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在 Springer nature 看见这些
Please use the standard mathematical notation for formulae, symbols etc.: Italic for single letters that denote mathematical constants, variables, and unknown quantities; Roman/upright for numerals, operators, and punctuation, and commonly defined functions or abbreviations, e.g., cos, det, e or exp, lim, log, max, min, sin, tan, d (for derivative); Bold for vectors, tensors, and matrices.
事实上虽然这句话在那个期刊首页写的很清楚，但是还是有大面积作者dx/dt这些东西根本不用正体
Please use the standard mathematical notation for formulae, symbols etc.: Italic for single letters that denote mathematical constants, variables, and unknown quantities; Roman/upright for numerals, operators, and punctuation, and commonly defined functions or abbreviations, e.g., cos, det, e or exp, lim, log, max, min, sin, tan, d (for derivative); Bold for vectors, tensors, and matrices.
事实上虽然这句话在那个期刊首页写的很清楚，但是还是有大面积作者dx/dt这些东西根本不用正体
Stein book Ⅳ符号有点奇怪
Sobolev norm 不是一般用 W^{k,p}吗 特别 p=2用H^k
这样直接 L^p_k有些不适应
________________
这学期准备看完
Chapter 1. L^p Spaces and Banach Spaces
Chapter 2. L^p Spaces in Harmonic Analysis
Chapter 4. Applications of the Baire Category Theorem
这些就足够了
Chapter 3. Distributions: Generalized Functions
chapter3分布也很重要 这学期不考这些 以后看看
hapter 5. Rudiments of Probability Theory
Chapter 6. An Introduction to Brownian Motion
布朗运动都出来了 果然是further topics😭
后面Chapter 7. A Glimpse into Several Complex Variables
Chapter 8. Oscillatory Integrals in Fourier Analysis
是复分析多复变，调和分析的东西
Sobolev norm 不是一般用 W^{k,p}吗 特别 p=2用H^k
这样直接 L^p_k有些不适应________________
这学期准备看完
Chapter 1. L^p Spaces and Banach Spaces
Chapter 2. L^p Spaces in Harmonic Analysis
Chapter 4. Applications of the Baire Category Theorem
这些就足够了
Chapter 3. Distributions: Generalized Functions
chapter3分布也很重要 这学期不考这些 以后看看
hapter 5. Rudiments of Probability Theory
Chapter 6. An Introduction to Brownian Motion
布朗运动都出来了 果然是further topics😭
后面Chapter 7. A Glimpse into Several Complex Variables
Chapter 8. Oscillatory Integrals in Fourier Analysis
是复分析多复变，调和分析的东西
上个星期上个星期做了一个报告，整整讲了两个半小时。老师让我把以前硕士阶段的研究成果汇报了一遍。
老师说原来的东西做的不错很好，有一些东西可以继续做下去。
当今博士阶段我选的研究的东西极其困难，老师和我说。意思就是毕业很难很难，或者说看不到一丝一毫的希望。因为做那种问题，要么好几年十几年几十年一事无成，要么出来新成果就真的可以说是一个真正的数学家。所以他要求我必须找找退路。他的另外一个博士生是做生物数学的，那个东西比较起来容易一些，发文章也容易一些。并且，最后推荐了陈省身数学所的两位著名老师(゜゜)让我有机会有想法有什么问题多多发邮件交流。
我选的东西比较偏，但是并不知道它如此困难。最近才明白很多东西
竟然都是open problem
怎么办？我很慌，这是一局根本赢不了的游戏
老师说原来的东西做的不错很好，有一些东西可以继续做下去。
当今博士阶段我选的研究的东西极其困难，老师和我说。意思就是毕业很难很难，或者说看不到一丝一毫的希望。因为做那种问题，要么好几年十几年几十年一事无成，要么出来新成果就真的可以说是一个真正的数学家。所以他要求我必须找找退路。他的另外一个博士生是做生物数学的，那个东西比较起来容易一些，发文章也容易一些。并且，最后推荐了陈省身数学所的两位著名老师(゜゜)让我有机会有想法有什么问题多多发邮件交流。
我选的东西比较偏，但是并不知道它如此困难。最近才明白很多东西
竟然都是open problem
怎么办？我很慌，这是一局根本赢不了的游戏
之前泛函分析老师领着回顾基础，讲到了 Hamel basis 这里。
在这里一个很重要内容就是 l^2 的 Hamel 基是不可数集. 更一般地, 无穷维 Banach 空间的 Hamel 基也是不可数集.(虽然老师没有展开讲)
\(\ell^2\) 的 Hamel 基是不可数集. 更一般地, 无穷维 Banach 空间的 Hamel 基也是不可数集.
