群测
大学组选做题
【A】
证明：反证法，若R中有理想不是有限生成的，易见在所有非有限生成理想组成的集合中，每个全序子集都有上界，故由佐恩引理其中有一个极大元I.由所设I不是素理想，故存在a,b∈R-I使得ab∈I,于是(I,b) ⊋I ,a∈(I:b) ⊋ I,故由I的极大性可知(I, b)和(I:b)都是有限生成的.易见可取有限多个元
b ₁︎...b_m∈I使得(I，b）=(b₁︎,.....b_m,b) 故任意c可表为
c=r ₁︎ b₁︎+...
+rmbm+rb,其中r∈(I:b) 于是，I=(b1,.....,b_m,b(I:b))是有限生成的，矛盾.
[B]证.先证明第一个断言.充分性根据定义显然的，我们来证必要性.设R为阿廷环，则R只有有限多个极大理想，因若有无限多个极大理想P ₁︎,P ₂︎, P ₃︎.., 则有无限长的理想列P ₁︎ ⊋P ₁︎ P ₂︎ ⊋ P ₁ P ₂︎ P ₃︎ ⊋.........与DCC矛盾.设P ₁︎,P ₂︎,P ₃︎,... ,Pn为R的所有极大理想.令I= P ₁ P ₂︎...Pn.由DCC存在r > 0使得I^r= I ^（r+1).令J=(0: I^r)，则(J: I)= ((0: I^r): I)= (0: I^(r+1))= J.我们来证明J = R.若不然，则由DCC可取理想J' ⊋ J使得J'和J之间没有其他理想，于是对任意 x∈J'-J有J+(x)=J'.由于I ⊂ J(R） 由中山正引理推论可知Ix+J不等于J',故Ix+J=J.这说明x∈(J:I)= J,矛盾. 由J=(0:I^r)= R得I^r= 0;故我们有理想列R⊃ P₁︎P ₂︎ ⊃.....⊃I ⊃IP₁︎⊃ ....... ⊃I ² ⊃I^r=0.其中的每个因子都可看作某个域R/P上的模，即线性空间.每个这样的线性空间都是有限维的，否则其中可以找到线性子空间的无穷降链.与DCC矛盾！注意到每个R/P ₁都是R-单模，因此可以加密成极大理想链.
因此R是诺特环. 根据I^r=0->R的任意素理想一定包含某个Pi从而等于Pi，QED.
大学组选做题
【A】
证明：反证法，若R中有理想不是有限生成的，易见在所有非有限生成理想组成的集合中，每个全序子集都有上界，故由佐恩引理其中有一个极大元I.由所设I不是素理想，故存在a,b∈R-I使得ab∈I,于是(I,b) ⊋I ,a∈(I:b) ⊋ I,故由I的极大性可知(I, b)和(I:b)都是有限生成的.易见可取有限多个元
b ₁︎...b_m∈I使得(I，b）=(b₁︎,.....b_m,b) 故任意c可表为
c=r ₁︎ b₁︎+...
+rmbm+rb,其中r∈(I:b) 于是，I=(b1,.....,b_m,b(I:b))是有限生成的，矛盾.
[B]证.先证明第一个断言.充分性根据定义显然的，我们来证必要性.设R为阿廷环，则R只有有限多个极大理想，因若有无限多个极大理想P ₁︎,P ₂︎, P ₃︎.., 则有无限长的理想列P ₁︎ ⊋P ₁︎ P ₂︎ ⊋ P ₁ P ₂︎ P ₃︎ ⊋.........与DCC矛盾.设P ₁︎,P ₂︎,P ₃︎,... ,Pn为R的所有极大理想.令I= P ₁ P ₂︎...Pn.由DCC存在r > 0使得I^r= I ^（r+1).令J=(0: I^r)，则(J: I)= ((0: I^r): I)= (0: I^(r+1))= J.我们来证明J = R.若不然，则由DCC可取理想J' ⊋ J使得J'和J之间没有其他理想，于是对任意 x∈J'-J有J+(x)=J'.由于I ⊂ J(R） 由中山正引理推论可知Ix+J不等于J',故Ix+J=J.这说明x∈(J:I)= J,矛盾. 由J=(0:I^r)= R得I^r= 0;故我们有理想列R⊃ P₁︎P ₂︎ ⊃.....⊃I ⊃IP₁︎⊃ ....... ⊃I ² ⊃I^r=0.其中的每个因子都可看作某个域R/P上的模，即线性空间.每个这样的线性空间都是有限维的，否则其中可以找到线性子空间的无穷降链.与DCC矛盾！注意到每个R/P ₁都是R-单模，因此可以加密成极大理想链.
因此R是诺特环. 根据I^r=0->R的任意素理想一定包含某个Pi从而等于Pi，QED.
