1.2.
注:第二个定理即Pappus定理，collinear意指共线

3.4.
注:4的题目的意思是两个三角形有公共的外接圆α和内切圆β，concur（rent）意指共线
注意到定理:点列对合，互逆对的连线过对合中心

5.0引理的证明（d∈AB∩CD的意思是直线d通过AB,CD的交点，当时写漏了，形式奇怪，抱歉）:不失一般性地考虑圆的情形，考虑将AB,CD交点变为圆心而保持圆不变的射影变换，不妨将图画成下面这个样子，重新叙述命题如下:简单四点形EDBC（注意点的顺序）在经过圆心A的直线d上确定了一个对合，（其互逆对有如图的IJ,HG），则E,D处切线与直线d的交点K,L也是对合的互逆对（B,C两处同理）。
由AI=AJ,AH=AG知这个对合是直线d上由关于点A对称决定的对合变换，易证AK=AL，故引理得证。

5.

4.补图

6.△ABC,平面内一点P，P的Ceva三角形为△DEF，△DEF的内心I，旁心Ia，Ib，Ic，则A,B,C,P,I,Ia,Ib,Ic共等轴双曲线
证明:（telvcohl）设X=B₁C₁∩A₁I_a,Y=AB∩A₁I_a，Y'=CP∩A₁I_a，Z=AC∩A₁I_a，Z'=BP∩A₁I_a，考虑A₁I_a上由经过A,B,C,P的二次曲线束定义的对合，由（Y,Y';A₁,X）=（Z,Z';A₁,X）=-1知A₁,X是对合的不动点，由（I,I_a;A,X）=-1知I_a在经过A,B,C,P,I的二次曲线上，对于其余旁心I_b，I_c同理。同时注意到内心是三旁心组成的三角形的垂心，故A,B,C,P,内心,旁心八点共等轴双曲线
注:对合构造并不鲜见，它可以用来证明共点（二次曲线的对合的互逆对连线过对合中心），调和点列（对合不动点调和分割互逆对），点在二次曲线上（DIT），实现度量引入（直线上的对合只有两种，反演与中心对称，前者可以参与进来倒边，后者可以简化问题），参与度量证明（对合由两对互逆对唯一决定）
对（D）DIT的说明:都是笛沙格对合定理（对偶形式）的背景 by qcaxq
对最后一段话的说明:
这实际上是这个定理“一条二次曲线若经过垂心，则是等轴双曲线”。
证明:设H为△ABC的垂心，简单四点形ABCH内接于二次曲线α，根据DIT,AB,CH上的两个无穷远点;AH,BC上的两个无穷远点，是简单四点形在无穷远直线上确定的对合的互逆对，且二次曲线与无穷远线的两个交点也是此对合的互逆对。前两组对合的互逆对成垂直方向，是无穷远直线上的绝对对合的互逆对，因为对合由两对互逆对唯一决定，（故该对合与绝对对合重合）所以二次曲线上的两个无穷远点也成垂直方向，则渐近线相互垂直，从而二次曲线是等轴双曲线。
命题反过来也成立，如果将两条互相垂直的直线看做退化等轴双曲线，可以推广命题

（7）注:我觉得一个DIT便足够了，因为CR,CS;CP,CQ唯一决定等角共轭变换的对合，故CU,CV也属于这个对合，故U,V是等角共轭点。
注:（CR,CS;CI,CIa）=-1，这表明CR,CS可以看做某个对合的互逆对，且CI,CIa是对合的不动直线。

