(13)△ABC,内心为I,A-旁心为Ia，D是内切圆在BC上的切点，M是在外接圆上⌒BAC⌒的中点，MA交BC于E，IaD交○(AID)于F≠D，△AMF的外心为O,过E且垂直于OI的直线交MIa于G,求证:IaG=2MG
证明:待续

考虑直线上的对合f，无穷远点P的对应点O，互逆对(A,A'),(B,B')，由对合定义得(A,B';O,P)=(A',B;P,O)，展开可得OA*OA'=OB*OB'。如果f的一个不动点是直线上的无穷远点P，设另一个不动点为O，则(A,A';O,P)=-1，展开可得OA=OA'。

(14)《Geometry of conics》Theorem. 3.16
求证:任意不同于完全四边形四条边的直线关于与其相切的圆锥曲线的极点轨迹是一条直线
证明:作射影变换将直线变为无穷远线，由射影几何定理欣赏 的1L的(4)及18L.极点轨迹即为牛顿线(goc上说是Gauss line，无关紧要)
(14.5)Corollary:定直线关于共焦二次曲线束的极点轨迹是一条与其垂直的直线
证明:共焦二次曲线束亦与四条定直线相切，设焦点为A,B，圆环点为I,J，根据(14)与调和关系，命题成立

(15)垂线，垂足，中点等条件不是必要的。
Generalization:圆内接简单四点形DEFC,DE∩CF=G,CD∩FE=H，I∈CF,⊙(HDE)∩DI=J,EJ∩HI=K，求证CD，FJ，GK共点
Analysis.球极射影不能同时保多个圆，考虑去掉第二个△HDE外接圆交DI于J的条件。标记如图所示的红点，(M,F)，(O,J)决定了直线上的某个对合，且N是对合中心，这就化去了⊙(HDE)，则可以施行射影变换。
Proof.设DF∩CE=P，施行一个将P变为圆心，而保圆不变的射影变换，题设结论显然成立

渐入佳境
(16)△ABC关于O-centered的二次曲线 自极，则OA,OB,OC,AB,BC,CA中点共二次曲线
证明:将点O仿射为△ABC的垂心H，熟知OA,OB,OC,AB,BC,CA中点共九点圆，且存在一个以H为圆心的圆使得△ABC关于它自极

(17)六点ABCDEF共二次曲线是存在一二次曲线使得△ABC,△DEF自极的充要条件
证明:充分性:应用射影变换将D,E变为无穷远点，应用仿射变换将F变为△ABC的垂心，则所共二次曲线变为等轴双曲线，D,E成垂直方向(with perpendicular directions).因为F是△ABC的垂心，熟知存在一个以F为圆心的圆使得△ABC自极。又因为FD,FE垂直，所以△DEF也关于这个圆自极。

(18)H为垂心，BE,CE交CA,AB于F,G，IF,JG⊥CA,AB，求证:HE的逆Steiner点在⊙(AUV)上
证明:易知I,J射影对应，固定直线HE，考虑E=H,E=HE∩BC时都有B,C对应，故这个射影对应是一个对合，根据17L引理，⊙(AUV)过⊙(ABC)上的定点K。考虑图一E=HE∩AB，记Q==AC∩EJ(未标)，构造以T∈⊙(ABC)为焦点,HE为准线的抛物线α，则△ABC外切于α(垂心在准线上)，注意到EQ⊥EB且E在准线上，故EQ亦为切线，T是四边形EQCB的Miquel点，导角易得T=K，命题得证

(19)△ABC,内心I，D,E,F为IA,IB,IC中点，其等角共轭X,Y,Z组成的三角形的重心是I
证明:令△IaIbIc是旁心三角形，IbIc交BC于U，Ua是IU的中点，Ua显然是EF与AI中垂线的交点(中位线).注意到以内心及旁心为不动点的对合H将IB,IC上的点映射到它们的等角共轭.因为E,F是其中点，所以AUa关于∠BAC的等角线平行于IU，可知在对合下U映射为无穷远点P，故YZ∥IU.从而I(B,C;A,U)=I(Y,Z;A,P)=-1,所以IA平分YZ，由轮换性可知，结论成立

(20)689 TST 根据Desargue's对合定理及17L引理，命题显然成立