相比速度关联，加速度关联要复杂得多。对于绳、杆，沿其方向速度分量一定相等，但加速度分量却不一定。如果杆绕着一个点作转动，那么不同点处的线速度不同，向心加速度也不同。向心加速度导致转动绳和杆上个点产生了加速度差异。
此外，做加速度关联的题目，常常要先算出各处速度关系，所以前面速度关联没学好的同学自己懂得

我们可以来分析一下绳船模型的加速度问题。如果设绳子自由端的速度为v，物体的速度为v'，绳与地面夹角θ，此时物体是否有加速度？

依据前面的速度分析，我们可以知道
v'=v/cosθ
由图中的几何关系，随着绳子不断收缩，θ在逐渐增大（θ∈(0,π/2]），cosθ就在逐渐减小，1/cosθ逐渐增大，v'逐渐增大。通过这样定性的分析，我们可以知道绳船模型的物块在加速，有与速度方向相同的加速度。但是，这种定性的分析无法求出加速度的具体大小

如何精确求出具体的加速度值呢？如果你的导数学的可以，你当然可以想到用求导的方法来解这道题。前面已经得到：

其中s上打两点表示s对t求导后再求一次导，可以称为“二阶导数”，二阶导数也用d²s/dt²表示。s对t求导是-v’（负号表示方向），再求一次导就是-a’了。
绳子是匀速收缩的，因此有d²l/dt²=a=0，前面又求得了v=-dl/dt，v’=-ds/dt=vl/s代入上面的式子，有

这样我们就可以求出加速度a了。

合成与分解法也是可以做的，但是加速度的求法相比速度合成与分解复杂一些。首先我们知道，绳子在匀速收缩。但是根据前面定性分析，我们又知道船具有一个与速度方向相同的加速度方向，它沿绳方向当然有个分量。这个分量代表了什么？

首先我们发现，绳子虽然匀速收缩，但是其夹角θ却在变化，也就是说，物体绕着定滑轮在做圆周运动，在这一瞬间以绳子l为半径。知道了这一点，我们可以将速度分解到沿绳方向和垂直于绳方向的vτ，这个vτ就对应圆周运动的旋转线速度。那么圆周运动的向心加速度为

这个向心加速度对应图中加速度沿绳的分量。然后就可以得出，圆周运动的实际加速度为a=an/cosθ，将数据代入，就可以算出a，其值和上面的一样。

微元法的计算可能稍显复杂，但是也是可以做出来的。

如图，我们还是取一段微小时间过程Δt进行分析，这段时间内物体从A运动到D，并且转过了Δθ的夹角。由前面的知识，有

化简到这里，我们就需要一些数学近似了。一阶近似下，这里的Δθ很小，于是有sinΔθ≈Δθ，cosΔθ≈1（学过泰勒级数的同学很好理解，没学过可以用微分来推导），同时含Δθ的式子很小，与正常大小的量相加可以忽略，代入得

这里我们将Δv与Δθ建立了联系，但是我们的目标是求Δv/Δt，因此我们还需要找一下Δθ与Δt的关系。实际上，在△CDE中，可以发现

联立上述两个式子，有

这里以l和θ作为已知量，计算结果与求导法一样。
微元法这里由于要算加速度，就要算出Δv，于是这时v不能当常量。但随后计算Δθ，实际上计算的是ω，所以计算Δθ可以当做常量。

上面的两个近似公式用微分推导如下：
（学过泰勒级数的就别吐槽推导的不严谨了）
当Δθ很小时，由导数公式有

cosΔθ=1同理可以推得，注意1-Δθ≈1.
反正微元法都是套路，不断的套公式就行了

有人好像问到一点光学问题，所以我原来那个透镜几何光学帖子打算更新（shui）一下
这两个星期备战小高考，没有太多时间更新

上面绳船模型加速度介绍了合成分解法和微元法、求导法。一般来说，合成分解法解加速度靠矢量关系，计算量最小，但也需要清晰的思路，而且不是所有题都能用（下面我会举一道不能纯粹用合成分解法算的题目，不过这个方法的思想还是有用的）

在给出下面的题目之前，我们先讲讲一个数学知识：微分（导数）与近似计算。
数学上我们知道，函数的导数可以用于求某一点处的瞬时变化率，而瞬时变化率dy/dx与平均变化率Δy/Δx在Δx较小时是近似相等的，利用这个我们就可以近似计算。

利用这两个式子我们可以进行近似计算。这种计算常见于微元法，上面的sin和cos的近似式，就是从这里推导出来的。
从这个关系式，我们也可以看出微元法和微积分的关系，不过做题时，我们经常把常见的微元公式记下来，直接使用，然后利用简单的微元公式导出其他微元。

还要注意，微元法最终结果含有a+bx（a,b是普通量，x是小量）时，可以a+bx≈a，但最终结果是ax时不能≈0

我们再来看看这题，不过，这次我们求的是物体的加速度。

前面35-42楼已经给出了速度关系：v=(v0)/(1+cosα)。这个关系将在求加速度时用到。
仿照67楼，可以用微元法求出物体的加速度。

我们依然画一个这样的图，不过这里的速度关系变了。
注意还是有上面的问题，计算Δv时，v不可以当做常量；计算Δθ时，v可以当做常量。
物体由A到D时，角度从θ到θ+Δθ，由此可以计算Δv：

这里用的是微元近似公式求出Δv，当然，这里Δv很明显是关于θ的函数，我们可以用求导来计算近似值：

和上面的结果是一致的。但是我见过的多数竞赛书都用前者，三角展开再小量近似的方法，而不是直接求导。相比之下，求导公式熟练时后者可以更快得出答案。
Δθ的求法和前面的题类似：

代入前面的式子就得到

做多了你就会发现，微元法基本都是套路

为了介绍接下来的求导法，我们先介绍一下二阶导符号d²y/dx²的意义，这将能推导出二阶导数换元法。
一阶导数的符号dy/dx表示两个微小量（微分）dy和dx的商，因此也叫微商。
而二阶导就是对一阶导求导，也就是说

上面的表达式比较繁琐，含有2个括号。数学家（应该是莱布尼兹首创？）把d(dy)记做d²y，叫做对y的二阶微分，同时把(dx)²简写为dx²，这样上式写为

从上式可以看出，y’’具有和[y/x²]相同的量纲。而若我们要换元，比如令u=g(x)，那么

这就是二阶导数的换元公式。

鸽得有点久，我还是继续更贴吧
看了上面的东西，我们也知道求导法肯定和二阶导数的换元（复合函数的二阶导数）有关系了