，“0.9…循环”不可能等于1。
这就是第一种模式。
显然，这里的“自立公理”：如果“0.9…循环”要等于1，它必须“从某一个位开始进位变成1”是大错特错的。
不妨想想，假如可以这样自立公理的话，岂不是还可以证明0.2≠1/5,0.5≠1/2，0.0625≠1/16……？
如：
“自立公理”：如果“0.2”要等于1/5，它必须“从某一个位开始进位变成1/5”；
但是：它任何一位都没有“开始进位变成1/5”；
所以，“0.2”不可能等于1/5。
这个模式的错处太明显。或许，原作者的本意不是如此？
那么，换一种解读试试？
（待续）

（续）
对作者的原意，上面举了两种解读，分别属于第一种模式和第二种模式。
上面说的是“凡基本条理还清楚者，大都出不了这两种模式”，
条理不清楚者，则还可能有别的稀奇古怪的模式。
比如，这些年和某些朋友交谈时，还常常遇到不是偷换概念，而是是偷换修饰词，把“是”换成“不是”，把“不等”换成“相等”，把“不同”偷换成“一样”，……整体逻辑框架貌似完整，偏偏其中最关键的词语却用反了，结果大谬。姑且就叫做“第三种模式”吧。如下面这种解读：
0.9加上0.1，可以进位变成1；——0.9不等于1；
0.99加上0.01，可以进位变成1；——0.99不等于1；
0.99…99加上0.00…01，可以进位变成1；——0.99…99不等于1；
0.99…99型的有限小数，不管多少位，总存在一个0.00…01型的最后一位非零（因而该数非零）的数，加上后可使它进位变成1；——0.99…99型的有限小数，不管多少位，都不等于1；
而“0.9…循环”不是有限小数，不存在最后一位，不可能有这种形式的非零的数，和0.99…99型的有限小数“一样”，所以它也不可能等于1。
这段话错在哪？很明显，最后一段明明说的是“0.9…循环”和0.99…99型的有限小数如何如何“不同”、“不一样”，却莫名其妙偷换成了“一样”！
所以，结论恰好反了。
这种错误虽然看起来不可思议，但这些年在网上交谈中，遇到不止一次了。
（待续）

措辞通常都不是完整的，所以读者的理解往往需要“猜”。
那么，还有没有其他可能的意思？
不妨设想一下，分别讨论讨论。
比如，原意是否有可能如下？
序列0.9,0.99,0.999，……，其中
第一项不等于1，差了0.1；
第二项也不等于1，差了0.01；
第三项也不等于1，差了0.001；
…………
该序列的每一项都不等于1，差了一个非零的数；
所以，该序列的最后一项“第无穷项”，也不等于1。
这一段叙述中错在哪？
错在：无穷序列中不存在“最后一项”，“第无穷项”更不是无穷序列的最后一项。
因为，不存在一个叫做“无穷”的自然数。
可以有“第100”、“第200”、“第201”、……但不可以有“第无穷”。
也许有人为了省事说话不严格说了“第无穷项”，如果不是概念糊涂，那么他的本意一定不是指无穷序列的“最后一项”，而是指序列的极限。“极限”的定义教材上已经有严格的叙述了。
（待续）

如果只说“一个数”，而不管其表示形式，可以是比较客观的；
也就是说数本身的性质可以和表示形式无关。
但具体说到它的表示形式，则可以包含一定人为因素在内。
例如，同一个数，不同进位制下，表示形式就不同。
我们已经知道，十进制下，1和0.99……循环代表同一个数；
同样道理，八进制下，1和0.77……循环代表同一个数；
三进制下，1和0.22……循环代表同一个数；
即使是确定了进位制以后，也仍可以有不同表示形式。如分数形式和小数形式。
即使同为小数形式，同一个数也有可能有不同的表示。
例如：十进制下：“3.42”和“3.4199……循环”，代表的是同一个数。
类似的，任何一个有限小数，都可以写成两种形式，如
3.8和3.799……循环代表同一个数；
0.5和0.499……循环代表同一个数；
等等。
但是，像1/3那样，本来就不能写成有限小数的，则只有一种表示形式了：
即0.33……循环。
上面说的是十进制，假如换一种进位制，情况就不同。
比如上面说的1/3这个数，如果换用三进制小数，那也会有两种表示形式：
一种是有限小数：0.1，
另一种是0.022……循环。
而1/2这个数，如果采用三进制小数，反而无法写成有限小数，而只能写成
0.11……循环。

@古往今来为宙乎 兄：
建议您重新思考一下以下问题：
【至少，我想以下两个命题您一定会证明：一、如果一个数大于“0.9…循环”，那么他一定大于1；二、如果一个数小于1，那么它一定小于“0.9…循环”。】
您说：“对不起，我不会证明。”我不太相信，从您以往讨论问题的深度看，我不太相信您没有这个能力。
这两个命题证明时只用到小学的概念即可。
所以我猜想您不是不会，只是还没有往这方面动脑子而已。

