45


延长BD与AC交于点E，易知AB=BE=CE（等腰三角形）。 作三角形ABD的外接圆，设圆心为O，因为∠ADB=150°，所以∠AOB=360°-150°×2=60°，所以△AOB为等边三角形，故OB=AB=BE=CE。 连接BD，OE。∵∠BAD=10°，所以∠BOD=20°，∴∠DOA=40°，而∠OAC=60°+80°=140°，∴∠DOA+∠OAC=180°，所以OD‖AC。 又因为OD=OB=AB=BE=CE，所以OD‖且=CE，所以四边形ODCE为平行四边形，故OE平行CD。∵OB=AB=BE，∠OBE=60°+20°=80°，所以∠OEB=（180°-80°）/2=50°，所以∠EDC=∠OED=50°，∠DEC=180°-∠AEB=100°，所以∠ACD=180°-∠EDC-∠DEC=180°-50°-∠100°=30°，故∠ACD=30°

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如图，已知在三角形ABC中，AC=BC,CD垂直AB,垂足为D，E,G为CD上两点，且角1=角2=角3，
AF交CD于G，交BC于F，连接EF，则GB平行EF,请说明理由

47 经典角格点

三角形ABC中，角C等于20°，AC=BC，角MAB=50°，角ABN等于60°，求角BNM的度数。

48

如图等边三角形ABD,等边三角形BCE,等边三角形ACF,求证(1),AE,BF,CD供点G，（2）GA平分角BGC

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一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，OA=a。折叠纸片，使圆周上某一点B刚好与A重合，这样的每一次折叠都留下一条折痕。当B取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合

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求证:圆内接四边形任意三个顶点构成的四个三角形的垂心共圆

53 伊朗2002年奥赛几何题的再推广
△ABC的内切圆⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F。联结AD交⊙O于P。M 、N是AD上不相同的两点，联结NB、NC，分别与
， 相交 于H、G 。
1、如图1，直线FM、EM分别交BC于R、S 。求证：RH、SG、AD三线共点（当点M恰为AD、BE、CF三线的交点时，即为原题的第一推广）；
2、 如图2，联结MB、MC，分别与 、 相交于Q、L，分别过L、Q作⊙O的切线，交BC分别于R、S，求证：RH、SG、AD三线共点（当点M恰与A重合时，即为原题的第一推广）；
3、 如图3，直线EM、FM与⊙O的另一交点分别为Q、L，分别过L、Q作⊙O的切线，交BC分别于R、S，求证：RH、SG、AD三线共点；
4、 如图4，直线EM、FM与⊙O的另一交点分别为Q、L，EL、FQ分别交BC于R、S，求证：RH、SG、AD三线共点；
5、 如图5，直线EM、FM与⊙O的另一交点分别为Q、L，K 为AD上任意一点，KL、KQ分别交BC于R、S，求证：RH、SG、AD三线共点；
6、 如图6，联结MB、MC，分别与 、 相交于Q、L，AL、AQ分别交BC于R、S，求证：RH、SG、AD三线共点。
题目还有另外的推广途径，此外，还另有很多的与之相关的三线共点结论。
△ABC的内切圆⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F。联结AD交⊙O于P。M 、N是AD上不相同的两点，联结NB、NC，分别与
， 相交 于H、G 。
1、如图1，直线FM、EM分别交BC于R、S 。求证：RH、SG、AD三线共点（当点M恰为AD、BE、CF三线的交点时，即为原题的第一推广）；
2、 如图2，联结MB、MC，分别与 、 相交于Q、L，分别过L、Q作⊙O的切线，交BC分别于R、S，求证：RH、SG、AD三线共点（当点M恰与A重合时，即为原题的第一推广）；
3、 如图3，直线EM、FM与⊙O的另一交点分别为Q、L，分别过L、Q作⊙O的切线，交BC分别于R、S，求证：RH、SG、AD三线共点；
4、 如图4，直线EM、FM与⊙O的另一交点分别为Q、L，EL、FQ分别交BC于R、S，求证：RH、SG、AD三线共点；
5、 如图5，直线EM、FM与⊙O的另一交点分别为Q、L，K 为AD上任意一点，KL、KQ分别交BC于R、S，求证：RH、SG、AD三线共点；
6、 如图6，联结MB、MC，分别与 、 相交于Q、L，AL、AQ分别交BC于R、S，求证：RH、SG、AD三线共点。
题目还有另外的推广途径，此外，还另有很多的与之相关的三线共点结论。

55 献上道有难度的初二几何..

ABCD是正方形,P是AB上的中点,DP⊥PQ,交∠CBR的平分线BQ于点Q
①求证:DP=QP
②若上述条件中的"P是AB上的中点"改成"P是AB上的任意一点"其余不变,则结论"DP=QP"还成立吗?如果成立,请证明,不成立,说明理由.

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梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=CD,AC⊥AB，求∠ABC的度数。

57 高手对决，天下无毒史进
长为1的直杆竖直靠在墙上，下端外滑（当然上端在靠墙下滑）滑到贴着地面时。求直杆扫过的面积

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如图,A B C D是一个正方形的四个顶点,如何连通这四点,使得总路程最短?(要求四点能互通)