证明: 假设 \(\ell^2\) 的 Hamel 基 \(\mathcal{B}\) 为可数集，记 \[\mathcal{B}=\left\{x_n: n \in \mathbb{N}\right\}. \] 令 \[ F_n=\operatorname{Span}\left(x_1, \cdots, x_n\right).\] 则 \(F_n\) 为闭集，并且显然 \(\ell^2=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n\), 因此必定存在某个 \(\bar{F}_{n_0}\) 有内点, 不妨设 \(x \in B(x, r) \subset \bar{F}_{n_0}\), 但有 \[ x+\frac{r}{2} \frac{x_{n_0+1}} {\left\|x_{n_0+1}\right\|} \in B(x, r) \backslash F_{n_0} . \] 引出矛盾.
此外还有一个问题----如果 X 是一个具有不可数 Hamel 基的向量空间，是否存在一个范数使得 X 成为一个 Banach 空间呢？
(以下是一个国外数学论坛的回答) 如 $\aleph_1 < 2^{\aleph_0}$ 是一致的，那么可以得到一个例子，说明对于一个Banach空间，存在一些不可能取的不可数Hamel维度. 空间 $\ell^2$ 包含一个基数为 $2^{\aleph_0}$ 的线性无关集，具体来说是 $\left(n^{-\alpha}\right)_{n \in \mathbb{N}}$，其中 $\alpha$ 在 $[0,1]$ 范围内. 因此，$\ell^2$ 的Hamel维度至少为 $2^{\aleph_0}$，并且不能更大，因为 $\ell^2$ 的基数为 $2^{\aleph_0}$。现在，对于每个无限维的Banach空间 $E$，构造一个单射有界线性映射 $\ell^2 \rightarrow E$.因此，$\operatorname{dim}(E) \geq 2^{\aleph_0} > \aleph_1$，并且不存在Hamel维度为 $\aleph_1$ 的Banach空间.一般来说，在 Kruse, Arthur H., Badly incomplete normed linear spaces, Math. Z. 83, 314-320 (1964). ZBL0117.08201. 的引理2中，Kruse证明了对于一个Banach空间 $E$，有 $\operatorname{dim}(E)^{\aleph_0} = \operatorname{dim}(E)$. 根据König定理，如果 $\kappa$ 是不可数的，并且是可数个严格小于它的集合的并集，那么 $\kappa^{\aleph_0} > \kappa$. 因此，无条件地，没有Hamel维度为 $\aleph_\omega = \bigcup_{n=0}^{\infty} \aleph_n$ 的Banach空间，也没有Hamel维度为 $\beth_\omega = \bigcup \left\{2^{\aleph_0}, 2^{2^{\aleph_0}}, 2^{2^{2^{\aleph_0}}}, \ldots \right\}$ 的Banach空间.
在这里一个很重要内容就是 l^2 的 Hamel 基是不可数集. 更一般地, 无穷维 Banach 空间的 Hamel 基也是不可数集.(虽然老师没有展开讲)
\(\ell^2\) 的 Hamel 基是不可数集. 更一般地, 无穷维 Banach 空间的 Hamel 基也是不可数集.