@古往今来为宙乎: 兄：
您又宣布您不否认循环小数的严格概念存在了？是吗？（见楼上层内您的帖子里：废话真多，我哪里【否定“循环小数”严格概念的存在】了？你什么理解能力？）
既然你不否认了，为什么还要咬定：无限循环小数，实际并不是一个精确的表达，（也见楼上层内您的帖子）
这不是自打耳光吗？这不是上下文互打耳光吗？
您说：就0.333...本身，它并不是一个精确的小数，因为它有头无尾。（也见楼上层内您的帖子）
您这是什么意思？因为他用了省略号，你就说他有头无尾？不精确？
但是，别人已经告诉过你无数次：省略号不严格，仅仅是因为百度输入法限制无法直接标出循环节。但精确的表示法是有的！
别人已经告诉过你无数次，为什么故意不听？
别人费那么多时间给你画出图来，为什么故意不看？还硬说不能精确的表达？
贴吧里，做这种表演？有意思吗？

曾有懂得心理学的朋友告诉我，有一种偏执型病态心理人士，和他们讨论问题一个明显特征，就是别人的话很难进到他的脑子里，别人说了就跟没说一样。
与这种朋友讲道理是很无奈的，总是陷入到“车轱辘”话的无限重复状态。
您的话再清楚，对他都没用：刚刚给他明白指出过的错处，他也明明承认过的错处，
立马就又原封不动重复错一遍，就好像你刚刚什么都没说过，他自己也没有承认过一样。
一遍又一遍的雷同错误，一遍又一遍重复无穷无尽。
这些年，这种类型的朋友碰到不少了。我确实想不出什么招让他们把道理听进去。
但我还是想发帖把话说清楚，还总想继续说服说服试试，
目的并非真的“说服”某人，
我承认，对这类朋友已经没有“说服”的能力了
我的唯一目的，就是：贴吧的读者并非只有某兄一人。
毕竟正常人还是多数。
只要有人明白，我就不是在做无用功。
好吧，书归正传。
开头的几楼中，说了某些朋友逻辑推理常犯的错误形式，
简单的就两种：一是“自立不存在的公理”：二是“偷换概念”。
较复杂的就不知多少类型了。
上面都已经分析得很清楚了，
无奈再分析得清楚，也挡不住人家一遍一遍重复雷同的错误模式。
不妨举咱们这位老兄后面的言论看看？
（因故待续）

（续）
不妨看看@古往今来为宙乎 兄14楼层内的言论：
【……你先说0.999...有没有最后一位，如果没有，那么对不起它不可能是一个确定的实数，……】
拿来和2楼的例子一对比，就可以看出，这就是原封不动的“第一种模式”——自立公理模式了：
先自认为有一个公理，叫做：
【凡是实数都必须有小数部分的最后一位。】
然后根据这个自认为的“公理”，作如下推理：
【因为无限循环小数没有小数部分的最后一位，所以无限循环小数“不是确定的实数”。】
稍微有点头脑的，何不想想，
有这样的公理吗？
可能有这样的公理吗？
谁都知道，除了“有限小数”以外，整数、分数、无限小数，……任何实数都“没有小数部分的最后一位”
按这位老兄的“公理”，岂不是大多数的实数都“不是确定的实数”？
甚至于有限小数，例如0.2吧，它在十进制下是有限小数，但是换一个进位制，他就是无限循环小数了：
十进制0.2，在8进制下的形式就是0.14631463……
同样，“没有小数部分的最后一位”！
如此，世上还可能有确定存在的“实数”吗？
这些年，在网上交流中，已经见识过不少喜欢自己发明“公理”的朋友了。
对这类朋友，我想提醒一下：
您欣赏您提出的“公理”，在您想让别人也欣赏以前，可不稍微检验一下，换个环境推导推导，看它推出的结论荒唐不荒唐？
（因故待续）

（续）
说到这里，不妨扯远点。
我想各位朋友，不管了解不了解，至少总听说过数学中有一个“反证法”吧？
要点就是：
从一个假设其成立的前提出发，只要能推理出荒唐的结果（矛盾的结果），那么：
立马就可以得出最后结论说：先前假设的前提不成立。
看看我们讨论的话题：
什么是无限小数？就是说小数部分无限长。
什么叫无限长？是“长度等于无限”么？
我看到上面已经有朋友正确地指出“长度等于无限”的措辞是不严格的。
因为，不存在任何一个叫做“无限”的自然数。
所以，必须另给“无限长”这个词汇一个概念明确的定义。
“小数部分无限长”一个简单而明确的定义就是：
小数中任何一位后面都还有其他位；
或者说：
小数中任何一位都不是最后一位。
当然，还可以有其它的定义方式。但是其它的方式显然都和我们这种定义逻辑上完全等效。
然后我们再看，
这个时候，如果我们再假定该无限小数“存在最后一位”，
能不矛盾么？
能不和上面的定义“小数中任何一位都不是最后一位”矛盾么？
按照“反证法”的原理，我们马上就可以得出：
“该无限小数存在最后一位”不成立！
也就是说，无限小数不存在最后一位！
不是吗？
试想，还可能有“凡是实数都必须有小数部分的最后一位”这样的公理么？
（待续）

