猜帽子——无穷大版

完整叙述一下答案：
对于所有可能的帽子序列，可以定义一种等价关系：两个序列等价，当且仅当它们只有有限个位置不同。根据幂集公理和替代公理，可以将所有帽子序列的集合划分为一系列等价类，使得每一类中的序列都彼此等价，且不同等价类中的序列都不等价。
根据选择公理，存在选择函数f，使得对每一个等价类G，都可以在它的元素中选择一个代表元f(G)∈G。这些人可以事先商定一个选择函数f。由于每个人仅仅看不见自己的帽子，他们总可以判断当前的序列s属于哪一个等价类G。接下来他们只需猜测f(G)中自己的帽子颜色，即可保证所有人的猜测组成序列f(G)。由于f(G)∈G，因此f(G)等价于s，亦即f(G)与s仅有有限个位置不同。