证明: 假设 \(\ell^2\) 的 Hamel 基 \(\mathcal{B}\) 为可数集，记 \[\mathcal{B}=\left\{x_n: n \in \mathbb{N}\right\}. \] 令 \[ F_n=\operatorname{Span}\left(x_1, \cdots, x_n\right).\] 则 \(F_n\) 为闭集，并且显然 \(\ell^2=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n\), 因此必定存在某个 \(\bar{F}_{n_0}\) 有内点, 不妨设 \(x \in B(x, r) \subset \bar{F}_{n_0}\), 但有 \[ x+\frac{r}{2} \frac{x_{n_0+1}} {\left\|x_{n_0+1}\right\|} \in B(x, r) \backslash F_{n_0} . \] 引出矛盾.
此外还有一个问题----如果 X 是一个具有不可数 Hamel 基的向量空间，是否存在一个范数使得 X 成为一个 Banach 空间呢？
(以下是一个国外数学论坛的回答) 如 $\aleph_1 < 2^{\aleph_0}$ 是一致的，那么可以得到一个例子，说明对于一个Banach空间，存在一些不可能取的不可数Hamel维度. 空间 $\ell^2$ 包含一个基数为 $2^{\aleph_0}$ 的线性无关集，具体来说是 $\left(n^{-\alpha}\right)_{n \in \mathbb{N}}$，其中 $\alpha$ 在 $[0,1]$ 范围内. 因此，$\ell^2$ 的Hamel维度至少为 $2^{\aleph_0}$，并且不能更大，因为 $\ell^2$ 的基数为 $2^{\aleph_0}$。现在，对于每个无限维的Banach空间 $E$，构造一个单射有界线性映射 $\ell^2 \rightarrow E$.因此，$\operatorname{dim}(E) \geq 2^{\aleph_0} > \aleph_1$，并且不存在Hamel维度为 $\aleph_1$ 的Banach空间.一般来说，在 Kruse, Arthur H., Badly incomplete normed linear spaces, Math. Z. 83, 314-320 (1964). ZBL0117.08201. 的引理2中，Kruse证明了对于一个Banach空间 $E$，有 $\operatorname{dim}(E)^{\aleph_0} = \operatorname{dim}(E)$. 根据König定理，如果 $\kappa$ 是不可数的，并且是可数个严格小于它的集合的并集，那么 $\kappa^{\aleph_0} > \kappa$. 因此，无条件地，没有Hamel维度为 $\aleph_\omega = \bigcup_{n=0}^{\infty} \aleph_n$ 的Banach空间，也没有Hamel维度为 $\beth_\omega = \bigcup \left\{2^{\aleph_0}, 2^{2^{\aleph_0}}, 2^{2^{2^{\aleph_0}}}, \ldots \right\}$ 的Banach空间.
这学期的一个大作业是动力系统的学习笔记，老师说12月份给他就可以。反而泛函分析没有课程笔记这个大作业，但是我觉得我更需要写这课的课程笔记，从考试上来说他更难😭动力系统的笔记写完大概也就50页，但是泛函分析的笔记可能最少100页
主要分为4个部分
一个是度量空间，赋范空间，希尔伯特空间
一个是线性算子相关基础理论 这些内容很多，比如共鸣定理/一致有界原理，开映射定理，闭图像定理，Hahn-Banach 定理，Baire 纲定理 ，算子的几种收敛方式等等等等......
一个是谱理论
一个是Banach代数与无界算子还有算子半群理论
以上全部用LaTeX写，过一些时间借助在线LaTeX upload我的数学网站。
主要分为4个部分
一个是度量空间，赋范空间，希尔伯特空间
一个是线性算子相关基础理论 这些内容很多，比如共鸣定理/一致有界原理，开映射定理，闭图像定理，Hahn-Banach 定理，Baire 纲定理 ，算子的几种收敛方式等等等等......
一个是谱理论
一个是Banach代数与无界算子还有算子半群理论
以上全部用LaTeX写，过一些时间借助在线LaTeX upload我的数学网站。