T神的几个题，过于困难，有兴趣者自己做做
(2) 給定三角形 ABC 與其內心 I. 設 P, Q 為三角形 ABC 的一對等角共軛點. 則 AP 關於 IP 的對稱直線與 AQ 關於 IQ 的對稱直線的交點在 BC 上.
(3) 設 (2) 中的交點為 X 並類似定義 Y, Z. 則 X, Y, Z 共線.
Remark: (3) 中的直線為 (I) 和 以 (P, Q) 為焦點的內切錐線的第四條公切線.
(4) 給定三角形 ABC 與一對等角共軛點 P, Q. 設 P_aP_bP_c, Q_aQ_bQ_c 分別為 P, Q 關於三角形 ABC 的垂足三角形. 設 PQ_a 與 QP_a 交於 X 並類似定義 Y, Z. 則 AX, BY, CZ 共點.
(5) 設 X 為三角形 ABC 的 A-偽旁切圓切點. 過 X 且與 ABC 內切圓 (I) 相切的直線與 (ABC) 交於 Y, Z. 設 (I) 分別與 BC, YZ 相切於 D, T. 則 DT 過三角形 ABC 的 A-旁心.
(6) 給定凸四邊形 ABCD. 設 I, J 分別為三角形 ABC 的內心, A-旁心. 設 K, L 分別為三角形 ACD 的內心, A-旁心. 則 IL, JK 與 BCD 的角平分線共點.

（8）如图，T1，T2为共切线的切点，虚线圆为过A，B的任意圆，交T1T2于P1，P2，
求证：P1，P2，T1，T2为调和点列
引理:共轴圆组在一条定直线上截出的点列成对合对应
证明:设根轴交定直线于A,截出点列为B,C;D,E，易知AB*AC=AD*AE，这表明B,C;D,E是某个对合的互逆对，A与定直线上的无穷远点也是互逆对。
原命题证明;根据引理，T₁₂是互逆对。由于相切，T₁₂分别与自身对应，从而T₁₂是对合的不动点。由于不动点调和分割互逆对，故命题成立。

（9）△ABC，平面内一点F，○（AFB），○（AFC）交BC于D,E，过F作直线交AB,AC于M,N，BN,CM交于P，PF交AD，AE于X，Y，XM,YN交于W，求证:AW∥BC
分析:这种半射影的问题一般有多种办法，①利用交比去掉射影化结构②利用比例去掉度量化结构③对整个或局部图形进行射影/仿射变换④条件空间法，弱化条件法，（降）动度法，圆锥曲线辅助法，交比辅助法等等（使用需谨慎）。注意到17楼的引理，用②方法解。
证明:设AF交BC于T，根据17L引理，设BC线向无穷远点为A∞，存在一个对合，交换（B,E）,（C,D）,（T,A∞），（这就相当于用比例去掉了圆与线段交点这个不好用射影的条件），射影到A点即A（B,E）,A（C,D）,A（T,A∞）对合.对完全四边形FXWN应用DDIT可得A（B,E）,A（C,D）,A（T,W）对合，由于前两组互逆对相同，故两个对合重合，从而AW=AA∞∥BC

（10）△ABC,P是平面内一点，P的等截共轭为Q，R是P的反补点，求证:ABCPQR共二次曲线
证明:施行一个仿射变换将P变为垂心，则R变成外心，Q仍是R的反补点，ABCPQR共Jerabak双曲线，故仿射前也共二次曲线。

（11）CP²=CA*CQ，求证:∠ABP=∠PRQ，CP=CS
证明:（Telvcohl）CP²=CA*CQ=CB*CR，故在反演I(⊙(C,CP))下A,Q;B,R;P,P;圆（PAB）,圆（PQR）互为反形，命题得证。
注:这道题是平面几何的，咋能放到射影的帖子里呢？
但是它的几何特征与射影是相同的，或者说，具有很大的启发性。
对合中，对合不动点具有调和分割互逆对的性质，对合由两双互逆对唯一决定
反演中，反演不动点具有到反演极距离相等的性质;平几中，设△ABC，D,E,F在BC,CA,AB上，若AD⊥BC,BE⊥CA，则CF⊥AB，即前两个条件确定后一个随之确定(虽然实质也是对合)

(12)△ABC，I为内心,O为外心，经过A，I且正交的两个圆分别交△ABC外接圆于M,N,求证:△ABC内切圆，外接圆的外位似中心在MN上
证明:对⊙(A,AI)反演，○(AIM)与圆(AIN)的反演像是过I互相垂直的直线，截外接圆的反演像于M',N',则M→M'→N'→N对合对应，故MN经过定点，取特例论证可知定点即X₅₆，外位似中心。