（续）
上面我们已经证明了：无限小数不可能存在最后一位。
然后，我们就不难进一步证明：
无限小数不可能存在倒数第2位；
无限小数不可能存在倒数第3位；
…………
无限小数不可能存在倒数第100位；
…………
等等。
很简单：用反证法即可：
如：假设存在“倒数第2位”，那么这一位后面就是“最后一位”了，与已经证明过的不可能存在最后一位矛盾。
所以无限小数不可能存在倒数第2位
等等。
顺便，我们再讨论讨论上面26楼@20手席 兄的帖子。
26楼曾设想把一个无限小数“截断”成三段：
第一段，最高的4位小数；
第二段，中间的“无穷位”小数；
第三段，最后的5位小数。
不妨想想，这种“截断”操作可能办到么？不可能！
因为要做这种“截断”操作，
您必须定位于无限小数的“倒数第6位”与“倒数第5位”之间作为截断点。
然而，我们已经知道，无限小数的“倒数第6位”与“倒数第5位”都不可能存在！
（待续）

楼上@jxijsndjjcicj 兄：
您说的这些知识，从上面@古往今来为宙乎 兄的某些留言中，可以看出，他是知道（至少听说过）这些知识的。
不过他犯了一个严重的偷换概念的错误：某些地方把“序列的极限”这个概念，偷换成“序列”本身；另一些地方又把“序列”本身，偷换成“序列的极限”。
结果他竟然可以推理出“常量与常量的差不是常量”这类匪夷所思的结论。
只是因为这里牵涉的有些远，而我眼下时间困难，所以还没来得及详细讨论。
不过我想顺便提醒各位数学爱好者朋友，如果您根据高等数学的知识，推理出了违反初等数学基本常识的结果，那一定不是初等数学的错，一定是你把高等数学的知识理解错了！

再看看@古往今来为宙乎 兄14楼层内的言论：
【……可笑的是，你既然不存在一个叫无限自然数，为何又有无限(位)小数这一说？你这如何对应的上呢，……】
很明显可以看出，这又是原封不动的“第一种模式”——自立公理模式了：
这里是把无限小数的一个一个的位，看成一个无限长的序列。我们知道，无限序列中每一项的序号，明确对应的就是全部的每一个自然数。
换句话说，无限小数的“位数”，是和自然数的“个数”一样多的，都是“无限”。
显然这位老兄是认为存在这样的一个公理：
【凡是无限的集合，其中必然存在一个叫“无限”的成员。】
进而推理出
【自然数集是无限集合，所以必然存在叫“无限”的自然数】
可能有这样的公理吗？
都知道自然数有一个“皮亚诺公理”，其中说：每一个自然数都有后继。
请问，这个叫做“无限”的自然数的后继是谁？
“皮亚诺公理”，还说：每一个自然数都可以从第一个自然数执行有限次“后继”后得到。
请问，这个叫做“无限”的自然数的如何得到？
“叫做无限的自然数”显然是荒唐的。
集合论中，表达集合成员的“个数”的正规术语称作集合的“基数”或集合的“势”。
只有有限集合的基数，能用一个自然数表示。无限集合的基数不能用一个自然数表示。
所以，显然不可能存在一个叫“无限”的自然数。
顺便指出，无限集合的基数另有符号（不是自然数）。如自然数集的基数就叫做“阿列夫零”。

呵呵，
看了45楼层内@古往今来为宙乎 兄的发言，我终于明白了：
上面所引老兄的这段话中的错处，
既不是第一种模式，
也不是第二种模式，
而是：
上面4楼里说的那种，最不可思议的“第三种模式”！
即：不是偷换概念，而是是偷换修饰词，把“是”换成“不是”，把“不等”换成“相等”，把“不同”偷换成“一样”，
把“恰好对应”，偷换成 “这如何对应的上呢？” ……
整体逻辑框架貌似完整，偏偏其中最关键的词语却用反了，结果大谬。
看看老兄的说法：
【讨论小数，你说不存在一个叫无限的自然数，可见你在有意识的把小数位数与自然数一一对应，但可笑的是，你既然不存在一个叫无限自然数，为何又有无限(位)小数这一说？你这如何对应的上呢？】
这里的逻辑：
把小数位的“第X位”，与自然数一一对应，
自然数有无限多个，但其中每一个都是取值有限的数，并不存在一个叫“无限”的自然数；
无限小数的小数位有无限多个，同样其中每一位都是第有限位，并不存在一个叫“第无限位”的小数位。
这难道不是明明白白清清楚楚一一对应的同构的关系吗？
老兄却莫名其妙翻了个个儿，说成： “这如何对应的上呢？”
结论恰好反了。
我上面说：这种错误虽然看起来不可思议，但这些年在网上交谈中，遇到不止一次了。
我难以想象，何以会有这么多具备如此“神奇脑瓜”的朋友呢？