看了楼主火星种土豆对戴德金分割的漏洞分析，我发觉戴德金分割对此的证明确实有漏洞。
我将通过此文章暴打所有官科证明的脸。
首先，对于我看过的非戴德金分割证明法，我已经挑出了漏洞。现在，对于被大家成为最好的戴德金分割法证明的反驳如下。对于戴德金分割法证明。
第一个漏洞:在于当你把0.9999...当成一个有理数进行分割的时候，你已经剥夺了它不为有理数的所有可能。而0.999...是不是有理数是需要定义给出的。
这个问题的纠结点在于，你一旦给出了0.9999....的定义，所有的证明预设的条件本身就包含在了定义之中。所以，证明本身就是多余的。显得同义重复。
0.999..如何证明它是一个有理数并且它是＝1的。你可能会说证明0.999...=1，也就证明了0.9999...它是一个有理数。
但是，在证明的时候你毕竟不能把0.9999...预设成一个有理数来进行戴德金分割。
当你这样预设的时候，你就有充分理由把它卡定在1的位置上。
而它是不是有理数，这是有待证明的，所以，戴德金分割的诡辩①发生在预设的最开初。
第二个漏洞，证明的人犯了一个同义正反的错误。它定义完A集合的任意m元素之后，又定义了n。
存在n使得10^n次方＞q，所以0.999...n个9＝1-1/10^n＜1/q。但是你同样可以定义存在一个q＞10^n。
所以，这样一看，你根本不能进行后续证明，这是一个无限对无限，你根本不能比较那个无限更为厉害。
所以，0.999...其实就涉及这样一个无限问题。
我可以说，同理存在一个q，1/q属于A，q＞10^n，所以，1-1/10^n＞1/q。那么，关于1-1/10^n和1/q谁更小的问题，就无法最终确定。
而实际上，它们是确定不了的。
因为，根据数学证明的严谨性，你不但要确立A集合中能找到的任意数是否在C中有更大的，还要确立C集合中任意数是否在A集合中有更大的。比如具体说你在0.99993之后能找到0.99999，你同样能在0.99999之后找到0.99999找到0.999993。
那么，你证明的关键步骤A是C的真子集就无从谈起。
但是，C是A的真子集是确定无疑的，这时候后你如果说A是C的子集，就是默认了0.999...是等同于1的。所以，火星种土豆的观点是对的。那么0.999..这个元素是否属于C呢？实际上，0.999...这个元素是否属于C，都不是你在证明中看得见的。
所以，戴德金分割法证明0.999...＝1是一种诡辩。
说明完毕。
因为戴德金分割法证明形式所谓官科有多个版本，所有版本漏洞都是一样的。总无外乎以上两点。在A，C是否互为真子集的问题上模糊不清。以下例举我看到的另一个版本进行系统说明。说明如下:
0.999…的戴德金分割
A={x∈Q|x<0.999…}，
B={x∈Q|x≥0.999…}。
显然A∩B=∅，A∪B=Q
1的戴德金分割
M={x∈Q|x<1}，
N={x∈Q|x≥1}。
显然M∩N=∅，M∪N=Q。
要想证明分割一样，就要证明集合A=M。
（1）证A⊂M；
设a∈A，∴a<0.999…，
∴a<1，∴a∈M。
证明到这里都是对的，关键是第二个证明。
（2）证M⊂A；
设m∈M，∴m<1。
因为m是有理数，∴m=p/q<1,
∴p<q, 1-m=1-p/q=(q-p)/q,
∵p<q，∴q-p≥1，
∴(q-p)/q≥1/q。
总是存在正整数n，使得
10n>q,
∴1/10n<1/q,
∴1-m>1/10n,
∴m<1-1/10n=0.99…9(n个9)，
∵0.99…9(n个9)<0.999…,
∴m<0.999…,
∴m∈A。
同理，总是存在数字q，使得
10n＜q,
∴1/10n＞1/q,
∴1-m＜1/10n,
∴m＞1-1/10n=0.99…9(n个9)，
而0.99…9(n个9)<0.999…,这是不证自明的。
∴m与0.9999...的关系无法确定。
因此我们无法得到M是A的真子集。注意，这里的子集和真子集的概念非常重要。你也许会问，既然A是M的真子集，那M是否是A的子集，但是M是不是A的子集是无法证明，因为你想要证明的是真子集。但是，你如果直接定义M是A的子集，就是预先设定了0.999...＝1，因为只有在这种情况下M才是A的子集。
有人还会诡辩说之前取的是任意数，但证明的关键在于，这个任意数也会使得证明本身无法证明。实际上，我们知道，问题的关键在于1/10^n，1/q，n和q都是任意＞1的有理数。你一旦找到一个，必然会找到另一个更大的。所以，你找到的任意一个有理数都是同时符合两个集合的，关键是0.9999...它是不是一个有理数，是不是M的元素。在以上证明中我无法得出。
①假设0.999...是M的一个元素，那么0.99...＜1。
②假设0.999....不是M的一个元素，那么0.99...≥1，而A是M的真子集是通过0.999...＜1直接看出的。所以，0.999...＝1。
所以，这和戴德金分割法的种种诡辩证明无关，只要你直接定义0.9999...不是M的一个元素就能得出0.999...＝1。但是，0.999...不是M的一个元素不就是需要证明的吗？证明何在呢？
假设，我给出如下证明，此证明并不涉及戴德金分割法对于实数的划分定义。(实际上那只是一个空壳定义)
0.99...＝1-0.00...1记作①式，其中9和0的个数为n(9)＝n(0)+1，记作②式。
当n(9)→∞，n(0)→∞。所以，这时候n(9)＝n(0)记作③式。
将③式与①式做比较得出某种格式上的相似的推论，0.999＝1-0.00，
所以，0.9999.....＝1–0.00000...，而0.000...＝0
所以，0.9999.....＝1-0＝1。
但是，这时候遇到一个问题，你必须承认，n(9)，n→∞是等效于n(0)+1，n→∞。
也就是说∞＝∞+1。而这是∞本身的性质所排斥的，你可以感觉这两者是相同的，但是，这是没有意义的。不能在∞上做加减，因为加减是对于可定义实数而来的。
由此反证，0.999....＝1并不能在数学证明中给与明确有效的证明。
由此可见0.9999....＝1是不可证的。
证明如下:
假如0.99999...＝1是可证的。
那么，0.9999...＝1或者0.9999...≠1
假如，0.9999...=1，1-0.9999....＝0＝0.0000....，此时，
就存在n(9)＝n(0)+1，n→∞。
等效于∞＝∞+1，和∞定义理论矛盾。
假如，0.999...≠1，那么0.999...＜1
所以，1-0.999...＝δ，δ＝0.0000...1，n(0)为有限值，这与n(0)→∞矛盾。
所以，0.999....＝1或者0.9999..≠1都是错误的。
所以，0.9999....＝1是可证明的，此命题为假。
所以，0.9999...＝1是不可证明的。
证毕。
以上证明把其中的中文翻译成数学符号就是一个看上去漂亮的证明了。实际上我的证明就是一种完美的数学证明。